Hyperrealistiskt tal

Hyperreala tal ( hyperreala tal ) - en förlängning av fältet av reella tal , som innehåller tal som är större än alla representativa i form av en ändlig summa . $\mathbb {R}$ $1+1+\cdots +1$

Termen "hyperreal number" ( eng. hyper-real number ) föreslogs av den amerikanske matematikern Edwin Hewitt 1948 [1] . Teorin om området för hyperreala tal som en förlängning av området för reala tal publicerades på 1960-talet av Abraham Robinson , som kallade det " icke-standardanalys ". Robinson bevisade också konsistensen av denna teori (mer exakt, han reducerade problemet till konsistensen av reella tal).

Teorin om hyperreala tal ger ett rigoröst tillvägagångssätt för beräkningen av oändligt stora och oändligt små kvantiteter, som i detta fall, i motsats till standardanalys, inte är variabler, utan konstanter, det vill säga tal. I icke-standardiserad analys, på modern basis, rehabiliteras idén som går tillbaka till Leibniz och hans anhängare om förekomsten av faktiska oändliga storheter andra än noll, en idé som i den historiska utvecklingen av matematisk analys ersattes av begreppet om en variabel gräns . Det är konstigt att idéer om faktiska oändligt stora och oändligt små kvantiteter bevarades i läroböckerna i fysik och andra naturvetenskaper, där fraser som "låt det finnas ett (oändligt litet) volymelement ..." [2] ofta finns . $dV$

Formell definition

Uppsättningen av hyperreella tal är ett icke-arkimediskt ordnat fält , en förlängning av fältet med reella tal , som innehåller siffror som är större än alla som kan representeras som en ändlig summa . Varje sådant nummer är oändligt stort , och dess ömsesidiga är oändligt litet . $^{*}\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $1+1+\cdots +1$

Hyperrealistiska tal uppfyller överföringsprincipen, en rigorös variant av Leibniz heuristiska kontinuitetsprincip . Överföringsprincipen säger att påståenden i första ordningens logik om också gäller för . Till exempel är regeln för kommutativitet för addition giltig för hyperreala tal på samma sätt som för reella. Överföringsprincipen för ultrakrafter är en konsekvens av Los sats (1955). Egenskaperna för aritmetiska operationer med hyperreala tal är i princip desamma som för reella tal. $\mathbb {R}$ $^{*}\mathbb {R}$ $x+y=y+x$

Studiet av oändliga kvantiteter går tillbaka till den antika grekiske matematikern Eudoxus från Cnidus , som använde utmattningsmetoden för att beräkna dem . År 1961 bevisade A. Robinson att fältet för reella tal kan utvidgas till en mängd ( ett ordnat icke-arkimediskt fält) som innehåller oändligt små och oändligt stora element i den mening som Leibniz och andra matematiker från 1700-talet lade in i dessa begrepp [ 3] .

Tillämpningen av hyperrealistiska tal och i synnerhet överföringsprincipen i problem med matematisk analys kallas icke-standardiserad analys . En av de omedelbara tillämpningarna är att definiera de grundläggande analysbegreppen, såsom derivatan och integralen direkt, utan att använda övergången till gränsen eller komplexa logiska konstruktioner. Således blir definitionen av derivatan från analytiken rent aritmetisk: $f(x)$

f'(x)=\operatörsnamn {st} \left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)

för infinitesimal , där betyder standarddelen av talet , som förbinder varje ändligt hyperrealistiskt tal med det enda reella talet som är oändligt nära det. $\Delta x$ $\operatörsnamn {st}$

Fält för hyperreala tal

Fältet för hyperreala tal består av tre delar [4] : $^{*}\mathbb {R}$

negativa oändliga tal,
slutliga siffror
positiva oändliga tal.

