Darboux integral

Darboux-integralen är ett av sätten att generalisera Riemann-integralen till vilken funktion som helst avgränsad till ett intervall. Det finns övre och nedre Darboux-integraler. Darboux-integraler är geometriskt de övre och nedre områdena under grafen.

Definition

För att definiera Darboux-integraler måste vi först introducera hjälpbegreppet Darboux-summor.

Låt en funktion av en reell variabel definieras på ett segment . $[a,b]$ $f$

En partition av ett segment är en ändlig uppsättning punkter i detta segment, som inkluderar punkterna och . [1] För att underlätta för ytterligare poster kommer vi att införa notation. Vi betecknar partitionspunkterna som , och numrerar dem i stigande ordning (med början från noll): $\tau$ $[a,b]$ $a$ $b$ $\tau$ $x_{i}$

\tau =\left\{{{x}_{0},\ldots {x}_{n}}\right\},\ a={{x}_{0}}<{{x }_{1}}<\ldots <{{x}_{n-1}}<{{x}_{n}}=b

Uppsättningen av alla partitioner i segmentet kommer att betecknas med . $[a;b]$ $T$

Ett partiellt segment av partitionen kallas ett segment . $\Delta _{i}$ $[x_{i-1},x_{i}]$

\Delta _{i}=[x_{i-1},x_{i}]

Låt oss beteckna längden på partitionens partiella segment som . $\Delta x_{i}$

{\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1))

Diametern på en partition är den maximala längden på ett delsegment av partitionen . [2] $d$ $\Delta x_{i}$

d=\max \Delta x_{i}

Funktionens exakta ytor på partitionens delsegment kommer att betecknas med och . $mi$ $Mi}$

{{m}_{i}}=\inf _{x\in \Delta _{i}}f(x)

{{M}_{i}}=\sup _{x\in \Delta _{i}}f(x)

Sedan anropas den lägre Darboux-summan för en funktion på en partition $s(f,\tau )$ $f$ $\tau$

{\displaystyle s(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i))

Den övre Darboux summan kallas $S(f,\tau )$

{\displaystyle S(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i))

[3]

Då är den nedre Darboux-integralen $jag_*$

I_{*}=\sup _{\tau \in T}s(f,\tau )

Den övre Darboux-integralen kallas $jag^*$

I^{*}=\inf _{\tau \in T}S(f,\tau )

[fyra]

Alternativa definitioner

Det finns också alternativa definitioner av Darboux-integraler. Vanligtvis är de bevisade som egenskaper.

Den nedre Darboux-integralen är gränsen för de lägre Darboux-summorna eftersom partitionsdiametern tenderar till noll, och den övre är gränsen för de övre. [5]

I_{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}s(f,\tau )

I^{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )

Den nedre Darboux-integralen är den nedre gränsen för integralsummorna eftersom partitionsdiametern tenderar till noll, och den övre är den övre gränsen. [6]

I_{*}=\varliminf _{d(\tau )\to 0}\sigma (f,\tau ,\xi )

I^{*}=\varlimsup _{d(\tau )\to 0}\sigma (f,\tau ,\xi )

Egenskaper

Egenskaper för Darboux summor

För godtyckliga två partitioner av samma segment, överstiger inte den nedre Darboux-summan på en partition den övre Darboux-summan på den andra partitionen. [7]

\forall \tau _{1},\tau _{2}\in T\quad s(f,\tau _{1})\leq S(f,\tau _{2})

De lägre Darboux-summorna är avgränsade ovanifrån, och de övre summorna är avgränsade underifrån. [fyra]

När nya poäng läggs till den befintliga partitionen kan den nedre Darboux-summan inte minska på något sätt, och den övre kan inte öka på något sätt. [7]

{\begin{aligned}s(f,\tau ')\geq s(f,\tau )\\S(f,\tau ')\leq S(f,\tau )\end{aligned} }\quad \tau '

- slipning .

\tau

Dessutom kan förändringen i dessa summor ges följande uppskattning. Låt d vara diametern , förfiningen erhålls genom att lägga till högst punkter till och de exakta ytorna av funktionen på segmentet . Sedan

\tau

\tau '

l

\tau

M

m

f

[a;b]

s(f,\tau ')-s(f,\tau )\leq (Mm)ld

S(f,\tau )-S(f,\tau ')\leq (Mm)ld

[5]

Låt vara integralsumman. För varje godtycklig partition med markerade punkter gäller följande olikhet: $\sigma (f,\tau ,\xi )$ $(\tau ,\xi )$

s(f,\tau )\leq \sigma (f,\tau ,\xi )\leq S(f,\tau )

[åtta]

Darboux-summor är exakta ytor av integralsummor på en given partition. [7] Låt vara uppsättningen av alla möjliga markerade punkter på partitionen . Sedan $\Xi$ $\tau$

s(f,\tau )=\inf _{\xi \in \Xi }\sigma (f,\tau ,\xi )

S(f,\tau )=\sup _{\xi \in \Xi }\sigma (f,\tau ,\xi )

