Oändligt liten och oändligt stor

Oändligt liten - en numerisk funktion eller sekvens som tenderar mot ( vars gräns är lika med) noll .

Oändligt stor - en numerisk funktion eller sekvens som tenderar mot (vars gräns är) oändligheten av ett visst tecken.

I icke-standardanalys definieras infinitesimals och infinitesimals inte som sekvenser eller variabler, utan som en speciell typ av tal.

Kalkyl för infinitesimals och larges

Infinitesimalkalkyl - beräkningar utförda med infinitesimala storheter, där det härledda resultatet betraktas som en oändlig summa av infinitesimaler. Infinitesimalkalkylen är ett allmänt begrepp för differential- och integralkalkyl , som ligger till grund för modern högre matematik . Begreppet en oändlig storhet är nära besläktat med begreppet en gräns.

Oändligt liten

En sekvens kallas infinitesimal om . Till exempel är en talföljd oändligt liten. $en$ $\lim \limits _{{n\to \infty }}a_{n}=0$ $a_{n}={\dfrac {1}{n}}$

En funktion kallas infinitesimal i ett område av en punkt om . $x_{0}$ $\lim \limits _{{x\to x_{0}}}f(x)=0$

En funktion sägs vara infinitesimal vid oändlighet om antingen . $\lim \limits _{{x\to +\infty }}f(x)=0$ $\lim \limits _{{x\to -\infty }}f(x)=0$

Oändligt liten är också en funktion som är skillnaden mellan en funktion och dess gräns, det vill säga om , då , . $\lim \limits _{{x\to +\infty }}f(x)=a$ $f(x)-a=\alfa (x)$ $\lim \limits _{{x\to +\infty }}(f(x)-a)=0$

Vi betonar att ett oändligt litet värde ska förstås som ett variabelvärde (funktion), som endast i processen av dess förändring [när man strävar efter att (från )] blir mindre än ett godtyckligt tal ( ). Därför är till exempel ett påstående som "en miljondel är ett oändligt litet värde" inte sant: det är meningslöst att säga om ett tal [absolut värde] att det är oändligt litet. [ett] $x$ $a$ $\lim \limits _{{x\to a}}f(x)=0$ $\varepsilon$

Oändligt stor

I alla formlerna nedan innebär oändligheten till höger om jämlikhet ett visst tecken (antingen "plus" eller "minus"). Det vill säga att till exempel en funktion som är obegränsad på båda sidor inte är oändligt stor för . $x\sin x$ $x\till +\infty$

En sekvens kallas oändligt stor om . $en$ $\lim \limits _{{n\to \infty }}a_{n}=\infty$

En funktion sägs vara oändligt stor i ett område av punkten if . $x_{0}$ $\lim \limits _{{x\to x_{0}}}f(x)=\infty$

Funktionen sägs vara oändligt stor i oändligheten om antingen . $\lim \limits _{{x\to +\infty }}f(x)=\infty$ $\lim \limits _{{x\to -\infty }}f(x)=\infty$

Liksom i fallet med infinitesimals, bör det noteras att inget enskilt värde av en oändligt stor kvantitet kan kallas "oändligt stor" - en oändligt stor kvantitet är en funktion som kan bli större än ett godtyckligt taget tal endast i processen av dess ändra .

Egenskaper för infinitesimals

Den algebraiska summan av ett ändligt antal oändligt små funktioner är en oändligt liten funktion.
Produkten av infinitesimals är infinitesimal.
Produkten av en infinitesimal sekvens av en avgränsad är infinitesimal. Som en konsekvens är produkten av en infinitesimal med en konstant infinitesimal.
Om är en oändligt liten teckenbevarande sekvens, då är en oändligt stor sekvens. $en$ $b_{n}={\dfrac {1}{a_{n}}}$

Jämförelse av infinitesimals

Definitioner

Anta att vi har infinitesimal för samma värde och (eller, vilket inte är viktigt för definitionen, infinitesimala sekvenser). $x\till a$ $\alfa(x)$ $\beta(x)$

Om , då är en oändligt liten högre ordning av litenhet än . Utse eller . $\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=0$ $\beta$ $\alfa$ $\beta =o(\alpha )$ $\beta\prec\alpha$
Om , då är en infinitesimal av en lägre storleksordning än . Följaktligen eller . $\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=\infty$ $\beta$ $\alfa$ $\alpha =o(\beta )$ $\alpha\prec\beta$
Om (gränsen är ändlig och inte lika med 0), då och är oändligt små kvantiteter av samma storleksordning . Detta betecknas som eller som samtidig utförande av relationer och . Det bör noteras att man i vissa källor kan stöta på en beteckning när likheten mellan beställningar skrivs i form av endast en relation "big o", vilket är en fri användning av denna symbol. $\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=c$ $\alfa$ $\beta$ $\alfa\asymp\beta$ $\beta =O(\alpha )$ $\alpha =O(\beta )$
Om (gränsen är finit och inte lika med 0), så har en infinitesimal storhet ordningen av litenhet med avseende på en infinitesimal . $\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha ^{m}}}=c$ $\beta$ $m$ $\alfa$

För att beräkna sådana gränser är det bekvämt att använda L'Hospitals regel .

