Linjär differentialekvation med konstanta koefficienter

En linjär differentialekvation med konstanta koefficienter är en vanlig differentialekvation av formen:

\sum _{k=0}^{n}{a_{k}y^{(k)}(t)}=a_{n}y^{(n)}+a_{n-1} y^{(n-1)}+\dots +a_{1}y'+a_{0}y=f(t)

var

$y=y(t)$ är den önskade funktionen,
$y^{(k)}=y^{(k)}(t)$ - dess -i- derivata , $k$
${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots a_{n))$ - fasta nummer,
$med)$ är en given funktion (när vi har en linjär homogen ekvation, annars en linjär inhomogen ekvation). $f(t)\equiv 0$

Homogen ekvation

Definition

Multipelroten av ett polynom är ett tal så att detta polynom är delbart utan återstod med men inte med . $k$ ${\displaystyle a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n))$ $c$ ${\displaystyle (xc)^{k))$ $(xc)^{k+1}$

Ordnings n ekvation

Homogen ekvation:

a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +a_{1}y'+a_{0}y=0

integrerad så här:

Låta vara alla olika rötter av det karakteristiska polynomet , som är den vänstra sidan av den karakteristiska ekvationen ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k))$

a_{n}\lambda ^{n}+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+\dots +a_{1}\lambda +a_{0}=0

multipliciteter , respektive . ${\displaystyle m_{1},m_{2},\dots ,m_{k))$ $m_{1}+m_{2}+\dots +m_{k}=n$

Sedan funktionerna

t^{\nu}e^{\lambda _{j}t},\ \ 1\leq j\leq k,\ \ 0\leq \nu \leq m_{j}-1

är linjärt oberoende (allmänt sett komplexa) lösningar av en homogen ekvation, de bildar ett grundläggande system av lösningar .

Den allmänna lösningen av ekvationen är en linjär kombination med godtyckliga konstanta (allmänt sett komplexa) koefficienter för det grundläggande lösningssystemet.

Genom att använda Eulerformeln för par av komplexa konjugerade rötter kan vi ersätta motsvarande par av komplexa funktioner i det grundläggande lösningssystemet med par av reella funktioner av formen $\lambda _{j}=\alpha _{j}\pm i\beta _{j},\ \ 1\leq j\leq k$

t^{\nu }e^{\alpha _{j}t}\cos(\beta _{j}t),\ \ t^{\nu}e^{\alpha _{j}t }\sin(\beta _{j}t),\ \ j\in {\overline {1\dots k)),\ \ 0\leq \nu \leq m_{j}-1

och konstruera den allmänna lösningen av ekvationen som en linjär kombination med godtyckliga reella konstantkoefficienter.

Andra ordningens ekvation

Homogen ekvation av andra ordningen:

a_{2}y''+a_{1}y'+a_{0}y=0

integrerad så här:

Låt vara rötterna till den karakteristiska ekvationen ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2))$

a_{2}\lambda ^{2}+a_{1}\lambda +a_{0}=0

som är en andragradsekvation .

Formen för den allmänna lösningen av den homogena ekvationen beror på värdet av diskriminanten : $\Delta =a_{1}^{2}-4a_{2}a_{0}$

när ekvationen har två olika reella rötter $\Delta >0$

\lambda _{1,2}=\alpha _{1,2}={\frac {-a_{1}\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a_{2}}}}.

Den allmänna lösningen ser ut så här:

{\displaystyle y(t)=c_{1}e^{\alpha _{1}t}+c_{2}e^{\alpha _{2}t))

vid - två sammanfallande verkliga rötter $\Delta =0$

\lambda _{1}=\lambda _{2}=\alpha ={\frac {-a_{1}}{2a_{2}}}.

Den allmänna lösningen ser ut så här:

{\displaystyle y(t)=c_{1}e^{\alpha t}+c_{2}te^{\alpha t))

för , det finns två komplexa konjugerade rötter $\Delta <0$

\lambda _{1,2}=\alpha \pm i\beta ={\frac {-a_{1}}{2a_{2}}}\pm i{\frac {\sqrt {|\Delta |}}{2a_{2}}}.

Den allmänna lösningen ser ut så här:

y(t)=c_{1}e^{\alpha t}\cos(\beta t)+c_{2}e^{\alpha t}\sin(\beta t)

Inhomogen ekvation

Den inhomogena ekvationen är integrerad med metoden för variation av godtyckliga konstanter ( Lagrange-metoden ).

