Ortogonalt komplement

Det ortogonala komplementet av ett delrum av ett vektorrum med en bilinjär form är uppsättningen av alla vektorer ortogonala mot varje vektor från . Denna uppsättning är ett vektorunderrum , som vanligtvis betecknas med . $W$ $V$ $B$ $V$ $W$ $V$ ${\displaystyle W^{\bot ))$

Definition

Låta vara ett vektorrum över ett fält med en bilinjär form . En vektor är vänster ortogonal mot en vektor och en vektor är höger ortogonal mot en vektor om och endast om Det vänstra ortogonala komplementet av ett delrum är uppsättningen av vektorer som lämnas ortogonalt mot varje vektor , dvs. $V$ $F$ $B$ $u$ $v$ $v$ $u$ $B(u,v)=0.$ $W$ $W$

W^{\bot }=\left\{x\in V:B(x,y)=0\;\forall y\in W\right\}.

Det högra ortogonala komplementet definieras på liknande sätt. För en symmetrisk eller skevsymmetrisk bilinjär form är därför definitionerna av vänster och höger ortogonala komplement desamma. $B(u,v)=0\Leftrightarrow B(v,u)=0,$

Definitionen kan överföras till fallet med en fri modul över en kommutativ ring . [ett]

Egenskaper

Det ortogonala komplementet är ett delrum, det vill säga det stängs under vektoraddition och multiplikation med ett fältelement.
Om , då $X\subseteq Y$ $Y^{\bot }\subseteq X^{\bot }.$
Radikalen i en bilinjär form är ett underrum till vilket ortogonalt komplement som helst.
$W\subseteq (W^{\bot })^{\bot }.$
Om formen är icke- degenererad och utrymmet är ändligt dimensionellt, då $B$ $V$ $\mathrm {dim} \;W+\mathrm {dim} \;W^{\bot }=\mathrm {dim} \;V.$
Om är ett ändligt dimensionellt euklidiskt rum och är en skalär produkt (eller ett enhetligt rum respektive en hermitisk skalärprodukt), så expanderar varje delrum till en direkt summa och [2] $V$ $B$ $W\subseteq V$ $V$ $W$ $W^{\bot }.$

Exempel

Låta vara ett tvådimensionellt utrymme med bas , och matrisen för den bilinjära formen i denna bas har formen Då är det ortogonala komplementet av delrummet som spänner av vektorn uppsättningen av vektorer så att Till exempel det ortogonala komplementet av rummet spänns av vektorn sammanfaller med sig själv, medan det ortogonala komplementet spänns av till vektor . $V$ ${\displaystyle e_{1},e_{2))$ ${\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}.$ ${\displaystyle ae_{1}+be_{2))$ $xe_{1}+ye_{2},$ $ay+bx=0.$ $e_{1}$ $\langle e_{1}+e_{2}\rangle$ ${\displaystyle e_{1}-e_{2))$

Anteckningar

↑ Adkins, Weintraub (1992) s.359
↑ Maltsev A.I., Fundamentals of linear algebra, s.212.

Litteratur

Maltsev AI Grunderna i linjär algebra. - 3:a. — M .: Nauka , 1970. — 400 sid.
Adkins, William A.; Weintraub, Steven H. (1992), Algebra: An Approach via Module Theory, Graduate Texts in Mathematics 136, Springer-Verlag, ISBN 3-540-97839-9 , Zbl 0768.00003
Halmos, Paul R. (1974), Finite-dimensional vector spaces, Undergraduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90093-3 , Zbl 0288.15002