Integrationsmetoder

Att hitta den exakta antiderivatan (eller integralen ) av godtyckliga funktioner är en mer komplicerad procedur än "differentiering", det vill säga att hitta derivatan . Ofta är det omöjligt att uttrycka integralen i elementära funktioner .

Direkt integration

Direkt integration är en metod där integralen, genom identiska transformationer av integraden (eller uttrycket) och applicering av integralens egenskaper, reduceras till en eller flera integraler av elementära funktioner .

Variabel substitutionsmetod (substitutionsmetod)

Substitutionsintegrationsmetoden består i att introducera en ny integrationsvariabel. I detta fall reduceras den givna integralen till integralen av den elementära funktionen , eller reduceras till den.

Det finns inga generella metoder för att välja substitutioner - förmågan att korrekt bestämma substitutionen förvärvas genom övning.

Låt det krävas att beräkna integralen Låt oss göra en substitution där är en funktion som har en kontinuerlig derivata . $\int F(x)dx.$ $x=\varphi (t),$ $\varphi (t)$

Sedan och baserat på invariansegenskapen för den obestämda integralintegreringsformeln får vi integrationsformeln genom substitution: $dx=\varphi '(t)\cdot dt$

\int F(x)dx=\int F(\varphi (t))\cdot \varphi '(t)dt.

Denna metod kallas även differentialteckenmetoden och skrivs på följande sätt: vyfunktionen är integrerad enligt följande: $v(u(x))$

\int v(u(x))dx=\int v(u(x)){\frac {d(u(x))}{d(u(x))/dx))=\int v(u(x)){\frac {d(u(x))}{u'_{x))}.

Exempel: Hitta $\int x{\sqrt {x-3}}\,dx$

Lösning: Låt sedan . ${\sqrt {x-3}}=t$ $x-3=t^{2},x=3+t^{2},dx=2tdt$

$\int x{\sqrt {x-3}}\,dx=\int (t^{2}+3)t\cdot 2tdt=2\int (t^{4}+3t^{2} )dt=2\int t^{4}dt+6\int t^{2}dt={\frac {2}{5}}t^{5}+{\frac {6}{3}}t ^{3}+C={\frac {2}{5}}{\sqrt {x-3}}^{5}+2{\sqrt {x-3}}^{3}+C$

I allmänhet används ofta olika substitutioner för att beräkna integraler som innehåller radikaler. Ett annat exempel är Abel -substitutionen

$t={d({\sqrt {x^{2}+px+q))) \over dx},$

används för att beräkna integraler av formen

$\int {dx \over (x^{2}+px+q)^{m \over 2)),$

där m är ett naturligt tal [1] . Ibland används Euler-substitutioner . Se även differentiell binomial integration nedan .

Integration av vissa trigonometriska funktioner

Låt det krävas att integrera uttrycket , där R är en rationell funktion av två variabler. Det är bekvämt att beräkna en sådan integral med substitutionsmetoden: $R(\sin x,\cos x)$

om , då tillämpas substitutionen [2] ; $R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$ $t=\cos x$
om , då tillämpas substitutionen [2] ; $R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$ $t=\sinx$
om , så tillämpas substitutionen [3] . $R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)$ $t=\operatörsnamn {tg} x$

Ett specialfall av denna regel:

$\int \sin ^{m}x\cdot \cos ^{n}x\cdot dx$

Valet av substitution görs enligt följande:

om m är udda och positiv är det bekvämare att göra en substitution ; $\cos x=t$
om n är udda och positivt, är det bekvämare att göra en substitution ; $\sin x=t$
om både n och m är jämna är det bekvämare att göra en substitution . $\operatörsnamn {tg} x=t$

Exempel: . $I=\int \sin ^{2}x\cdot \cos x\cdot dx$

Lösning: Låt ; sedan och , där C är någon konstant. $\sin x=t$ $\cos x\cdot dx=dt$ $I=\int t^{2}dt={\frac {t^{3}}{3}}+C={\frac {\sin ^{3}x}{3}}+C$

Integration av differentialbinomen

För att beräkna integralen av differentialbinomialen

I=\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}\;dx,

där a , b är reella tal , a m , n , p är rationella tal , används substitutionsmetoden även i följande tre fall:

$sid$ är ett heltal. Substitutionen används , är den gemensamma nämnaren för bråk och ; $x=t^{k}$ $k$ $m$ $n$
${\frac {m+1}{n))$ är ett heltal. Substitutionen används , är bråkets nämnare . $a+bx^{n}=t^{s}$ $s$ $sid$
$p+{\frac {m+1}{n}}$ är ett heltal. Substitutionen används , är bråkets nämnare . $ax^{{-n}}+b=t^{s}$ $s$ $sid$

I andra fall, som P. L. Chebyshev visade 1853 , uttrycks denna integral inte i elementära funktioner [4] .

Integrering efter delar

Integration av delar - tillämpa följande formel för integration:

\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v\cdot du.

Eller:

\int u\cdot v'\cdot dx=u\cdot v-\int v\cdot u'\cdot dx.

