Ortogonal grund

En ortogonal (ortonormal) bas är ett ortogonalt ( ortonormalt ) system av element i ett linjärt utrymme med en skalär produkt som har fullständighetsegenskapen .

Ändligt dimensionellt fall

En ortogonal bas är en bas som består av parvisa ortogonala vektorer . En ortonormal grund uppfyller också villkoret för enhet av normen för alla dess element. Det vill säga, det är en ortogonal bas med normaliserade element.

Det senare är bekvämt skrivet med Kronecker-symbolen :

(e_{i},e_{j})=\delta _{ij},

det vill säga punktprodukten för varje par av basvektorer är noll när de inte är lika ( ), och är lika med en när indexet är detsamma, det vill säga när punktprodukten av en basvektor med sig själv tas . $i\neq j$

Många saker är skrivna på en ortogonal grund mycket lättare än på en godtycklig, därför försöker de ofta använda just sådana baser, om det är möjligt, eller användningen av någon speciell icke-ortogonal bas ger inte någon speciell speciell bekvämligheter. Eller om de inte överger det till förmån för en grund av allmän form av generella skäl.

En ortonormal bas är självdual ( dess dubbla bas sammanfaller med sig själv). Därför är det möjligt att inte göra någon skillnad mellan övre och nedre index i den, och använda, säg, endast lägre index (som vanligtvis är fallet, om inte, naturligtvis, endast ortonormala baser används i detta fall).

Linjärt oberoende följer av ortogonalitet, det vill säga det uppnås automatiskt för ett ortogonalt system av vektorer.

Koefficienter i expansionen av en vektor på ortogonal basis:

\\mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e_{1}} +a_{2}\mathbf {e_{2}} +\ldots +a_{n}\mathbf {e_{n} }

kan hittas så här:

\ a_{i}={\frac {(\mathbf {a} ,\mathbf {e_{i}} )}{(\mathbf {e_{i}} ,\mathbf {e_{i}} ) }}.

Fullständigheten av ett ortonormalt system av vektorer är ekvivalent med Parsevals likhet : för vilken vektor som helst är kvadraten på vektorns norm lika med summan av kvadraterna av koefficienterna för dess expansion i basen: ${\mathbf {a}}$

({\mathbf {a}},{\mathbf {a}})=\summa _{i}({\mathbf {a}},{\mathbf {e_{i}}})^{2},

Liknande relationer gäller också för det oändliga dimensionella fallet (se nedan).

Oändligt dimensionellt fall

En ortogonal bas är ett system av parvisa ortogonala element i ett Hilbert-rum så att vilket element som helst kan representeras unikt som en normkonvergerande serie $e_{1},e_{2},...,e_{n},...$ $X$ $x\i X$

x=\summa _{{n=1}}^{\infty }a_{n}e_{n},

kallas Fourierserien av ett element i systemet . $x$ $\{e_{n}\}$

Ofta väljs grunden så att , och då kallas den för ortonormal grund . I det här fallet är siffrorna , kallade Fourierkoefficienterna för ett element på ortonormal basis , av formen $\{e_{n}\}$ $|e_{n}|=1$ $en$ $x$ $\{e_{n}\}$

a_{n}=(x,e_{n})

En nödvändig och tillräcklig förutsättning för att ett ortonormalt system ska ligga till grund är Parsevals jämlikhet . $\{e_{n}\}$

Ett Hilbert-utrymme som har en ortonormal bas är separerbart , och omvänt har varje separerbart Hilbert-utrymme en ortonormal bas.

Om ett godtyckligt system av tal ges så att , i fallet med ett Hilbertrum med ortonormal bas , serien - konvergerar i norm till något element . Detta etablerar isomorfismen hos varje separerbart Hilbert-rum till rymden ( Riesz -Fischer-satsen). $\{en}\}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}^{2}<\infty$ $\{e_{n}\}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}e_{n}$ $x\i X$ $l_{2}$

Exempel

Standardbasen i det n -dimensionella euklidiska rymden Rn är ortonormal. $e_{1}=(1,0,\ldots ,0)^{{\mathrm {T}}},e_{2}=(0,1,\ldots ,0)^{{\mathrm {T}} },\ldots e_{n}=(0,0,\ldots ,1)^{{\mathrm {T))}$

Uppsättningen bildar en ortonormal bas i . $\{f_{n}={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}e^{{inx}},n\in {\mathbb {Z}}\}$ $L^{2}([-\pi ,\pi ])$

Litteratur

Gelfand I. M. föreläsningar om linjär algebra, Moskva: Nauka, 1971.
Moren K. Hilbert rymdmetoder. M.: Mir, 1965.

Se även

Vektorer och matriser

Vektorer

Grundläggande koncept	Vektor i geometri Grund Ortogonal grund Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Linjärt beroende Kolumnutrymme
Typer av vektorer	Enhet vektor Axiell vektor isotrop vektor Vanligt Kolinearitet Noll vektor Radie vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalär produkt vektor produkt blandad produkt Pseudoskalär produkt Dubbelkorsprodukt
Utrymmestyper	vektor utrymme affint utrymme Euklidiskt utrymme Pseudo-euklidiskt utrymme Normerat utrymme Minkowski utrymme

matriser

Grundläggande koncept	Matrismultiplikation Transponerad matris Hermitisk konjugatmatris Symmetrisk matris invers matris Eget värde Karakteristiskt polynom för en matris
Specialmatriser	Identitetsmatris Noll matris Diagonal matris lambda matris
Matrisnedbrytningar	LU-nedbrytning Cholesky nedbrytning QR-sönderdelning LUP-nedbrytning singulärvärdesfaktorisering Spektral nedbrytning av en matris

Övrig