Avslöjande av osäkerheter

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 29 september 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

Osäkerhetsavslöjande - metoder för att beräkna gränserna för funktioner som ges av formler, som, som ett resultat av formell substitution av gränsvärdena för argumentet i dem, förlorar sin mening, det vill säga de blir till uttryck som:

\left(\infty -\infty \right)

\left({\frac {\infty }{\infty }}\right)

\left({\frac {0}{0}}\right)

\left(0\cdot \infty \right)

\left(0^{0}\right)

\left(\infty ^{0}\right)

\left(1^{\infty }\right)

(Här är ett oändligt litet värde , är ett oändligt stort värde , 1 är ett uttryck oändligt nära talet 1) ${\textstyle 0}$ $\infty$

genom vilken det är omöjligt att bedöma om de önskade gränserna finns eller inte, för att inte tala om att hitta deras värden, om de finns.

Den mest kraftfulla metoden är L'Hopitals regel , men den tillåter inte att beräkna gränsen i alla fall . Dessutom är den direkt tillämplig endast på den andra och tredje av de listade typerna av osäkerheter, det vill säga relationer, och för att avslöja andra typer måste de först reduceras till en av dessa.

Dessutom, för att beräkna gränserna, används ofta expansionen av uttrycken som ingår i den osäkerhet som studeras i en Taylor-serie i närheten av gränspunkten . För att avslöja osäkerheterna för typerna , använder de följande metod: de hittar gränsen för den (naturliga) logaritmen för uttrycket som innehåller den givna osäkerheten. Som ett resultat ändras typen av osäkerhet. Efter att ha hittat gränsen tas exponenten från den . $\left(~0^{0}\right)$ $\left(1^{\infty}\right)$ $\left(\infty ^{0}\right)$

\left(~0^{0}\right)=\left(e^{0\cdot \ln {0}}\right)=\left(e^{0\cdot (-\infty )} \höger)

\left(~1^{\infty}\right)=\left(e^{\infty \cdot \ln {1))\right)=\left(e^{\infty \cdot 0}\ höger)

\left(~\infty ^{0}\right)=\left(e^{0\cdot \ln {\infty }}\right)=\left(e^{0\cdot \infty }\ höger)

Följande algoritm används för att lösa typotydligheter : ${\frac {\infty }{\infty ))$

Identifiering av den högsta graden av en variabel;
Dividera med denna variabel både täljaren och nämnaren.

För att lösa typobetydligheter finns följande algoritm: $\left({\frac {0}{0}}\right)$

Faktorisering av täljaren och nämnaren;
Bråkreduktion.

För att lösa typotydligheter är det ibland bekvämt att tillämpa följande transformation: $(\infty -\infty )$

Låt och ;

f(x){\xhögerpil {x\to a}}\infty

g(x){\xhögerpil {x\to a}}\infty

\lim _{{x\to a}}[f(x)-g(x)]=(\infty -\infty )=\lim _{{x\to a}}\left({\frac {1 }{{\frac {1}{f(x)}}}-{\frac {1}{{\frac {1}{g(x)))}}\right)=\lim _{{x \to a}}{\frac {{\frac {1}{g(x)}}-{\frac {1}{f(x)))}{{\frac {1}{g(x)} }\cdot {\frac {1}{f(x)}}}}=\left({\frac {0}{0}}\right)

Denna typ av osäkerhet kan lösas med asymptotiska expansioner av minuend och subtrahend, medan oändligt stora termer av samma ordning måste elimineras.

Anmärkningsvärda gränser och deras konsekvenser gäller även när osäkerheter avslöjas .

Exempel

$\lim _{x\to a}{\frac {a^{x}-x^{a}}{xa}},a>0$ är ett exempel [1] på formens osäkerhet . Enligt L'Hopitals regel . Det andra sättet är att addera och subtrahera i täljaren och tillämpa Lagrangesatsen två gånger , på funktionerna respektive : $\left({\frac {0}{0}}\right)$ $\lim _{x\to a}{\frac {a^{x}-x^{a}}{xa}}=\lim _{x\to a}{\frac {a^{x }\ln a-ax^{a-1}}{1}}=a^{a}(\ln a-1)$ ${\displaystyle a^{a))$ $a^{x}$ $x^{a}$

${\frac {a^{x}-x^{a}}{xa}}={\frac {a^{x}-a^{a}-(x^{a}-a^{ a})}{xa))={\frac {a^{c}\ln a(xa)-ad^{a-1}(xa)}{xa}}=a^{c}\ln a- annons^{a-1}$

här ligger c, d mellan a och x, så de tenderar till a eftersom x tenderar till a, därför får vi samma gräns som i den första metoden.

Anteckningar

↑ Demidovich B.P. Uppgift nr 1358 // Samling av problem och övningar i matematisk analys. - 7:e uppl. - M . : Nauka , 1969. - S. 136.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss Ny