Leibniz notation

Leibniz notation är en matematisk notation som utvecklats av Leibniz för analys av infinitesimals och ofta används i matematisk analys (tillsammans med ett antal andra notationer ). Huvudsymbolerna är och för att representera ett oändligt inkrement respektive en funktion av en variabel samt för finita inkrement respektive [1] . $dx$ $dy$ $x$ $y$ $x$ ${\Delta }x$ ${\Delta }y$ $x$ $y$

Derivaten med avseende på , som senare kom att betraktas som en gräns : $y$ $x$

\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x))=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x )-f(x)}{\Delta x))

var, enligt Leibniz, förhållandet mellan en oändlig ökning och en oändlig ökning : $y$ $x$

{\frac {dy}{dx}}=f'(x)

där den högra sidan är notationen för derivatan av funktionen med avseende på Lagrange notation . Infinitesimala inkrement kallas differentialer . Relaterat till detta koncept är begreppet en integral , där oändliga inkrement summeras (till exempel för att beräkna längd, area eller volym som summan av små bitar). För att skriva integraler föreslog Leibniz en närbesläktad notation som använder samma differentialer. Denna notation var av stor betydelse för utvecklingen av kontinentaleuropeisk matematik. $f$ $x$

Leibniz begrepp om infinitesimals förblev icke rigoröst under lång tid, men med tiden kompletterades det med rigorösa formuleringar utvecklade av Weierstrass och andra matematiker på 1800-talet. Som en konsekvens kom Leibniz bråknotation att ses inte som en enkel division, utan definierades genom passagen till gränsen . På 1900-talet föreslogs flera andra formalismer för att ge rigor åt den infinitesimala notationen, inklusive icke-standardiserad analys , tangentrymd , användningen av stort "O"[ specificera ] .

Derivater och integraler av matematisk analys kan ses från den moderna teorin om differentialformer , där derivatan verkligen är förhållandet mellan två differentialer, och integralen beter sig exakt i enlighet med Leibniz-notationen. Detta kräver dock att derivatan och integralen definieras i en annan mening, vilket återspeglar konsistensen och beräkningseffektiviteten hos Leibniz-notationen.

Historik

På 1600-talet började matematikerna Newton och Leibniz självständigt utveckla kalkyler, som arbetade med oändligt små kvantiteter . Medan Newton arbetade med fluxioner baserade Leibniz sin strategi på generaliseringen av summor och skillnader [2] . Leibniz var den första som använde symbolen . Denna symbol kommer från det latinska ordet summa ("summa"), som forskaren skrev som ſumma med den långsträckta bokstaven s , som ofta användes i Tyskland på den tiden. Med tanke på differentiering som den omvända operationen till summering [3] använde Leibniz symbolen - den första bokstaven i det latinska ordet differentia ("skillnad") [2] . $\textstil \int$ $d$

Leibniz var noggrann när det gäller notation, spenderade år med att experimentera, justera, utrota och hålla med andra matematiker [4] . Notationen han använde för variabeln differential ändrades gradvis från , till den slutliga notationen [5] . Hans integrerade tecken förekom först i artikeln "De Geometria Recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum" (Om dold geometri och analysen av det odelbara och oändliga), publicerad i tidskriften Acta Eruditorum i juni 1686 [6] [7] , men var använts i privata manuskript av sedan åtminstone 1675 [8] [9] [10] Leibniz använde först beteckningen i artikeln " Nova Methodus pro Maximis et Minimis ", även publicerad i tidskriften Acta Eruditorum 1684 [11] . Även om uttrycket förekom i ett privat manuskript från 1675 [12] [13] , användes det inte i denna form i de nämnda publicerade verken. I tryck använde Leibniz uttryck för differentiering i formen och [11] . $y$ $\omega$ $l$ ${\tfrac {y}{d))$ $dy$ $dx$ ${\tfrac {dy}{dx))$ $dyaddx$ $dy:dx$

Engelska matematiker använde Newtons punktnotation fram till 1803, då Robert Woodhouse publicerade en beskrivning av kontinental notation. Senare Cambridge University Analytical Society anpassningen av Leibniz notation.

