Arkimedes Axiom

Arkimedes axiom , eller Arkimedes princip , eller Arkimedes egendom är en matematisk mening uppkallad efter den antika grekiske matematikern Arkimedes . För första gången formulerades detta förslag av Eudoxus av Cnidus i hans teori om kvantitetsförhållanden (Eudoxus kvantitetsbegrepp täcker både antal och kontinuerliga kvantiteter: segment , arealer , volymer [1] ):

Om det finns två kvantiteter och , och mindre än , kan du genom att ta summan tillräckligt många gånger överträffa : $a$ $b$ $a$ $b$ $a$ $b$

\underbrace {a+a+\ldots +a} _{n}>b.

Till exempel, för segment, låter Arkimedes axiom så här: om två segment ges, då genom att lägga undan det mindre tillräckligt många gånger, kan du täcka det större.

Uttalandet av Arkimedes axiom verkar trivialt, men dess sanna betydelse ligger i frånvaron av oändligt små och/eller oändligt stora kvantiteter . Så detta axiom är inte uppfyllt i icke-standardiserad analys : uppsättningen hyperrealistiska tal innehåller oändligt små och oändligt stora värden. Sådana element kanske inte uppfyller Arkimedes axiom. Andra exempel är möjliga .

Matematiska strukturer som Arkimedes-egenskapen gäller kallas Archimedean , till exempel Arkimedeiska fältet och Arkimedesgruppen , och de som det inte gäller kallas icke-Arkimediska .

Historik

Axiomet , känt i matematiken som Arkimedes axiom, uppgavs faktiskt först av Eudoxus av Cnidus . Detta förslag spelade en nyckelroll i hans teori om relationer, som i huvudsak var den första axiomatiska teorin om det reella talet . Därför kallas det också för Eudoxus axiom .

Teorin om Eudoxus har kommit till oss i utläggningen av Euklid ( The Beginnings , Bok V).

Värden sägs vara relaterade till varandra om de, tagna i multiplar, kan överträffa varandra."Beginnings", bok V, definition 4 [2]

Axiomet Eudoxus–Archimedes ligger till grund för den så kallade "utmattningsmetoden" , uppfunnen av Eudoxus, en metod för att hitta figurernas områden, kroppsvolymer, båglängder med en analog av de moderna Riemann- och Darboux- summorna . Med hjälp av sin metod bevisade Eudoxus rigoröst flera satser om beräkning av ytor och volymer. Arkimedes uppnådde dock de största resultaten på detta område. Med Eudoxus-metoden hittade han ett antal nya områden och volymer. Samtidigt, eftersom det i antikens Grekland inte fanns något koncept för sekvens , gränsen för sekvens , var Arkimedes tvungen att upprepa resonemanget på nytt i varje specifikt problem. Således formulerade och använde Arkimedes i sina skrifter Eudoxus-Archimedes axiom. Samtidigt betonar Arkimedes själv i inledningen till sin " Kvadratur av parabeln " att detta axiom användes av hans föregångare och spelade en betydande roll i Eudoxus verk [3] .

I matematisk analys

Arkimedes princip är ganska viktig både teoretiskt och vad gäller specifik användning i mätningar och beräkningar [4] .

Baserat på de reella talens fullständighet kräver Arkimedes princip generellt bevis, medan den med annan axiom ofta ingår i listan över axiom.

Formulering: (för varje positivt reellt tal finns ett naturligt tal som är större än det) $\forall a\in \mathbb {R} :a>0\ \exists n\in \mathbb {N} :n>a$

Bevis: Antag motsatsen, därför är den övre gränsen. Genom kantsatsen , vi väljer , då , men , för vilken , som motsäger existensen av , och därmed är obegränsad från ovan, vilket i sin tur motsvarar . H. t. d. $\forall n\in \mathbb {N} :n\leqslant a$ $a$ $b=\sup \mathbb {N}$ $\exists k\in \mathbb {N} :k>b-1$ $k'=k+1:k'\in \mathbb {N}$ $k'>b$ $b$ $\mathbb {N}$ $\forall a\in \mathbb {R} \ \exists n\in \mathbb {N} :n>a$

Genom att multiplicera med ett visst normaliseringstal får vi i huvudsak den olikhet som anges i början av artikeln. $a,n$

Modern definition

En linjärt ordnad grupp

Låta vara en linjärt ordnad grupp , och vara positiva inslag av . Ett element sägs vara oändligt litet med avseende på elementet (a är oändligt stort med avseende på ) om för något naturligt tal olikheten $G$ $a$ $b$ $G$ $a$ $b$ $b$ $a$ $n$

\underbrace {a+a+\ldots +a} _{n}<b.

En grupp kallas Archimedean om Arkimedes axiom gäller för det: det finns inget par av element i en sådan som - är oändlig med avseende på . $G$ $G$ $a$ $b$ $a$ $b$

Ordnat fält

Låt vara ett beställt fält . Eftersom alla ordnade fält är en linjärt ordnad grupp, förblir alla ovanstående definitioner av oändligt små och oändligt stora element, såväl som formuleringen av Arkimedes axiom, giltiga. Det finns dock ett antal specifika drag här, på grund av vilka formuleringen av Arkimedes axiom förenklas. $K$

Låt vara positiva inslag av . $a,b$ $K$

ett element är infinitesimalt med avseende på ett element om och endast om det är infinitesimalt med avseende på (sådana element kallas helt enkelt infinitesimalt ) $a$ $b$ $a/b$ $1\i K$
ett element är oändligt stort med avseende på ett element om och bara om det är oändligt stort med avseende på (sådana element kallas helt enkelt oändligt stora ) $a$ $b$ $a/b$ $1\i K$

Infinitesimala och infinitesimala element kombineras under namnet infinitesimala element .

