Anpassad analys

Icke-standardanalys  är ett alternativt tillvägagångssätt för berättigandet av matematisk analys , där infinitesimaler  inte är variabler, utan en speciell typ av tal. I icke-standardiserad analys, på modern basis, förverkligas idén som går tillbaka till Leibniz och hans anhängare om förekomsten av oändligt liten mängd andra än noll, en idé som i den historiska utvecklingen av matematisk analys ersattes av begreppet gräns för en variabel mängd. Misstron mot faktiska oändliga storheter i matematik förklarades av svårigheterna med deras formella belägg. Det är märkligt att idéer om faktiska oändligt stora och oändligt små kvantiteter bevarades i läroböckerna i fysik och andra naturvetenskaper, där fraser som "låt det finnas  ett (oändligt litet) volymelement ..." [1] ofta finns .

Leibniz koncept rehabiliterades när den första moderna utläggningen av infinitesimala metoder dök upp, given av Abraham Robinson 1961. Till skillnad från traditionell analys, baserad på reella och komplexa tal , handlar icke-standardiserad analys om ett bredare fält av hyperrealistiska tal , där Arkimedes axiom [2] inte gäller .

Icke-standardiserad analys uppstod som en gren av matematisk logik , tillägnad tillämpningen av teorin om icke-standardiserade modeller för forskning inom traditionella matematikområden: matematisk analys , funktionsteori , teorin om differentialekvationer , topologi , etc.

Kurt Gödel skrev 1973: "Det finns goda skäl att tro att icke-standardiserad analys, i en eller annan form, kommer att bli framtidens analys" [3] .

Grunderna

Generellt sett kan Robinsons grundläggande metod beskrivas på följande sätt. En viss matematisk struktur beaktas och ett logiskt-matematiskt språk av 1:a ordningen konstrueras, vilket återspeglar de aspekter av denna struktur som är av intresse för forskaren. Sedan, med hjälp av metoderna för teorin om modeller , byggs en icke-standardmodell av strukturteorin , vilket är dess egen förlängning . Med korrekt konstruktion kan nya, icke-standardiserade element i modellen tolkas som begränsande, "ideala" element i den ursprungliga strukturen. Till exempel, om ett ordnat fält med reella tal ursprungligen ansågs , är det naturligt att betrakta icke-standardiserade element i modellen som "oändligt små", det vill säga oändligt stora eller oändligt små, men skiljer sig från noll, reella tal. I det här fallet överförs alla vanliga relationer mellan reella tal automatiskt till icke-standardiserade element med bevarande av alla deras egenskaper uttryckta i det logisk-matematiska språket. På liknande sätt, i filterteorin, på en given uppsättning, definierar ett icke-standardelement en icke-tom skärningspunkt för alla filterelement; i topologi uppstår en familj av icke-standardiserade punkter, belägna "oändligt nära" en given punkt. Tolkningen av icke-standardiserade element i modellen tillåter oss ofta att ge lämpliga kriterier för vanliga begrepp när det gäller icke-standardiserade element. Till exempel kan man bevisa att en reell standardfunktion är kontinuerlig vid en standardpunkt om och bara om den är oändligt nära för alla (och icke-standardiserade) punkter oändligt nära . De resulterande kriterierna kan framgångsrikt tillämpas på bevis för vanliga matematiska resultat.

Resultaten av standardmatematik, erhållna med metoder för icke-standardanalys, kan naturligtvis återbevisas på vanligt sätt, men övervägandet av en icke-standardiserad modell har den betydande fördelen att det tillåter en att faktiskt införa "ideala" element i argumentet, som gör att man kan ge transparenta formuleringar för många begrepp relaterade till gränsövergångar, från ändlig till oändlig. Med hjälp av icke-standardiserade analyser upptäcktes en rad nya fakta. Många klassiska bevis ökar märkbart i klarhet när de presenteras med metoder för icke-standardiserad analys. Emellertid är den icke-standardiserade analysens plats och roll långt ifrån uttömd av detta.

I våra dagars förståelse är icke-standardiserad analys en generell matematisk metod baserad på begreppet faktiskt oändliga storheter. Nu konstrueras icke-standardiserad analys axiomatiskt inom ramen för nya varianter av mängdlära, bland vilka de vanligaste är Nelsons interna mängdlära och Kawais externa mängdlära. Dessa teorier är baserade på formalisering av idéer som går tillbaka till gamla idéer om skillnaden mellan faktiska och potentiella oändligheter. Dessa teorier är en konservativ förlängning av Zermelo-Fraenkel-teorin och har därför samma status av rigor när de betraktas som grunden för modern matematik. Samtidigt har nya teorier ojämförligt bredare möjligheter.

Standard- och icke-standardelement

Den meningsfulla utgångspunkten för icke-standardanalysens axiomatik är uppfattningen att varje matematiskt objekt kan innehålla element av endast två typer. Element av den första typen är tillgängliga för oss antingen på ett direkt eller potentiellt oändligt sätt, i den meningen att vi antingen kan indikera sådana element direkt eller bevisa deras existens och unika med hjälp av de tillgängliga objekt som redan står till vårt förfogande. Objekt av denna typ kallas standard, och andra kallas icke-standardiserade.

Icke-standardiserad analys postulerar att det i varje oändlig uppsättning objekt finns minst ett icke-standardiserat element - "idealiseringsprincipen". Samtidigt är standardobjekt tillräckliga för att studera de klassiska matematiska egenskaperna hos alla objekt - "överföringsprincipen". Det är också möjligt att sätta standardobjekt genom att välja standardelement med en given egenskap - "standardiseringsprincipen". Varianter av dessa principer finns i all axiomatik av icke-standardiserad analys.

