Finita inkrementformel

Den finita inkrementformeln , eller Lagranges medelvärdessats , säger att om en funktion är kontinuerlig på ett segment och differentierbar i ett intervall , så finns det en sådan punkt att $f$ $[a;b]$ $(a;b)$ $c\in(a;b)$

{\frac {f(b)-f(a)}{ba}}=f'(c)

Geometriskt kan detta omformuleras enligt följande: det finns en punkt på segmentet där tangenten är parallell med ackordet som passerar genom punkterna i grafen som motsvarar segmentets ändar. $[a;b]$

Mekanisk tolkning : Låt vara punktens avstånd för tillfället från utgångsläget. Sedan finns det vägen som färdats från ögonblick till ögonblick , förhållandet är medelhastigheten under denna period. Detta betyder att om kroppens hastighet bestäms när som helst , kommer den vid något tillfälle att vara lika med dess medelvärde i detta avsnitt. $med)$ $t$ $f(b)-f(a)$ $t=a$ $t=b$ ${\frac {f(b)-f(a)}{ba))$ $t\in(a,b)$

Finita och infinitesimala steg

Namnet "slutlig ökning " förklaras av det faktum att om i formeln , vänster sida betecknas som , och faktorn på höger sida betecknas med , då får vi formeln i representationen: $f(b)-f(a)=f'(c)(ba)$ $\Delta y$ $(ba)$ $\Delta x$

\Delta y=f'(c)\Delta x

som i sin tur redan är väldigt lik definitionen av differential :

dy=f'(x)dx

med den enda skillnaden att vi i formeln för finita inkrement har en formel för att hitta det sanna inkrementet , men genom derivatan vid punkten , som är någonstans mellan och . Om vi tenderar till noll i formeln får vi i gränsen [1] . $\Delta y$ $f'(c)$ $c$ $a$ $b$ $\Delta y=f'(c)\Delta x$ $\Delta x$ $dy=f'(x)dx$

Applikationer

Lagranges teorem kan ibland användas i avslöjandet av osäkerheter för att hitta gränser.

Variationer och generaliseringar

Lagranges finita inkrementsats är en av de viktigaste nyckelsatserna i hela differentialkalkylsystemet. Det har många tillämpningar inom beräkningsmatematik, och huvudsatserna för matematisk analys är också dess konsekvenser.

En funktion som är differentierbar på ett intervall med en derivata lika med noll är en konstant.

Bevis. För alla och det finns en punkt sådan att . $x$ $y$ $c$ $f(y)-f(x)=f'(c)(yx)=0$

Därför är jämlikheten sann för alla och . $x$ $y$ $f(y)=f(x)$

Kommentar. Följande viktiga monotoniska kriterium för differentierbara funktioner bevisas på liknande sätt: En differentierbar funktion ökar/minskar på ett segment om och endast om dess derivata på detta segment är icke-negativ/icke-positiv. Samtidigt innebär den strikta positiviteten/negativiteten hos derivatan den strikta monotoniteten hos funktionen . $f(x)$ $[a,b]$ $f'(x)$ $f(x)$

Taylors formel med en restterm i Lagrange-formen). Om funktionen ärdifferentierbaratider i ett område av punkten, är Taylor-formeln giltig för små(det vill säga de för vilka segmentetligger i det angivna grannskapet): $f$ $n$ $x$ $h$ $[x,x+h]$

f(x+h)=f(x)+f'(x)h+f''(x){\frac {h^{2}}{2}}+...+f^{{(n) -1)}}(x){\frac {h^{{n-1}}}{(n-1)!}}+f^{{(n)))(x+\theta h){\frac {h^{{n}}}{n!}}

var är något tal från intervallet . $\theta$ $(0,1)$

Kommentar. Denna följd är samtidigt en generalisering. För , det ger Lagrangesatsen på ändliga inkrement själv. $n=1$

Om funktionen av variabler är två gånger differentierbar i ett område av punkten O och alla dess andra blandade derivator är kontinuerliga vid punkten O, då är likheten sann vid denna punkt: $n$ $f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})$

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j))}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_ {i}}}$

Bevis för . $n=2$ Låt oss fixa värdena för och och överväga skillnadsoperatorerna $\Delta x$ $\Delta y$

\Delta _{x}:f(x,y)\högerpil {\frac {f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x))

och .