I slutet av 1800-talet slutade anhängarna av Weierstrass att ta Leibniz notation för derivator och integraler bokstavligt. Matematiker ansåg att begreppet infinitesimals innehöll en logisk motsägelse. Vissa 1800-talsmatematiker (Weierstrass och andra) formulerade matematiskt rigorösa metoder för att hantera derivator och integraler utan att använda infinitesimaler. Weierstrass matematiska formalisering använde begreppet en gräns , som visas ovan. Samtidigt använde Cauchy både infinitesimals och limits (se Cours d'Analyse ). För tillfället fortsätter Leibniz notation att användas aktivt, men det ska inte tas bokstavligt. Leibniz-notation är ofta enklare än alternativa notationer: till exempel när man använder separationstekniken för variabler när man löser differentialekvationer. Också Leibniz notation är i harmoni med dimensionsanalys . Till exempel, låt vara förskjutning, som mäts i meter, och låt vara tid, mätt i sekunder. Inkrementen av kvantiteter har motsvarande dimensioner, det vill säga den har dimensionen längd och dimensionen av tid. Derivatan bestämmer hastigheten med dimensionen m/s . På samma sätt kommer integralen att bestämma förskjutningen mätt i meter. $s(t)$ $t$ $ds$ $dt$ $v(t)=ds/dt$ ${\textstyle s=\int v(t)\,dt}$

Leibniz notation för differentiering

Låt den beroende variabeln vara en funktion av den oberoende variabeln : . Sedan kan derivatan av funktionen i Leibniz notation för differentiering skrivas som: $y$ $f$ $x$ $y=f(x)$ $f$

{\frac {dy}{dx))\quad

eller eller .

\quad {\frac {d}{dx}}y\quad

\quad {\frac {d{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx}}

Leibniz-uttrycket, skrivet som , är en av de allmänt accepterade beteckningarna för derivatan. Alternativ är Lagrange-notationen med primtal $dy/dx$

{\frac {dy}{dx}}\,=y'=f'(x)

och en notation i Newtonsk notation som kräver att en punkt placeras över den beroende variabeln (i detta fall ): $y$

{\frac {dy}{dt}}={\dot {y}}

Newtonsk notation används ofta för att skriva derivator med avseende på tid (liknande hastighet ). Lagranges " slag " -notation är mer koncis och låter en skriva derivatan av en funktion vid en viss punkt. Till exempel betecknar posten den första derivatan av funktionen vid punkten . Leibniz-beteckningen har dock sina fördelar, vilket gör att den förblir populär efter många år. $f'(x_{0})$ $f(x)$ $x = x_0$

I den moderna tolkningen bör uttrycket inte betraktas som ett direkt förhållande mellan två oändligt små kvantiteter och (som Leibniz föreställde sig), utan som ett enda uttryck, vilket är en förkortning för omfördelning: ${\tfrac {dy}{dx))$ $dy$ $dx$

\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x))

tecknet som används här är , som betecknar en finit skillnad, snarare än , som betecknar en infinitesimal som tolkats av Leibniz. ${\Delta }$ $d$

Ett uttryck kan också förstås som verkan av en differentialoperator (igen, en enda symbol) på en variabel , som behandlas som en funktion av den oberoende variabeln . Denna operator är också skriven som i Euler-notation . Leibniz använde inte denna form, utan tillämpade symbolen ganska nära det moderna konceptet. ${\tfrac {d}{dx))$ $y$ $x$ $D$ $d$

Även om Leibniz notation inte innebär någon verklig division, är kvotnotationen användbar i många situationer. Eftersom derivatoperatorn beter sig på samma sätt som divisionsoperationen i många fall, gör Leibniz notation det lättare att förstå och komma ihåg vissa resultat relaterade till derivator [14] . Så, det nämndes redan tidigare att dimensionerna av kvantiteter under differentiering beter sig som i vanlig division, ett annat illustrativt exempel är regeln om differentiering av en komplex funktion , som i Leibniz-notation är uppenbar och tar en form nära en tautologi:

{\frac {dy}{dt}}\,=\,{\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}

Leibniz-notationen har en så lång livslängd eftersom den når själva kärnan av geometriska och mekaniska analystillämpningar [15] .

