Karakteristiskt polynom för en matris

Det karakteristiska polynomet i en matris är ett polynom som bestämmer dess egenvärden .

Definition

För en given matris , , där är identitetsmatrisen , är ett polynom i , som kallas det karakteristiska polynomet för matrisen (ibland även den sekulära ekvationen ) . $A$ $\chi (\lambda )=\det(A-\lambda E)$ $E$ $\lambda$ $A$

Värdet på det karakteristiska polynomet är att matrisens egenvärden är dess rötter. Faktum är att om ekvationen har en lösning som inte är noll, då är matrisen degenererad och dess determinant är lika med noll. $Av=\lambda v$ $(A-\lambda E)v=0$ $A-\lambda E$ $\det(A-\lambda E)=\chi (\lambda )$

Relaterade definitioner

Matrisen kallas den karakteristiska matrisen för matrisen . $A-\lambda E$ $A$
Ekvationen kallas den karakteristiska matrisekvationen . $\chi (\lambda )=0$ $A$
Det karakteristiska polynomet i en graf är det karakteristiska polynomet för dess närliggande matris .

Egenskaper

För en matris har det karakteristiska polynomet grad . $n\ gånger n$ $n$
Alla rötter till det karakteristiska polynomet i en matris är dess egenvärden .
Hamilton-Cayleys sats : om är det karakteristiska polynomet i matrisen, då. $\chi (\lambda )$ $A$ $\chi (A)=0$
De karakteristiska polynomen för liknande matriser sammanfaller: . $\chi _{{ABA^{{-1}}}}=\chi _{{B}}$
Det karakteristiska polynomet för den inversa matrisen: . $\chi _{A^{-1}}(\lambda )={\frac {(-\lambda )^{n}}{\det A}}\chi _{A}(1/\lambda )$

Bevis:

${\begin{aligned}{\det A}\cdot \chi _{A^{-1}}(\lambda )&={\det A}\cdot \det(A^{-1}- \lambda E)=\det(A(A^{-1}-\lambda E))\\&=\det(E-\lambda A)=(-1)^{n}\det(\lambda AE )\\&=(-\lambda )^{n}\det(A-(1/\lambda )E)=(-\lambda )^{n}\chi _{A}(1/\lambda )\ end{aligned}}$

Om och är två matriser , då . I synnerhet innebär detta att spåret av deras produkt och . $A$ $B$ $n\ gånger n$ $\chi _{{AB}}\,=\,\chi _{{BA}}$ ${\mathrm {tr}}\,(AB)={\mathrm {tr}}\,(BA)$ $\det(AB)=\det(BA)$
I en mer allmän form, if är en matris , och är en matris , och , så att och är kvadratiska matriser av dimensioner respektive , då: $A$ $m\ gånger n$ $B$ $n\ gånger m$ $m<n$ $AB$ $BA$ $m$ $n$

\chi _{{BA}}(\lambda )\,=\,\lambda ^{{nm}}\,\chi _{{AB}}(\lambda )

Länkar

V. Yu. Kiselev, A.S. Pyartli, T.F. Kalugina. Högre matematik. Linjär algebra . — Ivanovo State Power Engineering University. Arkiverad 23 december 2008 på Wayback Machine

Vektorer och matriser

Vektorer

Grundläggande koncept	Vektor i geometri Grund Ortogonal grund Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Linjärt beroende Kolumnutrymme
Typer av vektorer	Enhet vektor Axiell vektor isotrop vektor Vanligt Kolinearitet Noll vektor Radie vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalär produkt vektor produkt blandad produkt Pseudoskalär produkt Dubbelkorsprodukt
Utrymmestyper	vektor utrymme affint utrymme Euklidiskt utrymme Pseudo-euklidiskt utrymme Normerat utrymme Minkowski utrymme

matriser

Grundläggande koncept	Matrismultiplikation Transponerad matris Hermitisk konjugatmatris Symmetrisk matris invers matris Eget värde Karakteristiskt polynom för en matris
Specialmatriser	Identitetsmatris Noll matris Diagonal matris lambda matris
Matrisnedbrytningar	LU-nedbrytning Cholesky nedbrytning QR-sönderdelning LUP-nedbrytning singulärvärdesfaktorisering Spektral nedbrytning av en matris

Övrig