Bilinjär form

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 maj 2019; verifiering kräver 1 redigering .

Låt det finnas ett vektorrum över ett fält (fält eller anses oftast ). $L$ $K$ $K={\mathbb R}$ $K={\mathbb C}$

En bilinjär form är en funktion som är linjär i vart och ett av argumenten : $F\kolon L\ gånger L\till K$

F(x+z,\,y)=F(x,\,y)+F(z,\,y)

F(x,\,y+z)=F(x,\,y)+F(x,\,z)

F(\lambda x,\,y)=\lambda F(x,\,y)

F(x,\,\lambda y)=\lambda F(x,\,y)

här och $x,y,z\in L$ $\lambda \i K.$

Den bilinjära formen är ett specialfall av begreppet en tensor (en tensor av rang (0,2)).

Alternativ definition

När det gäller änddimensionella utrymmen (till exempel ) används oftare en annan definition. $\mathbb {R} ^{n}$

Låt det finnas en uppsättning vektorer av formen där . $L$ $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),$ $x_{i}\in K,i=\overline {1,n}$

Bilinjära former är funktioner av formen $F\colon L\times L\to K$

F(x,y)=\summa _{{i,\,j=1}}^{n}a_{{ij}}x_{i}y_{j},

där a är några konstanter från fältet $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),$ $y=(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}),$ $a_{{ij}}$ $K.$

Med andra ord är en bilinjär form en funktion av två vektorer med avseende på de variabla komponenterna i varje, vilket är ett homogent polynom av första graden med avseende på de variabla komponenterna i varje vektor. $n$

Relaterade definitioner

En bilinjär form kallas symmetrisk om för några vektorer . $F$ $F(x,\,y)=F(y,\,x)$ $x,y\i L$
En bilinjär form kallas skev-symmetrisk (antisymmetrisk) om för några vektorer . $F$ $F(x,\,y)=-F(y,\,x)$ $x,y\i L$
En vektor sägs vara ortogonal (mer exakt vänster ortogonal ) till ett delrum med avseende på om för alla . Uppsättningen av vektorer som är ortogonala mot ett delrum med avseende på en given bilinjär form kallas det ortogonala komplementet av delrummet med avseende på och betecknas med . $x\i L$ $M\subset L$ $F$ $F(x,\,y)=0$ $y\in M$ $x\i L$ $M\subset L$ $F$ $M\subset L$ $F$ ${\displaystyle M^{\perp ))$
Radikalen i en bilinjär form är det ortogonala komplementet till själva utrymmet med avseende på , det vill säga den uppsättning vektorer som för alla . $F$ $L$ $F$ ${\displaystyle L^{\perp ))$ $x\i L$ $F(x,\,y)=0$ $y\in L$

Egenskaper

Mängden av alla bilinjära former som ges på ett godtyckligt fixerat utrymme är ett linjärt utrymme. $W(L,L)$
Vilken bilinjär form som helst kan representeras som en summa av symmetriska och skevsymmetriska former.
För en vald bas i valfri bilinjär form bestäms unikt av matrisen $e_{1},\ldots ,e_{n}$ $L$ $F$

{\begin{pmatrix}F(e_{1},\,e_{1})&F(e_{1},\,e_{2})&\ldots &F(e_{1},\,e_{n} )\\F(e_{2},\,e_{1})&F(e_{2},\,e_{2})&\ldots &F(e_{2},\,e_{n})\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\F(e_{n},\,e_{1})&F(e_{n},\,e_{2})&\ldots &F(e_{n} ,\,e_{n})\end{pmatrix}},

så för alla vektorer och $x=x^{1}e_{1}+x^{2}e_{2}+\cdots +x^{n}e_{n}$ $y=y^{1}e_{1}+y^{2}e_{2}+\cdots +y^{n}e_{n}$

F(x,\,y)={\begin{pmatrix}x^{1}&x^{2}&\ldots &x^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}F(e_{1 },\,e_{1})&F(e_{1},\,e_{2})&\ldots &F(e_{1},\,e_{n})\\F(e_{2},\ ,e_{1})&F(e_{2},\,e_{2})&\ldots &F(e_{2},\,e_{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\F(e_{n},\,e_{1})&F(e_{n},\,e_{2})&\ldots &F(e_{n},\,e_{n})\end{ pmatrix}}{\begin{pmatrix}y^{1}\\y^{2}\\\vdots \\y^{n}\end{pmatrix}},

det är

F(x,\,y)=\summa _{{i,j=1}}^{n}f_{{ij}}\,x^{i}y^{j},\ \quad f_{{ ij}}=F(e_{i},\,e_{j}).

