Andragradsekvation

En andragradsekvation är en algebraisk ekvation av andra graden med en allmän form

ax^{2}+bx+c=0,\;a\neq 0,

var är det okända, och koefficienterna , och är reella eller komplexa tal. $x$ $a$ $b$ $c$

Roten till ekvationen är värdet på variabelnsom vänder kvadrattrinomialet till noll, och andragradsekvationen till den korrekta numeriska likheten. Detta värde kallas också roten av själva polynomet. $ax^{2}+bx+c=0$ $x$ $ax^{2}+bx+c.$

Elementen i andragradsekvationen har sina egna namn [1] :

$a$ kallas den första eller ledande koefficienten,
$b$ kallas den andra , medelkoefficient eller koefficient vid $x$ ,
$c$ kallas gratis medlem .

En reducerad andragradsekvation kallas, där den ledande koefficienten är lika med en [1] . En sådan ekvation kan erhållas genom att dividera hela uttrycket med den ledande koefficienten: $a$

x^{2}+px+q=0,\quad p={\frac {b}{a)),\quad q={\frac {c}{a)).

En andragradsekvation sägs vara komplett om alla dess koefficienter inte är noll.

En sådan andragradsekvation kallas ofullständig om minst en av koefficienterna, förutom den högsta (antingen den andra koefficienten eller den fria termen), är lika med noll.

En andragradsekvation är lösbar i radikaler , det vill säga dess rötter kan uttryckas i termer av koefficienter på ett allmänt sätt.

Historisk information om andragradsekvationer

Forntida Babylon

Redan under det andra årtusendet f.Kr. visste babylonierna hur de skulle lösa andragradsekvationer [1] . Deras lösning i det antika Babylon var nära förknippad med praktiska uppgifter, främst som att mäta arean av tomter, landarbete relaterat till militära behov; förekomsten av denna kunskap beror också på utvecklingen av matematik och astronomi i allmänhet. Metoder för att lösa både fullständiga och ofullständiga andragradsekvationer var kända. Här är exempel på andragradsekvationer som löstes i det antika Babylon med modern algebraisk notation:

x^{2}+x={\frac {3}{4}};\ x^{2}-x=14{\frac {1}{2}}.

Reglerna för att lösa andragradsekvationer liknar på många sätt de moderna, men resonemanget med vilket dessa regler erhölls finns inte nedtecknat i de babyloniska texterna.

Indien

Problem lösta med hjälp av andragradsekvationer finns i avhandlingen om astronomi "Aryabhattiam", skriven av den indiske astronomen och matematikern Aryabhata år 499 e.Kr. En av de första kända härledningarna av formeln för rötterna till en andragradsekvation tillhör den indiske vetenskapsmannen Brahmagupta (cirka 598) [1] ; Brahmagupta beskrev en universell regel för att lösa en kvadratisk ekvation reducerad till kanonisk form: dessutom antogs det att alla koefficienter i den, förutom kan vara negativa. Regeln som formulerats av vetenskapsmannen sammanfaller i huvudsak med den moderna. $ax^{2}+bx=c;$ $a,$

Rötterna till en andragradsekvation på mängden reella tal

Jag sätt. Den allmänna formeln för att beräkna rötter med diskriminant

Diskriminanten för en andragradsekvation är kvantiteten . $ax^{2}+bx+c=0$ $D=b^{2}-4ac$

Skick	$D>0$	$D=0$	$D<0$
Antal rötter	två rötter	En rot av multiplicitet 2 (med andra ord, två lika rötter)	Inga riktiga rötter
Formel	$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}$ (ett)	$x=-{\frac {b}{2a))$	—

Formel härledning

Formel (1) kan erhållas enligt följande:

ax^{2}+bx+c=0

ax^{2}+bx=-c

Multiplicera varje del med och lägg till :

4a

b^{2}

4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=-4ac+b^{2}

(2ax+b)^{2}=-4ac+b^{2}

2ax+b=\pm {\sqrt {-4ac+b^{2))}

2ax=-b\pm {\sqrt {-4ac+b^{2))}

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}.

Fallformeln är ett specialfall av formel (1): $D=0$

x={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {0}}}{2a}}=-{\ frac {b}{2a}}.

För fallet följer frånvaron av reella rötter också av formel (1), eftersom kvadratroten ur ett negativt tal inte hör till mängden reella tal. $D<0$

Denna metod är universell, men inte den enda.

II sätt. Rötterna till en andragradsekvation med en jämn koefficient b

För ekvationer av formen , det vill säga för jämn , där $ax^{2}+2kx+c=0$ $b$

k={\frac {1}{2}}b,

istället för formel (1) för att hitta rötterna finns möjligheten att använda enklare uttryck [1] .

Notera: formlerna nedan kan erhållas genom att ersätta uttrycket b = 2 k i standardformlerna genom enkla transformationer.

