Jacobian matris

Jacobi- matrisen för en mappning vid en punkt beskriver den huvudsakliga linjära delen av en godtycklig mappning vid en punkt . ${\mathbf {u}}\colon \mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R} ^{m}$ $x\in \mathbb{R} ^{n}$ $\mathbf {u}$ $x$

Definition

Låt en mappning ges som någon gång har alla partiella derivator av första ordningen. Matrisen som består av partiella derivator av dessa funktioner vid punkten kallas Jacobi- matrisen för det givna funktionssystemet. $\mathbf {u} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},\mathbf {u} =(u_{1},\ldots ,u_{m}) ^{T},u_{i}=u_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),i=1,\ldots ,m,$ $x$ $J$ $x$

J(x)={\begin{pmatrix}{\partial u_{1} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{1} \over \partial x_{2}} (x)&\cdots &{\partial u_{1} \over \partial x_{n}}(x)\\{\partial u_{2} \over \partial x_{1}}(x)&{\ partiell u_{2} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{2} \over \partial x_{n}}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\partial u_{m} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{m} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\ partiell u_{m} \över \partial x_{n}}(x)\end{pmatrix}}

Med andra ord är Jacobi-matrisen derivatan av en vektorfunktion av ett vektorargument.

Relaterade definitioner

Om så kallas Jacobi - matrisdeterminanten Jacobi-determinanten eller Jacobi- determinanten för funktionssystemet . $m=n$ $|J|$ $u_{1},\ldots ,u_{n}$
En mappning kallas icke- degenererad om dess jakobiska matris har högsta möjliga rang ; det är, ${\mathrm {rank}}\,J=\min(m,n)$

Egenskaper

Om alla är kontinuerligt differentierbara i ett grannskap , då $u_{i}$ ${\mathbf {x}}_{0}$ ${\mathbf {u}}(x)={\mathbf {u}}(x_{0})+J(x_{0})({\mathbf {x}}-{\mathbf {x}}_{ 0})+o(|{\mathbf {x}}-{\mathbf {x}}_{0}|)$
Låt vara differentierbara mappningar och vara deras Jacobi-matriser. Då är Jacobi-matrisen för sammansättningen av mappningar lika med produkten av deras Jacobi-matriser (den funktionella egenskapen ): $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},~\psi \colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^ {k}$ $J_{\varphi },J_{\psi }$ $J_{{\psi \circ \varphi }}(x)=J_{\psi }(\varphi (x))J_{\varphi }(x)$

Se även

Jacobian

Differentialkalkyl

Main

privata vyer

Differentialoperatorer
( i olika koordinater )

Första beställning	Nabla-operatör Lutning Divergens Rotor Helmholtzian
andra beställning	Elliptisk operatör Laplace-operatör Laplace vektor operatör D'Alembert operatör Laplace-Beltrami operatör
högre order	Hypoelliptisk operatör

Relaterade ämnen