Egenskaper för Darboux-integraler

För alla funktioner som är begränsade till ett intervall finns Darboux-integraler och är ändliga. [9] För en funktion obegränsad ovanifrån är den övre integralen , för en funktion som inte är begränsad underifrån är den nedre integralen . $+\infty$ $-\infty$
Följande ojämlikheter gäller för summor och integraler

s(f,\tau )\leq I_{*}\leq I^{*}\leq S(f,\tau )

[9]

Darboux huvudlemma. Gränsen för lägre Darboux-summor eftersom partitionsdiametern tenderar till noll finns för alla gränsade funktioner och är lika med den nedre Darboux-integralen. Gränsen för övre Darboux-summor finns för vilken funktion som helst, eftersom partitionsdiametern tenderar till noll och är lika med den övre Darboux-integralen. [5]

\exists \lim _{d(\tau )\to 0}s(f,\tau )

och

I_{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}s(f,\tau )

\exists \lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )

och

I^{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )

Darboux huvudlemma fastställer ekvivalensen av den första och andra definitionen av Darboux-integraler.

Darboux-kriterium. Riemann-integrerbarhet på en funktion som begränsas till detta intervall är ekvivalent med likheten mellan de övre och nedre Darboux-integralen på detta intervall. $[a;b]$ $f$

f

— Riemann integrerbar [10]

\Leftrightarrow I_{*}=I^{*}

Variationer och generaliseringar

Multipel Darboux-integral

I analogi med den multipla Riemann-integralen kan man också definiera den multipla Darboux-integralen. Låt vara en Jordan mätbar uppsättning och vara dess uppdelning av ett ändligt antal Jordan mätbara uppsättningar. Låt oss beteckna uppsättningarna för denna partition som . $G$ $\tau$ $\Delta _{i}$

\tau =\left\{{{\Delta }_{1},\ldots {\Delta }_{n}}\right\}

Vi betecknar Jordanmåttet med . $\Delta x_{i}$ $\Delta _{i}$

Uppsättningen av alla partitioner kommer att betecknas med . $G$ $T$

Skiljeväggsdiametern definieras som den maximala diametern på skiljevägsuppsättningarna (diametern på skiljeväggsuppsättningen är den minsta övre gränsen för avstånden mellan dess punkter). $d$

\max _{i=1}^{n}\sup _{x,y\in \Delta _{i}}|xy|

De exakta ytorna på funktionen på partitionsuppsättningarna betecknas med och . $mi$ $Mi}$

{{m}_{i}}=\inf _{x\in \Delta _{i}}f(x)

{{M}_{i}}=\sup _{x\in \Delta _{i}}f(x)

Sedan anropas den lägre Darboux-summan för en funktion på en partition $s(f,\tau )$ $f$ $\tau$

{\displaystyle s(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i))

Den övre Darboux summan kallas $S(f,\tau )$

{\displaystyle S(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i))

[elva]

Då är den nedre Darboux-integralen $jag_*$

I_{*}=\sup _{\tau \in T}s(f,\tau )

Den övre Darboux-integralen kallas $jag^*$

I^{*}=\inf _{\tau \in T}S(f,\tau )

[12]

Alla ovanstående egenskaper hos Darboux-summor och Darboux-integraler, såväl som alternativa definitioner, är bevarade. [13]

Anteckningar

↑ Ilyin, 1985 , sid. 330.
↑ Ilyin, 1985 , sid. 331.
↑ Arkhipov, 1999 , sid. 190.
↑ 1 2 Ilyin, 1985 , sid. 337.
↑ 1 2 3 Ilyin, 1985 , sid. 338.
↑ Arkhipov, 1999 , sid. 208.
↑ 1 2 3 Ilyin, 1985 , sid. 336.
↑ Ilyin, 1985 , sid. 335.
↑ 1 2 Arkhipov, 1999 , sid. 191.
↑ Kudryavtsev, 2003 , sid. 553.
↑ Arkhipov, 1999 , sid. 559.
↑ Arkhipov, 1999 , sid. 548.
↑ Arkhipov, 1999 , sid. 550.

Litteratur

Ilyin V. A., Sadovnichiy V. A., Sendov Bl. X. Matematisk analys. Inledande kurs. - 2:a uppl., reviderad .. - M . : MGU, 1985. - 662 sid. Med.
Arkhipov G. I., Sadovnichiy V. A., Chubarikov V. N. Föreläsningar om matematisk analys: Lärobok för universitet och ped. universitet. - M . : Högre skola, 1999. - 695 sid. Med. - ISBN 5-06-003596-4 .
Kudryavtsev L. D. Kurs i matematisk analys. I 3 volymer. Volym 1. Differential- och integralkalkyl av funktioner för flera variabler . - M . : Bustard, 2003. - 704 sid. (ryska)

Integralkalkyl

Main

Generaliseringar
av Riemann-integralen

Integrerade
transformationer

Numerisk
integration

måttteori

Relaterade ämnen

Listor över integraler