Diskriminerande		Rötter
oreducerad	nedsatt	D > 0	oreducerad	nedsatt
lättare att beräkna fjärdedelar av diskriminanten: ${\frac {D}{4}}=k^{2}-ac$ Alla nödvändiga egenskaper är bevarade.	${\frac {D}{4}}=k^{2}-c$ .		$x_{1,2}={\frac {-k\pm {\sqrt {k^{2}-ac}}}{a}}.$	$x_{1,2}=-k\pm {\sqrt {k^{2}-c))$
		D = 0	$x={\frac {-k}{a}}$	$x=-k$

III sätt. Lösa ofullständiga andragradsekvationer

Ett speciellt tillvägagångssätt praktiseras för att lösa ofullständiga andragradsekvationer. Tre möjliga situationer övervägs.

b = 0c = 0

b=0; c≠0

b≠0; c=0

{\begin{alignedat}{2}ax^{2}&=0,\\x^{2}&=0,\\x&=0.\end{alignedat))

(konverteringsprocessen visas speciellt i detalj; i praktiken kan du omedelbart gå till den sista jämställdheten)

{\begin{aligned}ax^{2}+c&=0,\\ax^{2}&=-c,\\x^{2}&=-{\frac {c}{a} },\\x_{1,2}&=\pm {\sqrt {-{\frac {c}{a)))).\end{aligned))

Om , då har ekvationen två reella rötter , och om , då har ekvationen inga reella rötter .

-{\frac {c}{a}}>0

-{\frac {c}{a}}<0;

{\begin{aligned}ax^{2}+bx&=0,\\x(ax+b)&=0,\end{aligned))

$x=0$ eller $ax+b=0,$ $x_{1}=0,\quad x_{2}=-{\frac {b}{a)).$

En sådan ekvation måste ha två reella rötter .

IV sätt. Användning av partiella koefficientförhållanden

Det finns speciella fall av andragradsekvationer där koefficienterna står i proportion till varandra, vilket gör det mycket lättare att lösa dem.

Rötterna till en andragradsekvation där summan av den inledande koefficienten och den fria termen är lika med den andra koefficienten

Om summan av den första koefficienten och den fria termen i en andragradsekvation är lika med den andra koefficienten: , så är dess rötter också talet motsatt förhållandet mellan den fria termen och den högsta koefficienten ( ). $ax^{2}+bx+c=0$ $a+c=b$ $-ett$ $-{\frac {c}{a}}$

Bevis

Metod 1. Ta först reda på om en sådan ekvation verkligen har två rötter (inklusive två sammanfallande):

D=b^{2}-4ac=(a+c)^{2}-4ac=a^{2}+2ac+c^{2}-4ac=a^{2}-2ac+c^{2 }=(ac)^{2}

Ja, detta är sant, eftersom för alla verkliga värden av koefficienterna , och därför är diskriminanten icke-negativ. Således, om , då har ekvationen två rötter, om , då har den bara en rot. Hitta dessa rötter: $(ac)^{2}\geqslant 0$ $a\not=c$ $a=c$

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {-(a+c)\pm {\sqrt {(ac)^{2 }}}}{2a}}={\frac {-ac\pm |ac|}{2a}}={\frac {-ac\pm a\mp c}{2a}}

x_{1}={\frac {-ac-a+c}{2a}}={\frac {-2a}{2a}}=-1;

x_{2}={\frac {-a-c+ac}{2a}}={\frac {-2c}{2a}}=-{\frac {c}{a}}.

I synnerhet, om , kommer roten att vara en: $a=c$ $-ett.$

Metod 2.

Vi använder den geometriska modellen av rötterna till en andragradsekvation: vi kommer att betrakta dem som skärningspunkterna för parabeln med abskissaxeln. Vilken parabel som helst, oavsett uttrycket som definierar den, är en figur som är symmetrisk kring en rät linje . Detta innebär att segmentet av en rät linje som är vinkelrät mot den, avskuren av en parabel på den, delas med symmetriaxeln på mitten. Ovanstående gäller i synnerhet för x-axeln. För varje parabel är alltså en av följande likheter sann: (om ) eller (om olikheten i den motsatta betydelsen är sann). Genom att använda identiteten som uttrycker den geometriska betydelsen av modulen, och även acceptera att (detta kan bevisas genom att ersätta likheten i kvadrattrinomialet: , därför är -1 roten till en sådan ekvation), kommer vi fram till följande likhet: Om vi tar hänsyn till att skillnaden i fallet när vi lägger till modulen, är den alltid positiv, och när vi subtraherar den är den negativ, vilket indikerar identiteten för dessa fall, och dessutom, med tanke på likheten , öppnar vi modulen : . I det andra fallet, efter att ha gjort liknande transformationer, kommer vi fram till samma resultat, etc. $y=ax^{2}+bx+c$ $x=-{\frac {b}{2a}}$ $-{\frac {b}{2a}}+\rho (x_{1};-{\frac {b}{2a}})=x_{2}$ $x_{1}<x_{2}$ $-{\frac {b}{2a}}-\rho (-{\frac {b}{2a}};x_{1})=x_{2}$ $\rho (a;b)=|ab|$ $x_{1}=-1$ $a\cdot (-1)^{2}+b\cdot (-1)+c=(a+c)-b=0$ $-{\frac {b}{2a}}\pm |-{\frac {b}{2a}}-(-1)|=x_{2}.$ $ba=c$ $x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {b}{2a}}+1=-{\frac {2b-2a}{2a}}=-{\frac {ba }{a}}=-{\frac {c}{a}}$