Finita tal kan i sin tur delas in i två kategorier: vanliga reella och icke-standardiserade . Varje icke-standardiserat ändligt tal kan representeras unikt som: där är ett reellt tal och är ett infinitesimalt (positivt eller negativt). När , erhålls en uppsättning infinitesimals. Således visar sig varje reellt tal vara, så att säga, insvept i en aura ( monad ) av sina hypermateriella motsvarigheter, oändligt nära den [5] . $a+\epsilon ,$ $a$ $\epsilon$ $a=0$

Algebraisk struktur

Antag att det är Tikhonov-rummet , som också kallas -utrymme, och är algebra för kontinuerliga reella funktioner på . Låt det finnas ett maximalt ideal i . Då är kvotringen , per definition en verklig algebra och kan betraktas som en linjärt ordnad mängd . Om strikt innehåller , så kallas det ett hyperrealistiskt ideal (i Hewitts terminologi, 1948) och ett hyperrealistiskt fält. Observera att detta antagande inte betyder att fältets kraft är större än fältets kraft, de kan faktiskt ha samma kraft. $X$ $T_{3.5}$ $C(X)$ $X$ $M$ $C(X)$ $A=C(X)/M$ $F$ $\mathbb {R}$ $M$ $F$ $F$ $\mathbb {R}$

Ett viktigt specialfall är om utrymmet är ett diskret utrymme , i detta fall kan det identifieras med mängdens kardinalitet och med den verkliga algebra av funktioner från . De hyperrealistiska fälten som vi får i detta fall kallas ultrakrafter och är identiska med ultrakrafterna som konstrueras via fria ultrafilter i den allmänna topologin . $X$ $X$ $\kappa$ $C(X)$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\kappa ))$ $\kappa$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

Anteckningar

↑ Hewitt, Edwin (1948). "Ringar av verkligt värdefulla kontinuerliga funktioner. jag". Trans. amer. Matematik. Soc . 64 :45-99. DOI : 10.1090/s0002-9947-1948-0026239-9 .
↑ Se till exempel: Detlaf A.A., Yavorsky B.M. Fysikkurs. M.: Högre skola, 1999, S. 128 ff.
↑ Panov V.F. Forntida och ung matematik. - Ed. 2:a, korrigerad. - M . : MSTU im. Bauman , 2006. - S. 548-553. — 648 sid. — ISBN 5-7038-2890-2 .
↑ Uspensky, 1987 , sid. tjugo.
↑ Uspensky, 1987 , sid. 19-21.

Litteratur

Gordon E. I., Kusraev A. G., Kutateladze S. S. Infinitesimal analys . - Novosibirsk: Institutet för matematik, 2006.
Davis M. Tillämpad icke-standardiserad analys. — M .: Mir, 1980.
Uspensky V. A. Vad är icke-standardiserad analys. — M .: Nauka, 1987.

Numeriska system
Räknebara set	Naturliga tal ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Heltal ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rationell ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebraisk ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioder Beräknarbar Aritmetisk
Reella tal och deras anknytningar	Riktig ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Kvaternioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-tal (oktaver, oktonjoner) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Ändringar Dubbel Hyperkomplex Superrealistiskt Hypermaterial surrealistiskt
Numeriska förlängningsverktyg	Cayley-Dixon procedur Frobenius teorem Hurwitz teorem
Andra nummersystem	grundtal Ordningstal (transfinita, ordningstal) p-adic Övernaturliga siffror intervallnummer
se även	dubbla siffror Irrationella siffror transcendentala tal nummerstråle Biquaternion

Kalkyl för infinitesimals och infinitesimals
Berättelse	Leibniz notation Integral tecken Metod för odelbara
Relaterade destinationer	Anpassad analys
Formalismer	Differentiell
Begrepp	Standarddel av ett nummer Övergångsprincip Hyperinteger Inkrementsats Monad Intern uppsättning Field of Levi-Civita Hyperfinite set Kontinuitetens lag overflow Mikrokontinuitet Transcendent homogenitetslag
Forskare	Arkimedes Leibniz Robinson Odla Cauchy Euler
Litteratur	Analys av infinitesimals Elementära beräkningar Analyskurs