Linjärt oberoende

I linjär algebra är linjärt beroende en egenskap som en delmängd av ett linjärt utrymme kan ha . Med ett linjärt beroende finns det en icke-trivial linjär kombination av element i denna uppsättning, lika med nollelementet . I avsaknad av en sådan kombination, det vill säga när koefficienterna för den enda linjära kombinationen är noll, sägs mängden vara linjärt oberoende .

Exempel

Vektorerna , och är linjärt oberoende, eftersom ekvationen $\mathbb {R} ^{3}$ $(1,0,0)$ $(0,1,0)$ $(0,0,1)$

a_{1}\cdot (1,0,0)+a_{2}\cdot (0,1,0)+a_{3}\cdot (0,0,1)=(0,0,0)\ quad a_{i}\in {\mathbb {R}}

har bara en trivial lösning.

Vektorerna och är linjärt beroende, eftersom $(1,0,0)$ $(5,0,0)$

(1,0,0)\cdot 5=(5,0,0),

och därför,

-5\cdot (1,0,0)+1\cdot (5,0,0)=(0,0,0).

Definition

Låt det finnas ett linjärt mellanrum över fältet och . kallas en linjärt oberoende mängd om någon av dess ändliga delmängder är linjärt oberoende. $V$ $K$ $M\subseteq V$ $M$

En finit mängd kallas linjärt oberoende om den enda linjära kombinationen lika med noll är trivial, det vill säga alla dess koefficienter är lika med noll: $M'=\{v_{1},v_{2},...,v_{n}\}$

a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+\ldots +a_{n}v_{n}=0\quad \Rightarrow \quad a_{1}=a_{2}= \ldots=a_{n}=0.

Om det finns en sådan linjär kombination med minst en , kallas linjärt beroende. Observera att den första jämlikheten innebär , medan den andra innebär . $a_{i}\neq 0$ $M'$ $0\i V$ $0\i K$

Egenskaper

$0\in M\Högerpil M$ linjärt beroende.
$M$ linjärt oberoende linjärt oberoende för alla . $\Höger pil$ $M'$ $M'\subseteq M$
$M$ linjärt beroende linjärt beroende för alla . $\Höger pil$ $M'$ $M'\supseteq M$

Applikation

Linjära ekvationssystem

Ett linjärt ekvationssystem, där antalet variabler är, har en unik lösning om och endast om kolumnerna i dess huvudmatris är linjärt oberoende. $n$ $n$

Matrix rang

Rangen för en matris är lika med det maximala antalet av dess linjärt oberoende rader eller kolumner.

geometrisk känsla

Vektorer och är linjärt beroende om och endast om de är kolinjära (ligger på parallella linjer ). ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$
Vektorer är linjärt beroende om och endast om de är i samma plan (ligger i samma plan ). ${\vec {a)],\;{\vec {b)],\;{\vec {c}}$

Grund

Grunden för ett linjärt utrymme är den maximala uppsättningen linjärt oberoende vektorer (maximalitet förstås på det sättet att när någon vektor av detta utrymme läggs till denna mängd kommer den nya mängden inte längre att vara linjärt oberoende).

Se även

Vektorer och matriser

Vektorer

Grundläggande koncept	Vektor i geometri Grund Ortogonal grund Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Linjärt beroende Kolumnutrymme
Typer av vektorer	Enhet vektor Axiell vektor isotrop vektor Vanligt Kolinearitet Noll vektor Radie vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalär produkt vektor produkt blandad produkt Pseudoskalär produkt Dubbelkorsprodukt
Utrymmestyper	vektor utrymme affint utrymme Euklidiskt utrymme Pseudo-euklidiskt utrymme Normerat utrymme Minkowski utrymme

matriser

Grundläggande koncept	Matrismultiplikation Transponerad matris Hermitisk konjugatmatris Symmetrisk matris invers matris Eget värde Karakteristiskt polynom för en matris
Specialmatriser	Identitetsmatris Noll matris Diagonal matris lambda matris
Matrisnedbrytningar	LU-nedbrytning Cholesky nedbrytning QR-sönderdelning LUP-nedbrytning singulärvärdesfaktorisering Spektral nedbrytning av en matris

Övrig