Variabel separationsmetod

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 7 mars 2020; kontroller kräver 4 redigeringar .

Metoden för separation av variabler är en metod för att lösa differentialekvationer , baserad på den algebraiska transformationen av den ursprungliga ekvationen till likheten mellan två uttryck beroende på olika variabler , av vilka några är funktioner av andra.

När det tillämpas på partiella differentialekvationer leder separationsschemat till att hitta en lösning i form av en Fourier -serie eller integral . I det här fallet kallas metoden även Fouriermetoden (till ära av Jean Baptiste Fourier , som byggde lösningar av värmeekvationen i form av trigonometriska serier [1] ) och metoden för stående vågor [2] [3] .

Vanliga differentialekvationer

Betrakta en vanlig differentialekvation , vars högra sida är produkten av en funktion endast från av en funktion endast från (i detta fall är funktionen en funktion av ). [4] : $x$ $y$ $y$ $x$

$\frac{dy}{dx} = g(x) h(y). \qquad (1)$

I det här fallet kan denna ekvation skrivas om i formen $h(y) \ne 0$

$\frac{dy}{h(y)} = g(x) dx$ .

Låt oss vara någon lösning av ekvation (1). Det följer av likheten mellan differentialer att deras obestämda integraler endast skiljer sig åt i en godtycklig konstant term : $y(x)$

$\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x) dx + C$ .

Genom att beräkna integralerna får vi den allmänna integralen av ekvation (1).

Om ekvationen ges som [5] :

$M(x)N(y)dx + P(x)Q(y)dy = 0,$

sedan för att separera variablerna är det inte nödvändigt att reducera det till formen (1). Det räcker att dela upp båda delarna i : $N(y) P(x)$

$\frac{M(x) dx}{P(x)} + \frac{ Q(y)dy}{N(y)} = 0,$

var kommer den allmänna integralen ifrån

$\int \frac{M(x) dx}{P(x)} + \int \frac{ Q(y)dy}{N(y)} = C.$

Exempel

Låta

$x dy - y dx = 0$ [6] .

Att separera variablerna får vi

$\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}.$

Att integrera båda delarna av den senaste jämlikheten har vi

$\ln|y| = \ln|x| + \ln C_1,$

där är en positiv konstant. Härifrån $C_{1}$

$|y| = C_1 |x|$

eller

$y=Cx,$

var är en godtycklig konstant som kan ta både positiva och negativa värden. $C = \pm C_1$

Lösningarna av denna differentialekvation är också funktionerna och . Den sista lösningen erhålls från den allmänna lösningen för . $x=0$ $y=0$ $y = C x$ $C=0$

Partiella differentialekvationer

Metoden för separation av variabler används för att lösa gränsvärdesproblem för linjära ekvationer av andra ordningen av hyperboliska , paraboliska och elliptiska typer, såväl som för vissa klasser av olinjära ekvationer och ekvationer av högre ordning [7] .

Homogen ekvation

Låt oss ge ett schema över metoden för problemet med vibrationer av en sträng fixerad i ändarna [8] :

$u_{tt} = a^2 u_{xx}, \qquad(2)$

$u(0,t) = 0, \quad u(l, t) = 0, \qquad (3)$

$u(x, 0) = \varphi(x), \quad u_t(x, 0) = \psi(x). \qquad (4)$

Vi kommer att leta efter lösningar av ekvation (2) som är identiskt icke-noll och som uppfyller gränsvillkor (3) i form av en produkt

$u(x, t) = X(x) T(t). \quad (5)$

Ersätt den förväntade typen av lösning i ekvation (2) och dividera med : $a^2 X(x) T(t)$

$\frac{X''(x)}{X(x)} = \frac{T''(t)}{a^2 T(t)}. \qquad (6)$

Den vänstra sidan av likhet (6) är en funktion av endast variabeln , den högra sidan är bara en funktion av . Därför är båda delarna inte beroende av eller på och är lika med någon konstant . Vi får vanliga differentialekvationer för att bestämma funktionerna och : $x$ $t$ $x$ $t$ $-\lambda$ $X(x)$ $T(t)$

$X''(x) + \lambda X(x) = 0, \quad X(x) \not \equiv 0, \qquad (7)$

$T''(t) + a^2 \lambda T(t) = 0, \quad T(t) \not \equiv 0, \qquad (8)$

Genom att ersätta (5) i randvillkoren (3) får vi

$X(0) = X(l) = 0. \qquad (9)$

Vi kommer fram till Sturm-Liouville-problemet (7),(9). Det här problemet har icke-triviala lösningar (egenfunktioner)

$X_n(x) = \sin \frac{\pi n }{l} x,$

bestäms upp till en godtycklig faktor endast för värden som är lika med egenvärdena $\lambda$

$\lambda_n = \left(\frac{\pi n}{l}\right)^2, \quad n = 1, 2, 3, \dots$

Lösningarna i ekvation (8) motsvarar samma värden $\lambda_n$

$T_n(t) = A_n \cos \frac{\pi n}{l}at + B_n \sin \frac{\pi n}{l}at,$

var och är godtyckliga konstanter. $En$ $B_n$

Funktionerna alltså

$u_n(x, t) = X_n(x) T_n(t)$

är speciella lösningar av ekvation (2) som uppfyller villkor (3). Lösningen på problem (2)-(4) erhålls som en oändlig summa av specifika lösningar