Jämförelseexempel

För , värdet har den högsta ordningen av litenhet med avseende på , sedan . Å andra sidan har den lägsta ordningen av litenhet med avseende på , sedan . ${x\till 0}$ $x^{5}$ $x^{3}$ $\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {x^{5}}{x^{3}}}=0$ $x^{3}$ $x^{5}$ $\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {x^{3}}{x^{5}}}=\infty$

Med hjälp av O -symboler kan de erhållna resultaten skrivas i följande form .

x^{5}=o(x^{3})

$\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {2x^{2}+6x}{x}}=\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {2x+6 }{1}}=\lim \limits _{{x\to 0}}(2x+6)=6,$ det vill säga för funktioner och är oändligt små kvantiteter av samma ordning. $x\till 0$ $f(x)=2x^{2}+6x$ $g(x)=x$

I det här fallet, posterna och

2x^{2}+6x=O(x)

x=O(2x^{2}+6x).

Vid , en infinitesimal kvantitet har en tredje ordningen av litenhet med avseende på , eftersom , infinitesimal är av andra ordningen, infinitesimal är av storleksordningen 0,5. ${x\till 0}$ $2x^{3}$ $x$ $\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {2x^{3}}{x^{3}}}=2$ $0{,}7x^{2}$ $\sqrt{x}$

Motsvarande värden

Definition

Om , då oändligt små eller oändligt stora kvantiteter och kallas ekvivalenta (betecknas som ). $\lim \limits _{{x\to a}}{\dfrac {\beta }{\alpha }}=1$ $\alfa$ $\beta$ $\alpha \thicksim \beta$

Uppenbarligen är ekvivalenta kvantiteter ett specialfall av oändligt små (oändligt stora) kvantiteter av samma storleksordning.

För gäller följande ekvivalensrelationer (som en konsekvens av de så kallade anmärkningsvärda gränserna ): $\alpha (x){\xrightarrow[ {x\to x_{0}}]{}}0$

$\sin \alpha (x)\thicksim \alpha (x);$
${\mathrm {tg}}\,\alpha (x)\thicksim \alpha (x);$
$\arcsin {\alpha (x)}\thicksim \alpha (x);$
${\frac {\pi }{2}}-\arccos {\alpha (x)}\thicksim \alpha (x)$
${\mathrm {arctg}}\,\alpha (x)\thicksim \alpha (x);$
$\log _{a}(1+\alpha (x))\thicksim \alpha (x)\cdot {\frac {1}{\ln {a))}$ , där , ; $a>0$ $a\neq 1$
$\ln(1+\alfa (x))\thicksim \alfa (x);$
$a^{{\alpha (x)}}-1\thicksim \alpha (x)\cdot \ln {a}$ , var ; $a>0$
$e^{{\alpha (x)}}-1\thicksim \alpha (x);$
$1-\cos {\alpha (x)}\thicksim {\frac {\alpha ^{2}(x)}{2));$
$(1+\alpha (x))^{\mu }-1\thicksim \mu \cdot \alpha (x),\quad \mu \in \mathbb{R}$ , så använd uttrycket:

{\sqrt[ {n}]{1+\alfa (x)))\approx {\frac {\alpha (x)}{n))+1

, var .

\alpha (x){\xrightarrow[ {x\to x_{0}}]{}}0

Sats

Gränsen för kvoten (kvoten) av två oändligt små eller oändligt stora kvantiteter kommer inte att ändras om en av dem (eller båda) ersätts med ett ekvivalent värde .

Denna sats är av praktisk betydelse för att hitta gränser (se exempel).

Användningsexempel

Hitta $\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {\sin 2x}{x}}.$

Ersätter vi med motsvarande värde

\sin 2x

2x

\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {\sin 2x}{x}}=\lim \limits _{{x\to 0}}{\dfrac {2x}{x}}= 2.

Hitta $\lim \limits _{{x\to {\frac {\pi }{2)))){\dfrac {\sin(4\cos x)}{\cos x)).$

Sedan när vi får

\sin(4\cos x)\thicksim {4\cos x}

x\to {\dfrac {\pi }{2}}

\lim \limits _{{x\to {\frac {\pi}{2)))){\dfrac {\sin(4\cos x)}{\cos x))=\lim \limits _{{ x\to {\frac {\pi }{2}}}}{\dfrac {4\cos x}{\cos x}}=4.

Beräkna . ${\sqrt {1{,}2}}$

Genom att använda formeln :, medan vi använde en miniräknare (mer exakta beräkningar), fick vi:, alltså var felet 0,005 (mindre än 1%), det vill säga metoden är användbar, på grund av sin enkelhet, med en grov uppskattning av aritmetik rötter nära en.

{\sqrt {1{,}2}}\approx 1+{\frac {0{,}2}{2}}=1{,}1

{\sqrt {1{,}2}}\approx 1{,}095

Historik

Begreppet "oändligt litet" diskuterades i antiken i samband med begreppet odelbara atomer, men kom inte in i klassisk matematik. Den återupplivades igen med uppkomsten på 1500-talet av "metoden för odelbara" - uppdelningen av figuren som studeras i oändliga sektioner.