Det följer att innan du löser någon andragradsekvation, är det tillrådligt att kontrollera möjligheten att tillämpa detta teorem på det: jämför summan av den ledande koefficienten och den fria termen med den andra koefficienten. Rötterna till en andragradsekvation vars summa av alla koefficienter är noll

Om summan av alla dess koefficienter i en andragradsekvation är lika med noll ( ), så är rötterna till en sådan ekvation också förhållandet mellan den fria termen och den ledande koefficienten ( ). $a+b+c=0$ $ett$ ${\frac {c}{a))$

Bevis

Metod 1. Först och främst noterar vi att det följer av jämlikhet att Låt oss sätta antalet rötter: $a+b+c=0$ $b=-(a+c)$

D=b^{2}-4ac=(-(a+c))^{2}-4ac=a^{2}+2ac+c^{2}-4ac=a^{2}-2ac+c ^{2}=(ac)^{2}.

För alla värden på koefficienterna har ekvationen minst en rot: faktiskt för alla värden på koefficienterna , och därför är diskriminanten icke-negativ. Observera att om , då har ekvationen två rötter, men om , då bara en. Hitta dessa rötter: $(ac)^{2}\geqslant 0$ $a\not=c$ $a=c$

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {a+c\pm {\sqrt {(ac)^{2}}} }{2a}}={\frac {a+c\pm |ac|}{2a}}={\frac {a+c\pm a\mp c}{2a}};

x_{1}={\frac {a+c+ac}{2a}}={\frac {2a}{2a}}=1;

x_{2}={\frac {a+c-a+c}{2a}}={\frac {2c}{2a}}={\frac {c}{a}},

Q.E.D.

I synnerhet, om , då har ekvationen bara en rot, vilket är talet .

a=c

ett

Metod 2. Med hjälp av ovanstående definition av roten till en andragradsekvation, finner vi genom substitution att talet 1 är sådant i det aktuella fallet: - den korrekta likheten, därför är enheten roten till denna typ av andragradsekvationer. Vidare, enligt Vieta-satsen, hittar vi den andra roten: enligt denna sats är produkten av ekvationens rötter lika med talet lika med förhållandet mellan den fria termen och den ledande koefficienten - etc. $a\cdot 1^{2}+b\cdot 1+c=0$ $x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}\Rightarrow x_{2}={\frac {c}{ax_{1}}}={\frac {c}{a\cdot 1}}={\frac {c}{a}}$

Det följer att innan du löser ekvationen med standardmetoder är det tillrådligt att kontrollera tillämpligheten av denna sats på den, nämligen tillägget av alla koefficienter för den givna ekvationen och fastställa om denna summa inte är lika med noll.

V sätt. Nedbrytning av ett kvadratiskt trinomium i linjära faktorer

Om en trinomial av formen på något sätt kan representeras som en produkt av linjära faktorer , då kan du hitta rötterna till ekvationen - de kommer att vara och faktiskt, för efter att ha löst de angivna linjära ekvationerna får vi ovanstående. Ett kvadrattrinomium bryts inte alltid upp i linjära faktorer med reella koefficienter: detta är möjligt om ekvationen som motsvarar den har reella rötter. $ax^{2}+bx+c~(a\not =0)$ $(kx+m)(lx+n)=0$ $ax^{2}+bx+c=0$ $-{\frac {m}{k}}$ $-{\frac {n}{l}}$ $(kx+m)(lx+n)=0\Longleftrightarrow {\biggl [}{\begin{array}{lcl}kx+m=0,\\lx+n=0,\end{array} }$

Vissa speciella fall övervägs.

Använd formeln för kvadraten på summan (skillnaden)

Om det kvadratiska trinomialet har formen , kan du genom att tillämpa formeln ovan på det dekomponera det i linjära faktorer och därför hitta rötterna: $(ax)^{2}+2abx+b^{2}$

(ax)^{2}+2abx+b^{2}=(ax+b)^{2},

(ax+b)^{2}=0,

x=-{\frac {b}{a}}.