Själva standardobjektet är ofta oändligt. Låt oss säga att inte bara specifika naturliga tal 5, 7, 10 till 10 potensen 10, transcendentala tal som π och e är standard utan också kompletta samlingar av alla naturliga tal eller alla reella tal . Eftersom det  är en oändlig mängd finns det ett icke-standardelement N . Det är uppenbart att N är större än 1, eftersom 1 är ett standardtal. Om talet m är standard, är följande tal m + 1 också standard, eftersom det unikt erhålls från två standardtal. Således är varje naturligt icke-standardtal större än något naturligt standardtal. Därför kallas icke-standardiserade naturliga tal oändligt stora. Talet r är oändligt stort om | r | större än något oändligt stort naturligt tal. Infinitesimala tal som inte är noll är reciproken till oändligt stora tal. Grundarna av infinitesimal analys talade inte om standard- eller icke-standardtal, utan pekade ut "tal som kan ges." Till exempel ansåg Euler ett positivt tal vara oändligt stort om det är större än ett givet tal.

Ett tal som inte är oändligt kallas ett ändligt tal. Två tal sägs vara oändligt nära om skillnaden mellan dem är oändligt liten. Det kan bevisas att varje ändligt tal är oändligt nära det enda standardtalet, dess standarddel . Tal som är oändligt nära ett givet ändligt tal utgör dess monad . Monader är inte vanliga mängder (de kallas externa mängder i förhållande till Zermelo-Fraenkel-världen). Monader med olika standardtal korsar sig inte i par, men i unionen täcker de alla ändliga tal. Således återspeglar den formella tekniken för icke-standardanalys väl naturfilosofiska idéer om den dubbla "diskret-kontinuerliga" strukturen för den "fysiska" tallinjen.

En representation av icke-standardiserade nummer

Icke-standardiserad analys använder ett nytt primärt koncept - egenskapen hos ett objekt att vara eller inte vara standard. I "standard" matematik är dessa skillnader vanligtvis outsägliga: man kan inte tala om faktiska oändligt stora och oändligt små konstanter.

Faktum är att den formella teorin om icke-standardanalys är en konservativ förlängning av den klassiska, det vill säga varje bedömning av klassisk matematik, bevisad med hjälp av icke-standardiserad analys, kan bevisas utan att använda nya metoder. Det finns dock en tekniskt användbar "klassisk" representation av icke-standardiserade tal, som ges av den så kallade. dubbla tal , det vill säga nummer av formen , där .

Applikationer

Samtidigt kan icke-standardiserad analys studera egenskaperna hos faktiskt oändliga objekt, vilket erbjuder nya modelleringsmetoder som är otillgängliga för standardmatematik. Vi kan säga att icke-standardiserad analys studerar exakt samma matematiska objekt som standardmatematik. Men i varje sådant objekt ser han ytterligare en intern struktur, som helt ignoreras av vanlig matematik. Ibland jämförs metoden för icke-standardiserad analys med färg-tv. En svart-vit TV kan visa samma objekt som en färg-TV, men den kan inte förmedla färgrikedomen i deras beståndsdelar. Denna analogi illustrerar tydligt den grundläggande omständigheten att rollen för icke-standardiserad analys är mycket bredare än att tillhandahålla ytterligare medel för att förenkla apparaten för vanlig matematik. Icke-standardanalys avslöjar för oss den rika interna strukturen hos klassiska matematiska objekt, fyllda med både tillgängliga och endast imaginära element.

Litteratur

• Gordon E. I., Kusraev A. G., Kutateladze S. S. Infinitesimal analys . - Novosibirsk: Institutet för matematik, 2006.
• Davis M. Tillämpad icke-standardiserad analys. M.: Mir, 1980.
• Uspensky V. A. Vad är icke-standardiserad analys.  (otillgänglig länk) M.: Nauka, 1987.
• Uspensky B. Icke-standardiserad analys // Vetenskap och liv . - 1984. - Nr 1 . - S. 45-50 .
• Kanovei V., Reeken M. Nonstandard Analysis, Axiomatically. Berlin: Springer-Verlag, 2004.
• Robinson, Abraham. icke-standardiserad analys. Princeton University Press, 1996.

• Albeverio S., Fenstad J., Heeg-Kron R., Lindstrom T. Icke-standardiserade metoder inom stokastisk analys och matematisk fysik, M.: Mir, 1990, 616 s., ISBN 5-03-001180-3 .
• Zvonkin A. K., Shubin M. A. Icke-standardiserad analys och singulära störningar av vanliga differentialekvationer // Advances in Mathematical Sciences , 39 (1984), nr 2, sid. 77-127.

Anteckningar

1. ↑ Se till exempel: Detlaf A.A., Yavorsky B.M. Fysikkurs. - M . : Higher School, 1999. - S. 128 och därefter.
2. ↑ Panov V.F. Forntida och ung matematik. - Ed. 2:a, korrigerad. - M . : MSTU im. Bauman , 2006. - S. 548-553. — 648 sid. — ISBN 5-7038-2890-2 .
3. ↑ Kutateladze S. S. Icke-standardanalys är 50 år gammal  // Science in Siberia. - 2012. - Utgåva. 11(2846) . - S. 6 .