Algebraiseringen av infinitesimalkalkylen ägde rum på 1600-talet. De började definieras som numeriska värden som är mindre än något ändligt (positivt) värde och ändå inte lika med noll. Analyskonsten bestod i att utarbeta en relation innehållande infinitesimals ( differentialer ) och sedan integrera den .

Begreppet infinitesimals kritiserades hårt av gammaldags matematiker . Michel Rolle skrev att den nya kalkylen är " en uppsättning geniala fel "; Voltaire påpekade giftigt att denna kalkyl är konsten att beräkna och noggrant mäta saker vars existens inte kan bevisas. Även Huygens medgav att han inte förstod innebörden av högre ordningsskillnader .

Tvisterna i vetenskapsakademin i Paris om frågorna om motiverande analyser blev så skandalösa att akademin en gång förbjöd sina medlemmar att överhuvudtaget tala om detta ämne (detta gällde främst Rolle och Varignon). 1706 drog Rolle offentligt tillbaka sina invändningar, men diskussionerna fortsatte.

År 1734 publicerade den berömda engelske filosofen, biskop George Berkeley , en sensationell pamflett, känd under den förkortade titeln "The Analyst ". Dess fullständiga titel är: " Analytiker eller resonemang riktat till en icke-troende matematiker, där det undersöks om ämnet, principerna och slutsatserna för modern analys är tydligare uppfattade eller tydligare härledda än de religiösa sakramenten och trosartiklarna ." Analytikern innehöll en kvick och i många avseenden rättvis kritik av infinitesimalkalkylen. Berkeley ansåg att analysmetoden var oförenlig med logik och skrev att " hur användbar den än kan vara, kan den bara betraktas som ett slags gissningar; skicklighet, konst, eller snarare underdrift, men inte som en metod för vetenskapligt bevis .” Genom att citera Newtons fras om ökningen av nuvarande kvantiteter "i början av deras födelse eller försvinnande", Berkeley ironiskt nog: " dessa är varken ändliga kvantiteter, inte oändliga eller ens ingenting. Skulle vi inte kunna kalla dem fantomer av döda magnituder?.. Och hur kan man tala om ett förhållande mellan saker som inte har någon storlek?.. Den som kan smälta den andra eller tredje flödet [derivatan], den andra eller tredje skillnaden, borde inte , som det förefaller mig, att hitta fel på något i teologin .

Det är omöjligt, skriver Berkeley, att föreställa sig momentan hastighet, det vill säga hastighet vid ett givet ögonblick och vid en given punkt, eftersom begreppet rörelse innefattar begrepp om (ändligt icke-noll) rum och tid.

Hur får analysen rätt resultat? Berkeley kom till slutsatsen att detta beror på förekomsten av flera fel i de analytiska slutsatserna av ömsesidig kompensation, och illustrerade detta med exemplet med en parabel. Ironiskt nog höll några stora matematiker (som Lagrange ) med honom.

Det fanns en paradoxal situation när noggrannhet och fruktbarhet i matematiken störde varandra. Trots användningen av illegala handlingar med dåligt definierade begrepp var antalet direkta fel förvånansvärt litet - intuitionen hjälpte till. Och ändå, under hela 1700-talet, utvecklades den matematiska analysen snabbt, utan att det i princip saknades berättigande. Dess effektivitet var fantastisk och talade för sig själv, men innebörden av skillnaden var fortfarande oklar. Den oändliga ökningen av en funktion och dess linjära del förväxlades särskilt ofta.

Under hela 1700-talet gjordes enorma ansträngningar för att rätta till situationen och århundradets bästa matematiker deltog i dem, men bara Cauchy kunde på ett övertygande sätt bygga grunden för analys i början av 1800-talet. Han definierade strikt de grundläggande begreppen - gräns, konvergens, kontinuitet, differential, etc., varefter de faktiska infinitesimalerna försvann från vetenskapen. Vissa återstående subtiliteter förklarades senare av Weierstrass . För närvarande är termen "oändligt liten" i matematik i de allra flesta fall inte relaterad till tal, utan till funktioner och sekvenser .

Som en ödets ironi kan man betrakta uppkomsten i mitten av 1900-talet av icke-standardiserad analys , som bevisade att den ursprungliga synvinkeln - de faktiska infinitesimalerna - också är konsekvent och kan ligga till grund för analysen. Med tillkomsten av icke-standardiserad analys blev det klart varför matematiker från 1700-talet, som utförde handlingar som var olagliga ur den klassiska teorins synvinkel, ändå fick korrekta resultat.

Se även

Anteckningar

↑ Oändligt små och oändligt stora mängder // Handbok i matematik (för mellanstadiet) / Tsypkin A. G., ed. Stepanova S. A. - 3:e uppl. — M.: Nauka, Ch. upplagan av Phys.-Math. Litteratur, 1983. - S. 337-340. — 480 s.

Litteratur

Oändligt små och oändligt stora mängder // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och 4 ytterligare). - St Petersburg. 1890-1907.