Val av hela kvadraten på summan (skillnaden)

Den namngivna formeln används också med metoden som kallas "val av hela kvadraten på summan (skillnaden)". I förhållande till den givna andragradsekvationen med notationen som introducerades tidigare betyder detta följande:

addera och subtrahera samma tal: .
$x^{2}+px+({\frac {p}{2}})^{2}-({\frac {p}{2}})^{2}+q=0;$
tillämpa formeln på det resulterande uttrycket, överför subtrahenden och den fria termen till höger sida:
$(x^{2}+2{\frac {p}{2}}x+({\frac {p}{2}})^{2})+(-({\frac {p}{ 2}})^{2}+q)=0,$
$(x+{\frac {p}{2}})^{2}={\frac {p^{2}}{4}}-q;$
ta kvadratroten från vänster och höger sida av ekvationen och uttryck variabeln:
$x+{\frac {p}{2}}=\pm {\sqrt ({\frac {p^{2}}{4}}-q)),$
$x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt ({\frac {p^{2}}{4}}-q}}).$

Notera: denna formel sammanfaller med den som föreslås i avsnittet "Rötterna till den reducerade andragradsekvationen", som i sin tur kan erhållas från den allmänna formeln (1) genom att ersätta likheten a = 1 . Detta faktum är inte bara en slump: med den beskrivna metoden, efter att ha gjort några ytterligare resonemang, är det möjligt att härleda en allmän formel, såväl som att bevisa diskriminantens egenskaper.

VI sätt. Använder Vietas direkta och inversa satser

Vietas direkta sats (se nedan ) och dess inversa sats låter oss lösa de givna andragradsekvationerna muntligt, utan att tillgripa beräkningar med formel (1).

Enligt inverssatsen är vilket par av tal (tal) som helst, en lösning på ett ekvationssystem $x_{1},x_{2}$

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-p,\\x_{1}x_{2}=q,\end{cases))

är rötterna till ekvationen .

x^{2}+px+q=0

En direkt sats hjälper dig verbalt att välja tal som uppfyller dessa ekvationer. Med dess hjälp kan du bestämma rötternas tecken utan att känna till själva rötterna. För att göra detta, följ regeln:

1) om den fria termen är negativ, så har rötterna ett annat tecken, och det största absoluta värdet av rötterna är tecknet motsatt tecknet för ekvationens andra koefficient; 2) om den fria termen är positiv, så har båda rötterna samma tecken, och detta är motsatta tecknet på den andra koefficienten.

7:e vägen. Överföringsmetod

I sin kärna är "roll-over"-metoden helt enkelt en modifiering av Vietas teorem .

"Rollover"-metoden är reduktionen av en ekvation som inte kan reduceras så att alla koefficienter förblir heltal, till en reducerad ekvation med heltalskoefficienter:

1) multiplicera båda delarna med den inledande koefficienten:

ax^{2}+bx+c=0\quad \cdot a,

(ax)^{2}+b(ax)+ac=0;

2) byt ut

y=ax\colon

y^{2}+by+ac=0.

Därefter löser vi ekvationen för y med den ovan beskrivna metoden och hittar x = y / a .

Som du kan se, i "överföringsmetoden", är seniorkoefficienten bara " överförd " till den fria tiden.

Geometrisk känsla

Grafen för en kvadratisk funktion är en parabel . Lösningarna (rötterna) till en andragradsekvation är abskissorna för parabelns skärningspunkter med abskissaxeln . Om parabeln som beskrivs av den kvadratiska funktionen inte skär x-axeln, har ekvationen inga reella rötter. Om parabeln skär x-axeln i en punkt (vid parabelns spets) har ekvationen en reell rot (ekvationen sägs också ha två sammanfallande rötter). Om parabeln skär x-axeln i två punkter, har ekvationen två reella rötter (se bilden till höger.)

Om koefficienten är positiv är parabelns grenar riktade uppåt och vice versa. Om koefficienten är positiv (för positiv , för negativ, vice versa), så ligger parabelns vertex i det vänstra halvplanet och vice versa. $a$ $b$ $a$

Grafiskt sätt att lösa andragradsekvationer

Utöver den universella metoden som beskrivs ovan finns en så kallad grafisk metod . I allmänna termer är denna metod för att lösa en rationell formekvation enligt följande: i ett koordinatsystem, grafer av funktioner och och hitta abskissorna för de gemensamma punkterna i dessa grafer; talen som hittas kommer att vara rötterna till ekvationen. $f(x)=g(x)$ $y=f(x)$ $y=g(x)$

Det finns bara fem huvudsakliga sätt att grafiskt lösa andragradsekvationer. Metod I