Formen för den allmänna lösningen av den inhomogena ekvationen

Om en viss lösning av den inhomogena ekvationen ges och är det fundamentala systemet av lösningar för motsvarande homogena ekvation, så ges den allmänna lösningen av ekvationen av formeln $y_{0}(t)$ $y_{1}(t),\ldots ,y_{n}(t)$

y(t)=c_{1}y_{1}(t)+\ldots +c_{n}y_{n}(t)+y_{0}(t),

där finns godtyckliga konstanter. ${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{n))$

Superposition princip

Som i det allmänna fallet med linjära ekvationer finns det en superpositionsprincip som används i olika formuleringar av superpositionsprincipen i fysiken.

I det fall då funktionen på höger sida består av summan av två funktioner

f(t)=f_{1}(t)+f_{2}(t)

en speciell lösning av en inhomogen ekvation består också av summan av två funktioner

y_{0}(t)=y_{01}(t)+y_{02}(t)

var finns lösningar av den inhomogena ekvationen med höger sidor respektive. $y_{0j}(t),\ \ j\in {\överlinje {1,2))$ $f_{j}(t),\ \ j\in {\överlinje {1,2))$

Specialfall: kvasi -polynom

I fallet där är ett kvasipolynom, det vill säga, $med)$

f(t)=p(t)e^{\alpha t}\cos(\beta t)+q(t)e^{\alpha t}\sin(\beta t)

där är polynom , söks en särskild lösning av ekvationen i formen $p(t),\ q(t)$

y_{0}(t)=(P(t)e^{\alpha t}\cos(\beta t)+Q(t)e^{\alpha t}\sin(\beta t)) t^{s}

var

$P(t),\ Q(t)$ polynom, vars koefficienter hittas genom substitution i ekvationen och beräkning med metoden för obestämda koefficienter . $deg(P)=deg(Q)=Max(deg(p),\ deg(q))$ $y_{0}(t)$
$s$ är multipliciteten av det komplexa talet som roten till den karakteristiska ekvationen för den homogena ekvationen. $w=\alpha +i\beta$

I synnerhet när

{\displaystyle f(t)=p(t)e^{\alpha t))

där är ett polynom, söks en speciell lösning av ekvationen i formen $p(t)$

{\displaystyle y_{0}(t)=P(t)e^{\alpha t}t^{s))

Här är ett polynom, , med obestämda koefficienter, som hittas genom att substituera in i ekvationen. är multipliciteten som roten till den karakteristiska ekvationen för den homogena ekvationen. $P(t)$ $deg(P)=deg(p)$ $y_{0}(t)$ $s$ $\alfa$

När

f(t)=p(t)

där är ett polynom, söks en speciell lösning av ekvationen i formen $p(t)$

{\displaystyle y_{0}(t)=P(t)t^{s))

Här är ett polynom, , och är en multiplicitet av noll som en rot av den karakteristiska ekvationen för en homogen ekvation. $P(t)$ $deg(P)=deg(p)$ $s$

Cauchy-Eulers ekvation

Cauchy-Euler-ekvationen är ett specialfall av en linjär differentialekvation av formen:

\sum _{k=1}^{n}{a_{k}(\alpha x+\beta )^{k}y^{(k)}(x)}=a_{n}(\alpha x+\beta )^{n}y^{(n)}(x)+...+a_{2}(\alpha x+\beta )^{2}y''(x)+a_{1}( \alpha x+\beta )y'(x)+a_{0}y(x)=f(x)

reduceras till en linjär differentialekvation med konstanta koefficienter genom att ersätta formen . ${\displaystyle (\alpha x+\beta )=e^{t))$

Applikation

Differentialekvationer är den mest använda och klassiska formen av matematisk beskrivning av processer. Olika former av matematiska beskrivningar är ett verktyg för analytisk analys och syntes av dynamiska system och automatiska styrsystem. Differentialekvationer vars parametrar beror på variabler kallas icke-linjära och har inga generella lösningar. För närvarande används den matematiska apparaten för Laplace- och Fourier-integraltransformationer i stor utsträckning i teorin om automatisk styrning. Det är känt från matematiken att DC transformeras kompakt till frekvensdomänen. med konstanta koefficienter och under noll initiala förhållanden. Och i kontrollteorin är en sådan ekvation linjär. [ett]

Om ett dynamiskt system representeras av icke-linjära differentialekvationer för matematisk fysik, krävs deras linearisering för att tillämpa de klassiska metoderna för att analysera dessa system .

Se även

En linjär återkommande sekvens är en diskret analog till en linjär differentialekvation med konstanta koefficienter.

Anteckningar

↑ A. V. Andryushin, V. R. Sabanin, N. I. Smirnov. Ledning och innovation inom termisk kraftteknik. - M: MPEI, 2011. - S. 41. - 392 sid. - ISBN 978-5-38300539-2 .