\Delta _{y}:f(x,y)\högerpil {\frac {f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y))

Enligt Lagranges teorem finns det tal sådana att $\theta _{1},\theta _{2}\in (0,1)$

\Delta _{y}\Delta _{x}f(x,y)=\Delta _{y}{\frac {\partial f}{\partial x))(x+\theta _{1}\Delta x ,y)={\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x+\theta _{1}\Delta x,y+\theta _{2} \Delta y)\högerpil {\frac {\partial }{\partial y)){\frac {\partial f}{\partial x))(x,y)

at på grund av kontinuiteten för funktionens andraderivator . $(\Delta x,\Delta y)\högerpil 0$ $f(x,y)$

Det bevisas på liknande sätt att . $\Delta _{x}\Delta _{y}f(x,y)\högerpil {\frac {\partial }{\partial x)){\frac {\partial f}{\partial y))(x, y)$

Men eftersom , (vilket kontrolleras direkt) sammanfaller dessa gränser. $\Delta _{y}\Delta _{x}f(x,y)=\Delta _{x}\Delta _{y}f(x,y)$

Kommentar. Konsekvensen av denna formel är identiteten för operatören av den externa differentialen , definierad på differentialformer . $d^{2}=0$

Newton-Leibniz formel . Om en funktion ärdifferentierbar på ett segmentoch dess derivata är Riemann-integrerbar på detta segment, är formeln giltig:. $f(x)$ $[a,b]$ $\int \limits _{{a}}^{{b}}f'(x)dx=f(b)-f(a)$

Bevis. Låta vara en godtycklig partition av segmentet . Genom att tillämpa Lagrangesatsen hittar vi på vart och ett av segmenten en punkt sådan att . $T$ $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<...<x_{n}=b$ $[a,b]$ $[x_{{k-1}},x_{k}]$ $\xi_k$ $f'(\xi _{k})(x_{k}-x_{{k-1}})=f(x_{k})-f(x_{{k-1}})$

När vi sammanfattar dessa jämlikheter får vi: $\sum \limits _{{k=1}}^{{n}}f'(\xi _{k})(x_{k}-x_{{k-1}})=\summa \limits _{ {k=1}}^{{n}}(f(x_{k})-f(x_{{k-1}}))=f(b)-f(a)$

Till vänster är Riemann-integralsumman för integralen och den givna markerade partitionen. När vi går till gränsen för partitionens diameter får vi Newton-Leibniz-formeln. $\int \limits _{{a}}^{{b}}f'(x)dx$

Kommentar. Konsekvensen (och generaliseringen) av Newton-Leibniz- formeln är Stokes-formeln , och konsekvensen av Stokes-formeln är Cauchy-integralsatsen - huvudsatsen för teorin om analytiska funktioner (TFKP).

Sats om uppskattning av ändliga inkrement. Låt kartläggningen vara kontinuerligt differentierbar i en konvex kompakt domän av rymd . Sedan . $F:\Omega \rightarrow {\mathbb {R}}^{m}$ $\Omega$ $\mathbb {R} ^{n}$ $|F(y)-F(x)|\leq \sup \limits _({\xi \in \Omega }}|DF(\xi )|\cdot |yx|$

Kommentar. Bevisen för sådana satser som den omvända avbildningssatsen , den implicita funktionssatsen , satsen om existensen och unikheten av en lösning på Cauchy-problemet för vanliga differentialekvationer är inte kompletta utan att använda satsen om uppskattning av ändliga inkrement .

Anteckningar

↑ Nikolaj Nikolajevitj Luzin. Differentialkalkyl / S.I. Novoselov. - 1:a. - Moskva, B-62, Podsosensky per. 20: Statens förlag "Högskolan", 1961. - S. 326. - 477 sid.

Se även

Lagrange, Joseph Louis
Cauchys sats är en utökad version av denna sats.