Komplex funktionsdifferentiering

Kedjeregeln ( regeln för differentiering av en komplex funktion ) låter dig beräkna derivatan av sammansättningen av två eller flera funktioner baserat på individuella derivator. Om en funktion har en derivata vid , och en funktion har en derivata vid , så har den komplexa funktionen också en derivata vid . $f$ $x_{0}$ $g$ $y_{0}=f(x_{0})$ $h(x)=g(f(x))$ $x_{0}$

Endimensionellt fall

Låt funktioner definierade i grannskap på den reella linjen ges, där och Låt även dessa funktioner vara differentierbara: Då är deras sammansättning också differentierbar: och dess derivata har formen: $f:U(x_{0})\till V(y_{0}),$ $y_{0}=f(x_{0}),$ $g:V(y_{0})\to \mathbb {R}$ $f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),\;g\in {\mathcal {D}}(y_{0}).$ $h=g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),$

h'(x_{0})=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0}).

Notera

I Leibniz- notation tar kedjeregeln för att beräkna derivatan av funktionen följande form: $y=y(x),$ $x=x(t),$

{\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}.

Invarians av formen för den första differentialen

Differentialen för en funktion i en punkt har formen: $z=g(y)$ $y_0$

dz=g'(y_{0})\,dy,

var är differentialen för den identiska mappningen : $dy$ $y\to y_{0}$

dy(h)=h,\quad h\in \mathbb {R} .

Låt nu Then , och enligt kedjeregeln: $y=f(x),\;x\in U(x_{0}),\;f\in {\mathcal {D))(x_{0}).$ $dy=f'(x_{0})\,dx$

dz=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0})\,dx=g'(y_{0})\,dy.

Således förblir formen av den första differentialen densamma oavsett om variabeln är en funktion eller inte.

Exempel

Låt Då kan funktionen skrivas som en komposition där $h(x)={(3x^{2}-5x)}^{7}.\;$ $h\;$ $h=g\circ f,$

f(x)=3x^{2}-5x,\;

g(y)=y^{7}.\;

Differentiera dessa funktioner separat:

f'(x)=6x-5,\;

g'(y)=7y^{6},\;

vi får

h'(x)=7(3x^{2}-5x)^{6}\cdot (6x-5).

Flerdimensionellt fall

Låt funktionerna var och ges. Låt också dessa funktioner vara differentierbara: och då är deras sammansättning också differentierbar, och dess differential har formen $f:U(x_{0})\subset \mathbb {R} ^{m}\to V(y_{0})\subset \mathbb {R} ^{n},$ $y_{0}=f(x_{0}),$ $g:V(y_{0})\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}.$ $f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$ $g\in {\mathcal {D}}(y_{0}).$

dh(x_{0})=dg(y_{0})\circ df(x_{0})

I synnerhet är Jacobi-matrisen för en funktion produkten av Jacobi-matriserna för funktionerna och $h$ $g$ $f:$

{\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (x_{1},\ldots,x_{m)))))={\frac {\ partiell (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (y_{1},\ldots,y_{n)))))\cdot {\frac {\partial (y_{1}, \ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m)))))

Konsekvenser

Jacobian av sammansättningen av två funktioner är produkten av Jacobians av de individuella funktionerna: $\left\vert {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n)))))\right \ vert =\left\vert {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{n})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n)))))\right \vert \cdot \left\vert {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n)))))\ höger\vert .$

För partiella derivator av en komplex funktion,

${\frac {\partial h(x_{0})}{\partial x_{j))}=\summa \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(y_ {0})}{\partial y_{i))}{\frac {\partial f(x_{0})}{\partial x_{j))},\quad j=1,\ldots m.$

Exempel

Låt en funktion av tre variabler ges och det krävs för att hitta dess partiella derivata med avseende på variabeln . Funktionen kan skrivas som var $h(x,y,z)=\sin x+\cos ^{2}(x+y+z)-{\sqrt {2x^{2}+5y^{3))}\;$ $x$ $h\;$ $h(x,y,z)=f(u,v,w),$