Orderförhållande

En ordningsrelation är en binär relation (nedan kallad eller ) mellan elementen i en given mängd, liknande egenskaperna hos olikhetsrelationen . $\precurlyeq$ $\prec$

En mängd, vars alla element är jämförbara med en given ordningsrelation (det vill säga för varje antingen , eller ), kallas linjärt ordnad , och ordningsrelationen kallas linjär ordning . Om inte alla ojämlika element är jämförbara kallas ordningen partiell , och mängden kallas partiellt ordnad . Det finns också en strikt ordning , där det är omöjligt, och icke strikt annars [1] . $a\neq b$ $a\preccurlyeq b$ $b\preccurlyeq a$ $\prec$ $a\prec a$ $\precurlyeq$

Exempel [1] .

Relationen för reella tal definierar en icke-strikt linjär ordning för dem. $\leqslant$
Förhållandet för reella tal definierar en strikt linjär ordning för dem. $<$
Delbarhetsrelation på mängden naturliga tal : om är en divisor Detta är en icke-strikt partiell ordning, eftersom inte alla naturliga tal är delbara med varandra utan en rest. $a|b,$ $a$ $b.$
Inklusionsrelationen på uppsättningen av delmängder av en given uppsättning definierar också en icke-strikt partiell ordning.
Relationen (förfader, ättling) på en population av djur är en strikt partiell ordning.

Definitioner

Den icke-strikta (reflexiva) partiella ordningsrelationen ( ) på mängden är en binär relation , för vilken följande villkor är uppfyllda för någon av dem [2] : $\precurlyeq$ $X$ $a,b,c$ $X$

Reflexivitet : . $a\preccurlyeq a$
Antisymmetri : om och , då . $a\preccurlyeq b$ $b\preccurlyeq a$ $a=b$
Transitivitet : om och , då . $a\preccurlyeq b$ $b\preccurlyeq c$ $a\preccurlyeq c$

Det är också bekvämt att ytterligare definiera den strikta (antireflexiva) ordningsrelationen ( ) för relationen på samma uppsättning [1] : $\precurlyeq$ $\prec$

a \prec b

, om och samtidigt

a\preccurlyeq b

a\neq b.

Egenskaperna för en strikt relation skiljer sig från egenskaperna för en icke-strikt:

Antireflexivitet : ; $a\not \prec a$
Asymmetri : om , då ; $a\prec b$ $b\not \prec a$
Transitivitet : om och , då . $a\prec b$ $b\prec c$ $a\prec c$

Den 2:a egenskapen är inte oberoende, den följer av antireflexivitet och transitivitet. Därför är en relation en relation av strikt ordning om och endast om den är antireflexiv och transitiv.

En uppsättning på vilken en strikt eller icke-strikt ordningsrelation introduceras kallas partiellt beställd . Om dessutom ett av villkoren för något element är uppfyllt: eller då kallas ordningen linjär , och mängden är linjärt ordnad [2] . $X$ $a\neq b$ $a\prec b$ $b\prec a,$

Historik

Tecknen föreslogs av den engelske vetenskapsmannen Thomas Harriot i hans arbete, publicerat postumt 1631 [3] . $<$ $>$

Definitionen av en delvis ordnad uppsättning formulerades först uttryckligen av F. Hausdorff [4] , även om liknande ordningsaxiom övervägdes av G. Leibniz omkring 1690. Definitionen av linjärt ordnade och fullständigt ordnade mängder gavs först av G. Kantor [5] .

Variationer och generaliseringar

Om en ordnad mängd bildar någon form av algebraisk struktur, så krävs det vanligtvis att ordningen i denna struktur överensstämmer med algebraiska operationer. Se artiklar om detta:

Ibland är det användbart att överväga relationer för vilka endast det första och tredje axiomet gäller (reflexivitet och transitivitet); sådana relationer kallas preorder eller quasiorder . Om är en kvasiordning, då är relationen som ges av formeln [6] : $\prec$

a\equiv b,

om och

a \prec b

b\prec a,

kommer att vara ett ekvivalensförhållande . På en kvotmängd , med denna ekvivalens, kan en icke-strikt ordning definieras enligt följande [6] :

[a]\preccurlyeq [b],

a\prec b,

var är ekvivalensklassen som innehåller elementet $[x]$ $x.$

Se även

Spielrains teorem

Anteckningar

↑ 1 2 3 Kurosh, 1973 , sid. 16, 20-22.
↑ 1 2 Nechaev, 1975 , sid. 78.
↑ Alexandrova N. V. Historia om matematiska termer, begrepp, notation: Ordbok-referensbok . - 3:e uppl. - St Petersburg. : LKI, 2008. - S. 111 -112. — 248 sid. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
↑ Hausdorff F. Grundzuge der Mengenlehre, Lpz., 1914.
↑ Delvis beställd uppsättning // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer). - M .: Soviet Encyclopedia , 1985. - T. 5. - S. 833-836. — 1248 sid.
↑ 1 2 Beställning // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer). - M .: Soviet Encyclopedia , 1984. - T. 4. - S. 505. - 1216 sid.

Litteratur

Kurosh A. G. Föreläsningar om allmän algebra. - 2:a uppl. — M .: Fizmatlit , 1973.
Nechaev V. I. Numeriska system. - M . : Utbildning, 1975. - 199 sid.