För att lösa en andragradsekvation på detta sätt konstrueras en funktionsgraf och abskissorna för skärningspunkterna för en sådan graf med axeln hittas . $ax^{2}+bx+c=0$ $y=ax^{2}+bx+c$ $x$

Metod II

För att lösa samma ekvation på detta sätt omvandlas den till formen och grafer för en kvadratisk funktion och en linjär funktion plottas i samma koordinatsystem , då hittas abskissan för deras skärningspunkter. $ax^{2}=-bx-c$ $y=ax^{2}$ $y=-bx-c$

Metod III

Lösningen med denna metod innebär omvandlingen av den ursprungliga ekvationen till formen med hjälp av metoden att extrahera hela kvadraten på summan (skillnaden) och sedan till . Därefter byggs en funktionsgraf (det är en funktionsgraf förskjuten med skalenheter till höger eller vänster beroende på tecknet) och en rät linje parallell med x-axeln. Rötterna till ekvationen kommer att vara abskissorna för skärningspunkterna mellan parabeln och linjen. $a(x+l)^{2}+m=0$ $a(x+l)^{2}=-m$ $y=a(x+l)^{2}$ $y=ax^{2}$ $|l|$ $y=-m$

Metod IV

Andragradsekvationen omvandlas till formen , en graf av funktionen byggs (det är grafen för funktionen , skiftad med skalenheter uppåt om denna koefficient är positiv, eller ner om den är negativ), och , hitta abskissan för deras gemensamma poäng. $ax^{2}+c=-bx$ $y=ax^{2}+c$ $y=ax^{2}$ $c$ $y=-bx$

Sätt V

Andragradsekvationen omvandlas till en speciell form:

{\frac {ax^{2}}{x}}+{\frac {bx}{x}}+{\frac {c}{x}}={\frac {0}{x}});

ax+b+{\frac {c}{x}}=0;

sedan

ax+b=-{\frac {c}{x}}.

Efter att ha gjort transformationer bygger de grafer av en linjär funktion och omvänd proportionalitet , hittar abskissorna för skärningspunkterna för dessa grafer. Denna metod har en gräns för tillämpbarhet: om , då används inte metoden. $y=ax+b$ $y=-{\frac {c}{x}};\ (c\not =0)$ $c=0$

Lösa andragradsekvationer med kompass och rätsida

Metoderna för grafisk lösning som beskrivs ovan har betydande nackdelar: de är ganska mödosamma, medan noggrannheten för att konstruera kurvor - paraboler och hyperboler - är låg. Dessa problem är inte inneboende i den metod som föreslås nedan, som innebär relativt mer exakta konstruktioner med kompasser och linjal.

För att fatta ett sådant beslut måste du utföra följande sekvens av åtgärder.

Konstruera en cirkel i Oxy-koordinatsystemet med centrum i den punkt som skär y-axeln i punkten C(0;1). $S(-{\frac {b}{2a));{\frac {a+c}{2a)))$
Ytterligare tre fall är möjliga:
- längden på cirkelns radie överstiger längden på vinkelrät mot x-axeln, utelämnad från punkten S: i detta fall skär cirkeln x-axeln i två punkter, och ekvationen har två reella rötter lika med abskissarna av dessa punkter;
- radien är lika med vinkelrät: en punkt och en reell rot av multiplicitet 2;
- radien är mindre än vinkelrät: det finns inga rötter i mängden . $\mathbb {R}$

