Universell trigonometrisk substitution

Universal trigonometrisk substitution , i engelsk litteratur kallad Weierstrass substitution efter Karl Weierstrass , används i integration för att hitta antiderivator , bestämda och obestämda integraler av rationella funktioner av trigonometriska funktioner. Utan förlust av generalitet kan vi i detta fall betrakta sådana funktioner som rationella funktioner av sinus och cosinus. Substitutionen använder tangenten för en halv vinkel .

Substitution

Tänk på problemet med att hitta en antiderivativ rationell funktion av sinus och cosinus.

Låt oss ersätta sin x , cos x och differentialen dx med rationella funktioner av variabeln t , och deras produkt differentialen dt , enligt följande: [1]

{\begin{aligned}\sin x&={\frac {2t}{1+t^{2}}}\\[8pt]\cos x&={\frac {1-t^{2}}{1+ t^{2}}}\\[8pt]dx&={\frac {2\,dt}{1+t^{2}}}\end{aligned}}

för x -värden som ligger i intervallet

-\pi <x<\pi .

Introduktion av notation

Vi antar att variabeln t är lika med tangenten för en halv vinkel:

t=\operatörsnamn {tg}{\frac {x}{2}}.

I intervallet − π < x < π , ger detta

x=2\operatörsnamn {arctg} (t),

och efter differentiering får vi

dx={\frac {2\,dt}{1+t^{2}}}.

Formeln för tangenten för en halv vinkel ger för sinus

{\begin{aligned}\sin x=\sin \left(2\operatörsnamn {arctg}(t)\right)&=2\sin(\operatörsnamn {arctg}(t))\cos(\operatörsnamn {arctg} (t))\\[6pt]&=2\,{\frac {t}{{\sqrt {1+t^{2))))}\,{\frac {1}{{\sqrt {1 +t^{2}}}}}={\frac {2t}{1+t^{2}}},\end{aligned}}

och för cosinus ger formeln

{\begin{aligned}\cos x=\cos \left(2\operatörsnamn {arctg}(t)\right)&=\cos ^{2}(\operatörsnamn {arctg}(t))-\sin ^{ 2}(\operatörsnamn {arctg}(t))\\[6pt]&=\left({\frac {1}({\sqrt {1+t^{2))))}\right)^{2 }-\left({\frac {t}{{\sqrt {1+t^{2}}}}}\right)^{2}={\frac {1-t^{2}}{1+ t^{2}}}.\end{aligned}}

Exempel

Första exemplet

Låt oss hitta integralen

\int {\frac {1}{3-5\cos x}}\,dx.

Genom att använda Weierstrass-ersättningen får vi

\int {\frac {1}{3-5\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right)))\cdot {\frac {2\ ,dt}{1+t^{2}}}=\int {\frac {dt}{4t^{2}-1}}=\int {\frac {dt}{(2t-1)(2t+ ett )}}.

För att beräkna den sista integralen använder vi expansionen av bråk :

{\begin{aligned}&{}\quad \int \left({\frac {1/2}{2t-1}}-{\frac {1/2}{2t+1}}\,\right) dt\\[6pt]&={\frac 14}\ln \left|2t-1\right|-{\frac 14}\ln \left|2t+1\right|+{\text{konstant))= {\frac 14}\ln \left|{\frac {2t-1}{2t+1}}\right|+{\text{konstant}}\\[6pt]&={\frac 14}\ln \ vänster|{\frac {2\operatörsnamn {tg}\left({\frac x2}\right)-1}{2\operatörsnamn {tg}\left({\frac x2}\right)+1}}\höger |+{\text{konstant}}.\end{aligned}}

Vidare, enligt halvvinkeltangensformeln, kan vi ersätta tg( x / 2) med sin x / (1 + cos x ), och då får vi

{\frac 14}\ln \left|{\frac {2\sin x-1-\cos x}{2\sin x+1+\cos x}}\right|+{\text{konstant)),

eller så kan vi också ersätta tg( x /2) med (1 − cos x )/sin x .

Andra exemplet: bestämd integral

Skillnaden mellan bestämd och obestämd integration är att när vi beräknar den bestämda integralen behöver vi inte omvandla den resulterande funktionen från variabeln t tillbaka till en funktion från variabeln x , om vi ändrar integrationens gränser korrekt.

Till exempel,

\int _{0}^{{\pi /6}}{\frac {1}{5+4\sin x}}\,dx=\int _{0}^{{2-{\sqrt {3 }}}}{\frac {1}{5+4\left({\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)}}\,{\frac {2\,dt}{ 1+t^{2}}}

Om x ändras från 0 till π /6 ändras sin x från 0 till 1/2. Det betyder att värdet 2 t /(1 + t 2 ) lika med sin ändras från 0 till 1/2. Sedan kan man hitta gränserna för integration över variabeln t :

{\frac {2t}{1+t^{2}}}={\frac 12},

multiplicerar båda sidor av ekvationen med 2 och med (1 + t 2 ), får vi:

1+t^{2}=4t.

När vi löser andragradsekvationen får vi två rötter

t=2\pm {\sqrt {3)).

Frågan uppstår: vilken av dessa två rötter är lämplig för vårt fall? Det kan besvaras genom att titta på beteendet

\sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}}

som en funktion av x och som en funktion av t . När x ändras från 0 till π ändras sin x- funktionen från 0 till 1 och sedan tillbaka till 0. Denna funktion går igenom värdet 1/2 två gånger - när man ändrar från 0 till 1 och när man ändrar tillbaka från 1 till 0. t ändras från 0 till ∞, funktionen 2 t /(1 + t 2 ) ändras från 0 till 1 (när t = 1) och sedan tillbaka till 0. Den passerar värdet 1/2 vid ändring från 0 till 1 och när byter tillbaka: första gången vid t = 2 − √3 och sedan igen vid t = 2 + √3.

Efter att ha gjort enkla algebraiska transformationer får vi