Leibniz-notation för derivator av högre ordning

Om , då den -th derivatan av funktionen i Leibniz notation ges av uttrycket [16] $y=f(x)$ $n$ $f$

{\displaystyle f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}y}{dx^{n))))

Denna notation för den andra derivatan erhålls genom att använda den som en operator enligt följande [16] : ${\tfrac {d}{dx))$

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}} \höger)

Den tredje derivatan, som kan skrivas som:

{\frac {d\left({\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}\right)}{dx}}\,,

kan erhållas från:

{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {d^{2}y }{dx^{2))}\right)\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{ dx}}\right)\right)

På liknande sätt kan derivat av högre ordning erhållas från instruktioner. Även om uttrycket, med noggrant utvalda definitioner, kan tolkas som en kvot av två differentialer , bör detta inte göras för högre ordningens differentialformer [17] . ${\tfrac {dy}{dx))$

Denna beteckning användes inte av Leibniz. I tryckta verk använde han inte vare sig flerstegsnotation eller numeriska exponenter (fram till 1695). Till exempel, för att skriva ner , kunde Leibniz använda notationen som accepterades vid den tiden . Kvadraten på differentialen, som visas till exempel i kurvlängdsformeln , skrevs som . Dessutom använde Leibniz sin notation i den mening som operatorer nu används i, det vill säga han kunde skriva andraderivatan som , och den tredje som . 1695 började Leibniz skriva för och för respektive , men Lopital använde i en bok om kalkyl skriven ungefär samma tid den ursprungliga formen av Leibniz notation [18] . $x^{3}$ $xxx$ $dxdx$ $d$ $ddy$ $dddy$ $d^{2}\cdot {x}$ $d^{3}\cdot {x}$ $ddx$ $dddx$

Använd i olika formler

En av anledningarna till att Leibniz notation har hållit i sig så länge i kalkyl är att den gör det lätt att komma ihåg de olika formlerna som används för differentiering och integration. Till exempel formeln för att differentiera en komplex funktion . Låt funktionen vara differentierbar med avseende på och låt funktionen vara differentierbar med avseende på . Sammansättningen av funktioner är differentierbar med avseende på och dess derivata kan uttryckas i Leibniz notation som [19] $g(x)$ $x$ $y=f(u)$ $u=g(x)$ $y(x)=f(g(x))$ $x$

{\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}

Formeln kan generaliseras för att fungera med en sammansättning av flera relaterade funktioner definierade på ett lämpligt sätt ${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots ,u_{n))$

{\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du_{1}}}\cdot {\frac {du_{1}}{du_{2}}}\cdot {\frac {du_{2}}{du_{3}}}\cdots {\frac {du_{n}}{dx}}

Formeln för ändringen av variabel i integralen kan representeras av uttrycket [20] :

\int y\,dx=\int y{\frac {dx}{du}}\,du,

där betraktas som en funktion av en ny variabel , funktionen till vänster uttrycks i termer av , och till höger i termer av . $x$ $u$ $y$ $x$ $u$

Låt , där är en inverterbar differentierbar funktion, då kan derivatan av den inversa funktionen (om den finns) uttryckas som [21] $y=f(x)$ $f$

{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\left({\frac {dy}{dx}}\right))),

där parenteser läggs till för att understryka att derivatan inte är en kvot, utan uttrycket måste betraktas som en helhet. Men när man löser vissa typer av differentialekvationer är det tillåtet att arbeta med differentialer och separat . Betrakta en av de enklaste typerna av differentialekvationer [22] ${\textstyle {\frac {dy}{dx))}$ $dy$ $dx$

M(x)+N(y){\frac {dy}{dx}}=0,

var och är kontinuerliga funktioner av deras argument. Lösningen (implicit) av en sådan ekvation kan erhållas genom att undersöka ekvationen i dess differentialform . $M$ $N$

M(x)\,dx+N(y)\,dy=0

Efter integration får vi

\int M(x)\,dx+\int N(y)\,dy=C.