Bevis

Metoden som övervägs innefattar konstruktionen av en cirkel som skär y-axeln vid punkter (punkter), vars abskiss är rötterna (eller roten) av ekvationen som löses. Hur ska en sådan cirkel konstrueras? Låt oss anta att det redan har byggts. En cirkel definieras unikt genom att ange tre av dess punkter. Låt, om det finns två rötter, kommer dessa att vara punkter där , naturligtvis, är de verkliga rötterna till andragradsekvationen (vi betonar: om de finns ). Hitta koordinaterna för mitten av en sådan cirkel. För att göra detta bevisar vi att denna cirkel passerar genom punkten . I själva verket, enligt sekantsatsen , gäller likhet i den accepterade notationen (se figur). Genom att transformera detta uttryck får vi värdet på segmentet OD, som bestämmer den önskade ordinatan för punkten D: (i den senaste transformationen användes Vieta-satsen (se nedan i avsnittet med samma namn)). Om det bara finns en rot, det vill säga abskissaxeln kommer att tangera en sådan cirkel, och cirkeln skär y-axeln i en punkt med ordinatan 1, så kommer den säkert att skära den i en punkt med ovanstående ordinata (särskilt om 1=c/a, detta är att det kan finnas sammanfallande punkter), vilket bevisas på liknande sätt med hjälp av sekant- och tangentsatsen, som är ett specialfall av sekantsatsen. I det första fallet ( ) kommer tangentpunkten, y-axelpunkten med ordinatan 1 och dess samma punkt med ordinatan att definiera . Om c/a och 1 är sammanfallande punkter, och det finns två rötter, kommer denna punkt och skärningspunkterna med abskissaxeln att vara avgörande. I fallet när (1=c/a) och det bara finns en rot, är den angivna informationen tillräcklig för bevis, eftersom det bara kan finnas en sådan cirkel - dess centrum kommer att vara spetsen på kvadraten som bildas av tangentsegmenten och vinkelräta, och radien kommer att vara sidan av denna kvadrat, som utgör 1. Låt S vara mitten av en cirkel som har två gemensamma punkter med x-axeln. Låt oss hitta dess koordinater: för detta sänker vi vinkelräta till koordinataxlarna från denna punkt. Ändarna av dessa perpendikulära kommer att vara mittpunkterna för segmenten AB och CD - trots allt är trianglarna ASB och CSD likbenta , eftersom AS=BS=CS=DS i dem är radier för en cirkel, därför är höjderna i dem ritade till baser är också medianer. Hitta koordinaterna för mittpunkterna för de namngivna segmenten. Eftersom parabeln är symmetrisk med avseende på linjen , då punkten på denna linje med samma abskissa kommer att vara mittpunkten av segmentet AB. Därför är abskissan för punkten S lika med detta tal. Om ekvationen har en rot, är x-axeln tangent till cirkeln, därför är dess radie, enligt dess egenskap, vinkelrät mot axeln, därför är det angivna numret i detta fall mittens abskiss. Vi finner dess ordinata enligt följande: . I det tredje möjliga fallet, när c\a=1 (och därmed a=c), då . $A(x_{1};0),B(x_{2};0),C(0;1)$ $x_{1},x_{2}$ $D(0;{\frac {c}{a}})$ $OA\cdot OB=OC\cdot OD$ $OD={\frac {OA\cdot OB}{OC}}={\frac {x_{1}x_{2}}{1}}={\frac {c}{a}}$ ${\frac {c}{a}}\not =1$ ${\frac {c}{a))$ $x=-{\frac {b}{2a}}$ ${\frac {CD}{2}}={\frac {OC+(OC+CD)}{2}}={\frac {OC+OD}{2}}={\frac {1+{\frac { c}{a}}}{2}}={\frac {a+c}{2a}}$ ${\frac {c}{a}}=1={\frac {2a}{2a}}={\frac {a+c}{2a}}$

Så vi har hittat de data som behövs för konstruktion. Faktum är att om vi konstruerar en cirkel med ett centrum i en punkt som går genom en punkt , då kommer den, i fall där ekvationen har reella rötter, att skära x-axeln vid punkter vars abskiss är dessa rötter. Dessutom, om längden på radien är större än längden på vinkelrät mot Ox-axeln, så har ekvationen två rötter (om vi antar motsatsen skulle vi få en motsägelse med det som bevisades ovan), om längderna är lika, sedan en (av samma anledning), om längden på radien är mindre än längden på vinkelrät , så har cirkeln inga gemensamma punkter med x-axeln, därför har ekvationen inga reella rötter (det är också bevisat motsägelsefullt: om det finns rötter, så sammanfaller cirkeln som går genom A, B, C med den givna, och skär därför axeln, dock får den inte korsa abskissaxeln efter villkor, vilket betyder att antagandet är felaktigt) . $S(-{\frac {b}{2a));{\frac {c+a}{2a)))$ $C(0;1)$

Rötterna till en andragradsekvation på mängden komplexa tal

Ekvation med reella koefficienter

En andragradsekvation med reella koefficienter har alltid, med hänsyn till multipliciteten , två komplexa rötter , som anges av den grundläggande satsen för algebra . I det här fallet, i fallet med en icke-negativ diskriminant, kommer rötterna att vara verkliga, och i fallet med en negativ kommer de att vara komplexa konjugerade : $a~b~c$

när ekvationen kommer att ha två reella rötter: $D>0$ $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}});$
när - en rot av multiplicitet 2 (med andra ord, två identiska rötter): $D=0$ $x=-{\frac {b}{2a));$
at är två komplexa konjugerade rötter uttryckta med samma formel som för den positiva diskriminanten. Det kan också skrivas om så att det inte innehåller ett negativt radikalt uttryck, enligt följande: $D<0$ $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {-b\pm i{\sqrt {|D|}}} {2a}}.$

Ekvation med komplexa koefficienter

I det komplexa fallet löses den andragradsekvationen med samma formel (1) och dess varianter som anges ovan, men endast två fall kan särskiljas: noll diskriminant (en dubbelrot) och icke-noll (två rötter av enhetsmångfald).