$u(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} u_n(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} \left(A_n \cos \frac{\pi n }{l} vid + B_n \sin \frac{\pi n}{l}vid \right) \sin \frac{\pi n }{l} x,$

där konstanterna och kan hittas från de initiala förhållandena (4) som Fourier-koefficienterna för funktionerna och : $En}$ $B_{n}$ $\varphi(x)$ $\psi(x)$

$A_n = \frac{2}{l} \int_0^l \varphi(x) \sin \frac{\pi n}{l} x dx, \quad B_n = \frac{2}{\pi na} \int_0 ^l \psi(x) \sin \frac{\pi n}{l} x dx.$

Metoden för separation av variabler är också tillämplig på ekvationen av vibrationer för en sträng av allmän form

$\frac{\partial}{\partial x} \left[ k(x) \frac{\partial u}{\partial x} \right] - q(x) u = \rho(x) \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2},$

där , och är kontinuerliga positiva funktioner på intervallet [9] . I detta fall är lösningen konstruerad som en serie egenfunktioner av Sturm-Liouville-problemet $k$ $q$ $\rho$ $0<x<l$

$\frac{d}{dx} \left[ k(x) \frac{d X}{dx} \right] - q(x) X + \lambda \rho(x) X = 0, \quad X(0 ) = X(l) = 0. \qquad (10)$

Det grundläggande arbetet med motiveringen av Fouriermetoden tillhör V. A. Steklov [10] . Steklovs teorem säger att, under vissa förhållanden, vilken funktion som helst kan expanderas unikt till en Fourier-serie i termer av egenfunktioner till gränsvärdesproblemet (10).

Inhomogen ekvation

Metoden för separation av variabler för inhomogena ekvationer kallas ibland Krylovmetoden för att hedra A. N. Krylov [2] . När man löser gränsvärdesproblemet för ekvationen av den inhomogena ekvationen av strängvibrationer

$u_{tt} = a^2 u_{xx} + f(x, t) \quad (11)$

funktioner och utökas till Fourier-serier i termer av systemet av egenfunktioner för Sturm-Liouville-problemet för motsvarande homogena ekvation (2): $u$ $f$

$u(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} T_n(t) \sin \frac{\pi n}{l}x,$

$f(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} f_n(t) \sin \frac{\pi n}{l} x.$

Att ersätta den erhållna serien i ekvation (11), med hänsyn till systemets ortogonalitet , ger ekvationen för : $\left \{ \sin \frac{\pi n}{l} x \right \}$ $T_n(t)$

$T''_n(t) + a^2 \lambda_n T_n(t) = f_n(t). \qquad (12)$

Funktionerna kan hittas som lösningar på Cauchy-problemen för ekvationer (12) med initialvillkor erhållna från initialvillkoren för det ursprungliga gränsvärdesproblemet. $T_n(t)$

Programvara

Xcas : [11] split((x+1)*(y-2),[x,y]) = [x+1,y-2]

Se även

Anteckningar

↑ Klein F. föreläser om matematikens utveckling under 1800-talet. - M. - L. : GONTI, 1937. - T. I. - S. 103.
↑ 1 2 Yurko V. A. Equations of matematisk fysik, 2004 .
↑ Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Equations of matematisk fysik, 1999 , sid. 88.
↑ Smirnov V.I. Course of Higher Mathematics, 1974 , volym 2, sid. fjorton.
↑ Stepanov V.V. Course of differentialekvationer, 1950 , sid. 24.
↑ Demidovich B.P., Modenov V.P. Differential Equations, 2008 , sid. 19.
↑ Zaitsev V. F., Polyanin A. D. Metod för separation av variabler i matematisk fysik, 2009 .
↑ Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Equations of matematisk fysik, 1999 , sid. 82.
↑ Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Equations of matematisk fysik, 1999 , sid. 113.
↑ Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Equations of matematisk fysik, 1999 , sid. 119.
↑ [Symbolisk algebra och matematik med Xcas http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf ] . (obestämd)

Litteratur

Smirnov V.I. Kurs i högre matematik. — 21:a upplagan. - Nauka, 1974. - T. 2.
Stepanov VV Förlopp för differentialekvationer. - Ed. 6:a. — 1950.
Demidovich B.P. , Modenov V.P. Differentialekvationer: en handledning. - 3:e upplagan .. raderad .. - St. Petersburg. : Lan, 2008. - 288 sid.
Zaitsev V. F. , Polyanin A. D. Metod för separation av variabler i matematisk fysik. - St Petersburg. , 2009. - 92 sid. - ISBN 978-5-94777-211-1.
Tikhonov A. N. , Samarsky A. A. Ekvationer för matematisk fysik: Lärobok .. - 6:e upplagan, Rev. och ytterligare .. - M . : Publishing House of Moscow State University, 1999. - 798 sid. — ISBN 5-211-04138-0 .
Yurko V. A. Ekvationer av matematisk fysik: lärobok. manual för studenter vid mekanik- och matematik- och fysikavdelningarna. - Saratov: Sarat Publishing House. un-ta, 2004. - 118 sid. — ISBN 5-292-03022-8 .