Följaktligen är formuleringen av Arkimedes axiom förenklad: ett ordnat fält har Arkimedes-egenskapen om det inte innehåller oändligt små element eller, ekvivalent, om det inte innehåller oändligt stora element. Om vi här utökar definitionen av ett oändligt litet (eller oändligt stort) element, får vi följande formulering av Arkimedes axiom: $K$

För varje fältelement finns det ett naturligt element som $a$ $K$ $n$ $n>a$

Eller motsvarande formulering:

För varje positivt element i fältet finns det ett naturligt element som $\varepsilon >0$ $n$ $1/n<\varepsilon$

Exempel och motexempel

Uppsättningen av reella tal

Det mest kända exemplet på ett arkimedeiskt fält är uppsättningen av reella tal . Om vi betraktar mängden reella tal som en komplettering av mängden rationella tal (till exempel med hjälp av Dedekind-sektioner ), så följer Arkimedes-egenskapen för reella tal från det faktum att rationella tal har det. I ett av axiomsystemen för reella tal, som föreslogs av Hilbert [5] , definieras uppsättningen av reella tal som det maximala arkimediska ordnade fältet, det vill säga ett ordnat fält som uppfyller Arkimedes axiom (det vill säga gör inte innehåller infinitesimala element), som inte kan utökas till ett större arkimediskt ordnat fält.

Icke-arkimediskt ordnat fält

Som ett exempel (eller snarare ett motexempel) på ett ordnat fält för vilket Arkimedes axiom inte gäller, betrakta uppsättningen rationella funktioner med reella koefficienter, det vill säga funktioner i formen

R(x)={\frac {a_{n}x^{n}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}{b_{m}x^{m}+\ldots + b_{1}x+b_{0}}}.

Med hänsyn till de vanliga operationerna för addition och multiplikation, bildar denna uppsättning ett fält . Vi introducerar en ordningsrelation på uppsättningen av rationella funktioner enligt följande. Låt och vara två rationella funktioner. Vi säger att om och bara om i något område skillnaden har ett strikt positivt tecken. Detta villkor kan också formuleras i termer av koefficienterna för rationella funktioner och . Vi skriver skillnaden som ett polynom + egen rationell bråkdel: $f$ $g$ $f>g$ $+\infty$ $fg$ $f$ $g$ $fg$

f(x)-g(x)=c_{nm}x^{nm}+\ldots +c_{1}x+c_{0}+{\frac {d_{k}x^{k} +\ldots +d_{1}x+d_{0}}{x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots +b_{1}x+b_{0}} },

där den sista termen på höger sida är en egentlig rationell bråkdel, det vill säga graden av täljaren är mindre än graden av nämnaren: . Vi kommer också att anta att den ledande koefficienten för nämnaren är . Sedan om och endast om antingen , eller polynomdelen saknas och . Det är lätt att kontrollera riktigheten av denna definition av ordern (det bör kontrolleras både att den introducerade relationen verkligen är en orderrelation och att denna relation är förenlig med fältoperationer). $k<m$ $b_{m}$ $ett$ $f>g$ $c_{nm} > 0$ $d_k > 0$

Således bildar uppsättningen av rationella funktioner ett ordnat fält. Observera att det är en förlängning av fältet för reella tal, men Arkimedes axiom håller inte här (se slutet av föregående avsnitt). Tänk faktiskt på elementen och . Uppenbarligen, oavsett det naturliga talet , sker ojämlikheten: $ett$ $x$ $n$

\underbrace {1+1+\ldots +1} _{n}=n\cdot 1<x.

Med andra ord, är en oändligt stor del av fältet med avseende på enhet. Således håller inte Arkimedes axiom på detta område. $x$

Se även

Anteckningar

↑ Historia av matematik / Ed. A.P. Jusjkevitj. - M . : Nauka, 2003. - T. 1. - S. 96.
↑ Euklid. Början / Översättning av D. D. Mordukhai-Boltovsky. - M. - L .: Huvudförlaget för teknisk och teoretisk litteratur, 1948. - T. 1.
↑ Bourbaki, N. Essays on the history of mathematics / Per. I.G. Bashmakova, red. K. A. Rybnikova. - M . : Förlag för utländsk litteratur, 1963. - S. 148.
↑ Zorich, V. A. Matematisk analys, del 1. - Moskva: FAZIS, 1997. - S. 50. - 554 sid. — ISBN 5-7036-0031-6 .
↑ Hilbert, D. Geometrins grunder. - M. - L .: Huvudförlaget för teknisk och teoretisk litteratur, 1948. - S. 87.

Litteratur

Matematikens historia / Ed. A.P. Jusjkevitj. - M . : "Nauka", 2003. - T. 1.
Euklid. Början / Översättning av D. D. Mordukhai-Boltovsky. - M. - L .: Huvudförlaget för teknisk och teoretisk litteratur, 1948. - T. 1.
Hilbert, D. Geometrins grunder. - M. - L .: Huvudförlaget för teknisk och teoretisk litteratur, 1948.
Bourbaki, N. Uppsatser om matematikens historia / Per. I.G. Bashmakova, red. K. A. Rybnikova. - M . : Förlag för utländsk litteratur, 1963.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor katalanska