Rötterna till den reducerade andragradsekvationen

En andragradsekvation av den form där den ledande koefficienten är lika med en kallas reducerad . I det här fallet är formeln för rötterna (1) förenklad till $x^{2}+px+q=0,$ $a$

x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}.

Mnemoniska regler:

Från " Baby Monitor ":

"Minus" vi skriver först,
Bredvid det p i hälften,
"Plus-minus" är tecknet på den radikala,
Från barndomen bekant för oss.
Nåväl, under roten, min vän,
Det blir ingenting:
p på mitten och kvadrat
Minus den vackra [2] q .

Från " Baby Monitor " (andra versionen):

p , med ett omvänt tecken,
Vi kommer att dela det i två,
Och snyggt separera det från roten Med ett
minustecken.
Och under roten är mycket praktiskt
Halv p kvadrat
Minus q - och här är lösningarna,
Det vill säga rötterna till ekvationen.

Från " Babymonitor " (tredje versionen baserad på motivet från Moscow Evenings ):

För att hitta x till halva p ,
Glöm inte taget med ett minus,
Lägg till en radikal med ett plus minus,
Prydligt, inte på något sätt.
Och under den är kvadraten av halva p ,
Du, subtrahera med q och slutet,
Det kommer att finnas en given formel,
Ditt resonemang är kronan.
Det kommer att finnas en given formel,
Ditt resonemang är kronan.

Vietas teorem

Formulering för den reducerade andragradsekvationen

Summan av rötterna i den givna andragradsekvationen är lika med koefficienten med ett minustecken, och produkten av rötterna är lika med den fria termen $x^{2}+px+q=0$ $sid$ $q\colon$

x_{1}+x_{2}=-p,\quad x_{1}x_{2}=q.

Med dess hjälp kan de givna ekvationerna lösas muntligt:

Exempel

x^{2}-8x+12=0,

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}=8,\\x_{1}x_{2}=12,\end{cases))

x_{1}=2,\quad x_{2}=6.

För en oreducerad andragradsekvation

I det allmänna fallet, det vill säga för en oreducerad andragradsekvation $ax^{2}+bx+c=0\colon$

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-b/a,\\x_{1}x_{2}=c/a.\end{cases))

I praktiken (efter "överföringsmetoden" ) används en modifiering av Vieta-satsen för att beräkna rötterna:

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-b/a&\mid \cdot a,\\x_{1}x_{2}=c/a&\mid \cdot a^{ 2};\end{cases}}

{\begin{cases}(ax_{1})+(ax_{2})=-b,\\(ax_{1})(ax_{2})=ac,\end{cases))

genom vilken du verbalt kan hitta axe 1 , axe 2 och därifrån - själva rötterna:

Exempel

8x^{2}+2x-1=0,

{\begin{cases}8x_{1}+8x_{2}=-2,\\8x_{1}\cdot 8x_{2}=8\cdot (-1),\end{cases))

8x_{1}=-4,\quad 8x_{2}=2,

x_{1}=-{\tfrac {1}{2)),\quad x_{2}={\tfrac {1}{4)).

8x^{2}-2x-3=0,

{\begin{cases}8x_{1}+8x_{2}=2,\\8x_{1}\cdot 8x_{2}=-24,\end{cases))

8x_{1}=-4,\quad 8x_{2}=6,

x_{1}=-{\tfrac {1}{2)),\quad x_{2}={\tfrac {3}{4)).

Men för vissa icke-reducerade ekvationer kan rötterna gissas verbalt även av standard Vieta-satsen:

Exempel

5x^{2}-26x+5=0,

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}={\tfrac {26}{5}}=5+{\tfrac {1}{5)),\\x_{1}x_ {2}=1,\end{cases}}

x_{1}={\tfrac {1}{5)),\quad x_{2}=5.

Faktorisering av kvadrattrinomialet och satser som följer av detta

Om båda rötterna av ett kvadrattrinomium är kända kan det utökas med formeln

ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})

(2) Bevis

För att bevisa detta påstående använder vi Vietas teorem. Enligt denna teorem bildar rötterna och andragradsekvationen relationer med dess koefficienter: . Ersätt dessa förhållanden i kvadrattrinomialet: $x_{1}$ $x_{2}$ $ax^{2}+bx+c=0$ $x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a)),\ x_{1}x_{2}={\frac {c}{a))$

{\begin{alignedat}{2}ax^{2}+bx+c&=a(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a} })=a(x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2})=\\&=a(x^{2}-x_{1} x-x_{2}x+x_{1}x_{2})=a(x(x-x_{1})-x_{2}(x-x_{1}))\\&=a(x -x_{1})(x-x_{2}).\end{aligned}}

I fallet med en nolldiskriminant blir detta förhållande en av varianterna av formeln för kvadraten av summan eller skillnaden .