Detta betyder också att den bilinjära formen helt bestäms av dess värden på basvektorerna .
Rummets dimension är . $W(L,L)$ ${\displaystyle \dim W(L,L)=(\dim L)^{2))$
Även om matrisen för den bilinjära formen beror på valet av bas, är rangordningen för matrisen för den bilinjära formen densamma i vilken bas som helst, den kallas rangordningen för den bilinjära formen . En bilinjär form kallas icke- degenererad om dess rang är lika med . $F$ $F$ $\dim L$
För varje delrum är det ortogonala komplementet ett delrum . $M\subset L$ ${\displaystyle M^{\perp ))$ $M^{{\perp }}\delmängd L$
$\dim L^{{\perp }}=\dim Lr$ , var är rangordningen för den bilinjära formen . $r$ $F$

Transformation av en matris av en bilinjär form med en förändring av basen

Matrisen som representerar den bilinjära formen i den nya basen är kopplad till matrisen som representerar den i den gamla basen genom en matris invers mot övergångsmatrisen till den nya basen (Jacobi-matrisen), genom vilken vektorernas koordinater transformeras.

Med andra ord, om koordinaterna för vektorn i den gamla basen uttrycks i termer av koordinaterna i den nya genom matrisen eller i matrisnotationen , då kommer den bilinjära formen på alla vektorer att skrivas som $X^{i}$ $x^i$ $\beta$ ${\displaystyle X^{i}=\sum \beta _{j}^{i}x^{j))$ $X=\beta x$ $F$ $x$ $y$

F(x,\,y)=\summa _{{i,j}}F_{{ij}}X^{i}Y^{j}=\summa _{{i,j,k,m}} F_{{ij}}\beta _{k}^{i}\beta _{m}^{j}x^{k}y^{m}

det vill säga komponenterna i matrisen som representerar den bilinjära formen i den nya basen kommer att vara:

f_{{km}}=\summa _{{i,j}}F_{{ij}}\beta _{k}^{i}\beta _{m}^{j}

eller, i matrisnotation:

f=\beta ^{T}F\beta

{\displaystyle \beta =\alpha ^{-1))

, var är matrisen för direkt koordinattransformation .

\alfa

x=\alpha X

Relation till tensorprodukter och funktorn Hom

Det följer av tensorproduktens universella egenskap att bilinjära former på V är i en-till-en-överensstämmelse med mängden , där k är markfältet. ${\text{Hom}}(V\otimes V,k)$

Eftersom tensorproduktfunktorn och funktorn Hom är konjugerade , , det vill säga den bilinjära formen motsvarar en linjär avbildning från till det dubbla utrymmet . Denna överensstämmelse kan dras på två sätt (eftersom det finns två tensorproduktfunktioner, med det vänstra argumentet fixat och det högra argumentet fixerat), betecknas de ofta som ${\text{Hom}}(V\otimes V,k)\cong {\text{Hom}}(V,{\text{Hom}}(V,k))$ $V$ $V^*$

$B_{1}({\mathsf {v}})=B({\mathsf {v}},\cdot )$

$B_{2}({\mathsf {v)))=B(\cdot ,{\mathsf {v)))$ .

Se även

Litteratur

Maltsev AI Grunderna i linjär algebra. — M .: Nauka, 1975.
Gelfand I. M. Föreläsningar om linjär algebra. — M .: Nauka, 1971.
Faddeev D. K. Föreläsningar om algebra. Moskva: Nauka, 1984.
Kostrikin A. I. Introduktion till algebra, Moskva: Nauka, 1977.
Beklemishev DV Analytisk geometri och linjär algebra. - M . : Högre. skola, 1998. - 320 sid.
Gel'fand I. M. , linjär algebra . Föreläsningskurs.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Linjär algebra och geometri, Fizmatlit, Moskva, 2009.

Vektorer och matriser

Vektorer

Grundläggande koncept	Vektor i geometri Grund Ortogonal grund Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Linjärt beroende Kolumnutrymme
Typer av vektorer	Enhet vektor Axiell vektor isotrop vektor Vanligt Kolinearitet Noll vektor Radie vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalär produkt vektor produkt blandad produkt Pseudoskalär produkt Dubbelkorsprodukt
Utrymmestyper	vektor utrymme affint utrymme Euklidiskt utrymme Pseudo-euklidiskt utrymme Normerat utrymme Minkowski utrymme

matriser

Grundläggande koncept	Matrismultiplikation Transponerad matris Hermitisk konjugatmatris Symmetrisk matris invers matris Eget värde Karakteristiskt polynom för en matris
Specialmatriser	Identitetsmatris Noll matris Diagonal matris lambda matris
Matrisnedbrytningar	LU-nedbrytning Cholesky nedbrytning QR-sönderdelning LUP-nedbrytning singulärvärdesfaktorisering Spektral nedbrytning av en matris

Övrig