Denna teknik för att lösa differentialekvationer kallas metoden för separation av variabler .

I vart och ett av exemplen visar sig Leibniz notation för derivatan som en kvot, trots att uttrycket i modern tolkning inte behandlas som en sann division. ${\textstyle {\frac {dy}{dx))}$

Modern motivering för infinitesimals

På 1960-talet, med utgångspunkt i Edwin Hewitts och Jerzy Loss tidiga arbete föreslog Abraham Robinson en matematisk motivering för Leibniz infinitesimals som var acceptabel för dagens standarder för rigor, och utvecklade icke-standardiserad analys baserad på dessa idéer. Tillvägagångssättet fick viss popularitet, Jerome Keisler baserat på det skrev en lärobok för den första kursen "The Beginnings of Analysis: The Infinitely Small Approach", men Robinsons metoder användes inte i stor utsträckning.

Ur den moderna teorin om infinitesimals , är ett infinitesimalt inkrement , är det motsvarande inkrementet , och derivatan är standarddelen av det infinitesimala förhållandet: ${\Delta }x$ $x$ ${\Delta }y$ $y$

{\displaystyle f'(x)={\rm {st)){\Bigg (}{\frac {\Delta y}{\Delta x)){\Bigg )))

Då likställer vi , , så per definition är en relation till . $dx=\Delta x$ $dy=f'(x)dx$ $f'(x)$ $dy$ $dx$

På samma sätt, även om de flesta matematiker förstår integralen:

\int f(x)\,dx

som gräns:

\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum _{i}f(x_{i})\,\Delta x

där är ett intervall som innehåller , Leibniz såg det som summan (integralsymbolen betecknad summering för det) av ett oändligt stort antal infinitesimala kvantiteter . Ur synvinkel av icke-standardiserad analys är det korrekt att betrakta integralen som standarddelen av en sådan oändlig summa. ${\Delta }x$ $x_{i}$ $f(x)dx$

I utbyte, för begreppets noggrannhet, är det nödvändigt att utöka uppsättningen av reella tal till uppsättningen av hyperreala tal .

Andra Leibniz-beteckningar

Leibniz experimenterade med många olika notationer inom olika områden av matematiken. Han ansåg att god notation tjänade en grundläggande roll i matematikstudier. I ett brev till Lopital 1693 skriver han [23] :

En av analysens hemligheter är karakterisering, det vill säga konsten att mästerligt använda tillgängliga symboler, och du ser, sir, att bakom de små barriärerna [för bestämningsfaktorer] såg Vieta och Descartes inte alla hemligheterna

Han förfinade sitt kriterium på god notation över tid och förstod innebörden av att "använda en symbolik som kan skrivas in i en sträng som en enkel bokstav utan att behöva vidga bredden på raderna för att skriva tecken med rymliga delar." [24] Till exempel, i sitt tidiga arbete använde han ofta en överstreck för att gruppera tecken, men föreslog senare att använda ett par parenteser för detta, vilket underlättade arbetet för sättsättare, som nu inte längre behöver utöka utrymmet mellan raderna på en sida, och sidorna började se mer attraktiva ut [25] .