Formel (2) har två viktiga konsekvenser: Följd 1 Om ett kvadrattrinomial sönderdelas i linjära faktorer med reella koefficienter, så har det reella rötter. Bevis

Låt . När vi sedan skriver om den här expansionen får vi: $ax^{2}+bx+c=(kx+m)(nx+l)$

(kx+m)(nx+l)=k(x+{\frac {m}{k)))n(x+{\frac {l}{n)))=kn(x-(-{\frac { m}{k))))(x-(-{\frac {l}{n))))

Genom att jämföra det resulterande uttrycket med formel (2) finner vi att rötterna till ett sådant trinomial är och . Eftersom koefficienterna är reella är talen som är motsatta deras förhållanden också delar av mängden . $-{\frac {m}{k}}$ $-{\frac {l}{n}}$ $\mathbb {R}$

Konsekvens 2 Om ett kvadratiskt trinomium inte har några reella rötter, kan det inte delas upp i linjära faktorer med reella koefficienter. Bevis

Faktum är att om vi antar motsatsen (att ett sådant trinomial kan dekomponeras i linjära faktorer), så har det, enligt Corollary 1 , rötter i mängden , vilket motsäger villkoret, och därför är vårt antagande falskt, och ett sådant trinomial kan inte delas upp i linjära faktorer. $\mathbb {R}$

Andragradsekvationer

Algebraisk

En ekvation av formen är en ekvation som reduceras till en kvadratisk. $a\cdot f^{2}(x)+b\cdot f(x)+c=0$

I det allmänna fallet löses det genom att ersätta där E är uppsättningen av värden för funktionen f , följt av att lösa andragradsekvationen . $f(x)=t,~t\in E(f),$ $a\cdot t^{2}+b\cdot t+c=0$

När du löser kan du också klara dig utan ersättning genom att lösa en uppsättning av två ekvationer:

f(x)={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4\cdot a\cdot c))}{2a))

och

f(x)={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4\cdot a\cdot c))}{2a))

Till exempel, om , då blir ekvationen: $f(x)=x^{2}$

ax^{4}+bx^{2}+c=0.

En sådan ekvation av 4:e graden kallas biquadratisk [3] [1] .

Genom att byta ut

y=x+{\dfrac {k}{x}}

ekvationen reduceras till en andragradsekvation

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+kbx+k^{2}a=0,

känd som den reciproka eller generaliserade symmetriska ekvationen [1] .

Differentialer

Linjär homogen differentialekvation med konstanta koefficienter av andra ordningen

y''+py'+qy=0

substitution reducerar till den karakteristiska andragradsekvationen: $y=e^{kx}$

k^{2}+pk+q=0

Om lösningarna i denna ekvation och inte är lika med varandra, har den allmänna lösningen formen: $k_{1}$ $k_{2}$

y=Ae^{k_{1}x}+Be^{k_{2}x}

, där och är godtyckliga konstanter.

A

B

För komplexa rötter kan den allmänna lösningen skrivas om med Eulers formel : $k_{1,2}=k_{r}\pm k_{i}i$

y=e^{k_{r}x}\left(A\cos {k_{i}x}+B\sin {k_{i}x}\right)=Ce^{k_{r}x }\cos(k_{i}x+\varphi ),

där A , B , C , φ är alla konstanter. Om lösningarna för den karakteristiska ekvationen är desamma skrivs den allmänna lösningen som: $k_{1}=k_{2}=k$

y=Yxa^{kx}+Be^{kx}

Ekvationer av denna typ förekommer ofta i en mängd olika problem inom matematik och fysik, till exempel i teorin om oscillationer eller teorin om växelströmskretsar .

Anteckningar

↑ 1 2 3 4 5 6 7 Encyclopedic Dictionary of a Young Mathematician, 1985 .
↑ ett annat alternativ - "olyckligt"
↑ Matematisk encyklopedisk ordbok. — M.: Sovjetiskt uppslagsverk. — 1988.

Litteratur

Andragradsekvation; Square trinomial // Encyclopedic Dictionary of a Young Mathematician / Comp. A.P. Savin. - M . : Pedagogy , 1985. - S. 133 -136. — 352 sid.

Länkar

Weisstein, Eric W. Quadratic Equation (engelska) på Wolfram MathWorlds webbplats .
Härledning av formeln för rötterna till den fullständiga andragradsekvationen. Lösning av de reducerade andragradsekvationerna och ekvationerna med en jämn andrakoefficient Arkiverad kopia av 28 januari 2016 på Wayback Machine / Open Lesson Festival of Pedagogical Ideas.

Ordböcker och uppslagsverk	Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	BNF : 12124598x J9U : 987007552898205171 LCCN : sh85044517

Algebraiska ekvationer
Linjär ekvation Andragradsekvation kubikekvation Ekvation av fjärde graden Ekvation av femte graden Sjätte gradens ekvation Ekvation för sjunde graden