I synnerhet, genom att tillämpa denna formel n gånger, hittar vi integralen

\int P_{{n+1}}(x)e^{x}\,dx,

där är ett polynom av den e graden. $P_{{n+1}}(x)$ $(n+1)$

Exempel: Hitta integralen . $\int x\cdot \ln x\,dx$

Lösning: För att hitta denna integral tillämpar vi metoden för integrering av delar, för detta kommer vi att anta att och sedan, enligt formeln för integrering av delar, får vi ${\displaystyle u=\ln x\Högerpil \displaystyle {du={\frac {dx}{x))))$ $dv=xdx\Rightarrow \int dv=\int xdx\Rightarrow v={\frac {x^{2}}{2}}$ $\int x\cdot \ln xdx={\frac {x^{2}\ln x}{2}}-{\frac {1}{2}}\int x^{2}\cdot { \frac {dx}{x}}={\frac {x^{2}\ln x}{2}}-{\frac {x^{2}}{4}}+C$

Integration av rationella bråk

Den obestämda integralen av vilket rationellt bråk som helst på vilket intervall som helst på vilket bråkets nämnare inte försvinner existerar och uttrycks i termer av elementära funktioner, nämligen den algebraiska summan av superpositionen av rationella bråk, arktangenter och rationella logaritmer.

Själva metoden består i att sönderdela ett rationellt bråk till en summa av enkla bråk.

Varje riktig rationell bråkdel vars nämnare är faktoriserad ${\tfrac {P(x)}{Q(x)))$

Q(x)=\prod _{{i=1}}^{{n}}(x-x_{i})^{{k_{i}}}\cdot \prod _{{j=1}} ^{{m}}(x^{2}+p_{j}x+q_{j})^{{s_{j}}}

kan representeras (och unikt) som följande summa av enkla bråk:

{\frac {P(x)}{Q(x)}}=\summa _{{i=1}}^{{n}}{\summa _{{j=1}}^{{k_{n ))}{{\frac {A_{{ij}}}{(x-x_{i})^{j}}}}}+\summa _{{l=1}}^{{m}}{ \sum _{{t=1}}^{{s_{m}}}{{\frac {\alpha _{{lt}}+\beta _{{lt}}x}{(x^{2} +p_{l}x+q_{l})^{t}}}}}

var finns några reella koefficienter, vanligtvis beräknade med metoden för obestämda koefficienter . $A_{{ij}},\alpha _{{lt}},\beta _{{lt}}$

Exempel : $\int {\frac {2x+3}{x^{2}-9}}\,dx.$

Lösning: Vi expanderar integranden till enkla bråk:

${\frac {2x+3}{x^{2}-9}}={\frac {2x+3}{(x-3)(x+3)))={\frac {\alpha }{( x-3)))+{\frac {\beta }{(x+3)))$

Vi grupperar termerna och likställer termernas koefficienter med samma potenser:

$\alfa (x+3)+\beta (x-3)=2x+3$

$(\alpha +\beta )x+3\alpha -3\beta =2x+3$

Följaktligen ${\begin{cases}\alpha +\beta =2\\3\alpha -3\beta =3\\\end{cases)),{\begin{cases}\alpha ={\frac {3}{2 }}\\\beta ={\frac {1}{2}}\\\end{cases}}$

Sedan

{\frac {2x+3}{x^{2}-9}}={\frac {{\frac {3}{2}}}{x-3}}+{\frac {{\frac {1 }{2}}}{x+3}}

Nu är det enkelt att beräkna den ursprungliga integralen $\int {\frac {2x+3}{x^{2}-9}}\,dx={\frac {3}{2}}\int {\frac {dx}{x-3}}+{ \frac {1}{2}}\int {\frac {dx}{x+3}}={\frac {3}{2}}\ln |x-3|+{\frac {1}{2 }}\ln |x+3|+C={\frac {1}{2}}\ln |(x-3)^{3}(x+3)|+C$

Integration av elementära funktioner

För att hitta antiderivatan av en elementär funktion som en elementär funktion (eller bestämma att antiderivatan inte är elementär), utvecklades Risch-algoritmen. Det är helt eller delvis implementerat i många datoralgebrasystem .

Se även

Anteckningar

↑ Vinogradova I. A., Olehnik S. N., Sadovnichiy V. A. Uppgifter och övningar i matematisk analys. Bok 1. - 2:a uppl. - M . : Högre skola , 2000. - S. 213.
↑ 1 2 Se motivering i boken: I. M. Uvarenkov, M. Z. Maller. Kurs i matematisk analys. - M . : Utbildning , 1966. - T. 1. - S. 459-460.
↑ Se motiveringen i boken: V. A. Ilyin, E. G. Poznyak. Grunderna i matematisk analys. - 2:a uppl. - M . : Nauka , 1967. - S. 219. - (Kurs i högre matematik och matematisk fysik).
↑ P. Tchebichef. Sur l'intégration des différentielles irrationnelles (franska) // Journal de mathématiques pures et appliquées :tidskrift. - 1853. - Vol. XVIII . - S. 87-111 .

Länkar

Wolfram Integrator - beräkna integraler online med Mathematica
Matematisk assistent på webben - symboliska beräkningar online
Kalkylator för integraler online

Integralkalkyl

Main

Generaliseringar
av Riemann-integralen

Integrerade
transformationer

Numerisk
integration

måttteori

Relaterade ämnen

Listor över integraler