Många av de 200 nya symbolerna som introducerades av Leibniz är fortfarande i bruk idag [26] . Förutom differentialer och integraltecknet ( ), introducerade han också ett kolon ( ) för division, en punkt ( ) för multiplikation, geometriska tecken på likhet ( ) och kongruens ( ), användningen av Records likhetstecken ( ) för proportioner (istället för Ottreds notation ), och ett dubbelt suffix för determinanter [23] . $dx$ $dy$ $\textstil \int$ $\colon$ $\cdot$ $\sim$ $\kong$ $=$ $\colon \colon$

Se även

Anteckningar

↑ Stewart, 2008 .
↑ 1 2 Katz, 1993 , sid. 524.
↑ Katz, 1993 , sid. 529.
↑ Mazur, 2014 , sid. 166.
↑ Cajori, 1993 , sid. Vol. II 203 fotnot 4.
↑ Swetz, 2015 .
↑ Stillwell, 1989 , sid. 110.
↑ Leibniz, 2005 , sid. 73–74, 80.
↑ Leibniz, 2008 , sid. 288-295, 321-331.
↑ Aldrich, John. De tidigaste användningarna av symboler för kalkyl . Hämtad 20 april 2017. Arkiverad från originalet 1 maj 2015. (obestämd)
↑ 1 2 Cajori, 1993 , sid. Vol. II 204.
↑ Leibniz, 2008 , sid. 321–331, 328.
↑ Cajori, 1993 , sid. Vol. II 186.
↑ Jordan, Smith, 2002 , sid. 58.
↑ Cajori, 1993 , sid. Vol. II 262.
↑ 1 2 Briggs, Cochran, 2010 , sid. 141.
↑ Swokowski, 1983 , sid. 135.
↑ Cajori, 1993 , sid. Vol. II 204-205.
↑ Briggs, Cochran, 2010 , sid. 176.
↑ Swokowski, 1983 , sid. 257.
↑ Swokowski, 1983 , sid. 369.
↑ Swokowski, 1983 , sid. 895.
↑ 1 2 Cajori, 1993 , sid. Vol. II 185.
↑ Cajori, 1993 , sid. Vol. II 184.
↑ Mazur, 2014 , sid. 167-168.
↑ Mazur, 2014 , sid. 167.

Litteratur

Florian Cajori. En historia av matematiska notationer . - New York: Dover, 1993. - ISBN 0-486-67766-4 .
Joseph Mazur. Upplysande symboler / En kort historia om matematisk notation och dess dolda krafter. - Princeton University Press, 2014. - ISBN 978-0-691-17337-5 .
James Stewart. Kalkyl: Tidiga Transcendentals . — 6:a. — Brooks/Cole , 2008. — ISBN 978-0-495-01166-8 .
Victor J. Katz A History of Mathematics / En introduktion . - Addison Wesley Longman, 1993. - ISBN 978-0-321-01618-8 .
Frank J. Swetz. Matematisk skatt: Leibniz' papper om kalkyl—integralkalkyl . - Mathematical Association of America , 2015. - (Konvergens).
John Stillwell . Matematik och dess historia . — Springer, 1989.
Leibniz GW The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz / översatt av JM Child. - Dover, 2005. - S. 73–74, 80. - ISBN 978-0-486-44596-0 .
Leibniz GW Sämtliche Schriften und Briefe, Reihe VII: // Mathematische Schriften, . - Berlin: Akademie Verlag, 2008. - V. 5: Infinitesimalmathematik 1674-1676. Sidor 288-295 Arkiverad 9 oktober 2021 på Wayback Machine ("Analyseos tetragonisticae pars secunda", 29 oktober 1675) 321-331 Arkiverad 3 oktober 2016 på Wayback Machine ("Methodi tangentium inversae exempla", 11 november, 3275) 1675 -331 esp. 328 Arkiverad 3 oktober 2016 på Wayback Machine ("Methodi tangentium inversae exempla", 11 november 1675).
Jordan DW, Smith P. Mathematical Techniques: An Introduction for the Engineering, Physical and Mathematical Sciences. - Oxford University Press, 2002. - S. 58.
William Briggs, Lyle Cochran. Kalkyl/Tidiga Transcendental/Enstaka variabel . - Addison-Wesley, 2010. - ISBN 978-0-321-66414-3 .
Earl W. Swokowski. Kalkyl med analytisk geometri . — Alternativ. — Prindle, Weber och Schmidt, 1983. — ISBN 0-87150-341-7 .