Hilbert utrymme

Ett Hilbert-rum är en generalisering av det euklidiska rummet , som medger en oändlig dimension och är komplett i termer av metriken som genereras av den skalära produkten . Uppkallad efter David Hilbert .

Det viktigaste studieobjektet i Hilbertrummet är linjära operatorer [1] . Själva begreppet ett Hilbert-rum bildades i Hilberts och Schmidts arbete om teorin om integralekvationer , och en abstrakt definition gavs i arbetet av von Neumann , Rees och Stone om teorin om Hermitiska operatorer .

Definition

Hilbertrymden är ett linjärt (vektor)utrymme (över fältet av reella eller komplexa tal) där [2] :

en regel indikeras som låter dig bestämma för två valfria element i rymden och deras skalära produkt ; $x$ $y$ $(x,y)$
denna regel uppfyller följande krav:
- $(y,x)=(x,y)$ (förskjutningslag i ett verkligt Hilbertrum) eller (förskjutningslag i ett komplext Hilbertrum, stapeln betyder tecknet på komplex konjugation) [3] ; $(y,x)={\overline {(x,y)))$
- $(x,y+z)=(x,y)+(x,z)$ (distributiv lag);
- $(\lambda x,y)=\lambda (x,y)$ för valfritt reellt tal ; $\lambda$
- $(x,x)>0$ kl och kl . $x \ne 0$ $(x,x)=0$ $x=0$
vilket är komplett med avseende på måtten som genereras av denna skalära produkt . Om villkoret för rymdfullständighet inte är uppfyllt talar man om ett pre-Hilbert-utrymme . De flesta av de kända (använda) utrymmena är dock antingen kompletta eller kan fyllas på. $d(x,y)=\|xy\|={\sqrt {(xy,xy)))$

Således är ett Hilbert-utrymme ett Banach-utrymme (komplett normerat utrymme) vars norm genereras av en positiv bestämd skalärprodukt och definieras som $\|x\|={\sqrt {(x,x)))$

En norm i ett godtyckligt normerat utrymme kan genereras av någon inre produkt om och endast om följande parallellogramlikhet (identitet) gäller :

(\forall x,y\in H)\quad \|x+y\|^{2}+\|xy\|^{2}=2(\|x\|^{2}+\|y\ |^{2}).

Om ett Banach-utrymme som uppfyller parallellogramidentiteten är verkligt, så ges den skalära produkten som motsvarar dess norm av likheten

(x,y)=\left\|{\dfrac {x+y}{2}}\right\|^{2}-\left\|{\dfrac {xy}{2}}\right\|^ {2}.

Om detta utrymme är komplext, så ges den skalära produkten som motsvarar dess norm av jämlikheten

(x,y)=\left\|{\dfrac {x+y}{2}}\right\|^{2}-\left\|{\dfrac {xy}{2}}\right\|^ {2}+i\left\|{\dfrac {x+iy}{2}}\right\|^{2}-i\left\|{\dfrac {x-iy}{2}}\right\ |^{2}

(polarisationsidentitet).

Cauchy-Bunyakovsky ojämlikhet. Ortogonalitet

I ett Hilbert-rum är Cauchy-Bunyakovsky-ojämlikheten viktig :

|(x,y)|\leqslant \|x\|\|y\|

Denna olikhet i fallet med ett verkligt Hilbert-rum gör det möjligt att bestämma vinkeln mellan två element x och y med följande formel $\varphi$

\cos \varphi ={\frac {(x,y)}{\|x\|\|y\|}}

I synnerhet, om punktprodukten är lika med noll och elementen i sig inte är noll, då är vinkeln mellan dessa element lika med , vilket motsvarar ortogonaliteten för elementen x och y. Begreppet ortogonalitet introduceras också i ett komplext Hilbertrum med hjälp av relationen . Symbolen används för att indikera ortogonaliteten hos element . Två delmängder och ett Hilbert-utrymme är ortogonala om två element är ortogonala. $(x,y)=0$ $90^{\cirkel }$ $(x,y)=0$ $\perp$ $M$ $N$ $(M\perp N)$ $f\in M$ $g\in N$

För parvisa ortogonala vektorer är Pythagoras sats (generaliserad) giltig:

{\displaystyle \left\|\summa _{i}x_{i}\right\|^{2}=\summa _{i}\|x_{i}\|^{2))

Mängden av alla rymdelement som är ortogonala mot någon delmängd är ett slutet linjärt grenrör (delrum) och kallas det ortogonala komplementet till denna uppsättning. $A$

En delmängd av element kallas ett ortonormalt system om två element i mängden är ortogonala och normen för varje element är en.

Baser och dimensioner för ett Hilbert-utrymme

Ett system av vektorer i ett Hilbert-utrymme är komplett om det genererar hela rummet, det vill säga om ett godtyckligt element i rummet kan godtyckligt noggrant approximeras i normen genom linjära kombinationer av elementen i detta system. Om det finns ett räknebart komplett system av element i ett utrymme, så är utrymmet separerbart - det vill säga det finns en räknebar överallt tät uppsättning vars stängning i termer av rymdmetriken sammanfaller med hela utrymmet.

Detta kompletta system är en grund om varje element i rummet kan representeras som en linjär kombination av elementen i detta system, och unikt. Det bör noteras att i det allmänna fallet med Banach-utrymmen följer det inte av fullständigheten och linjära oberoendet av elementen i systemet att detta är en grund. Men i fallet med separerbara Hilbert-utrymmen är det fullständiga ortonormala systemet en bas. För att ett ortonormalt system ska vara komplett i ett separerbart Hilbert-utrymme är det nödvändigt och tillräckligt att det inte finns något icke-noll-element ortogonalt mot alla element i det ortonormala systemet. För varje element i utrymmet finns det alltså en expansion på ortonormal basis : $\{e_{i}\}$ $\{e_{i}\}$ $f$ $\{e_{i}\}$

f=\summa _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}e_{i}=\summa _{i=1}^{\infty }(f,e_{i})e_{i }

Expansionskoefficienterna kallas Fourierkoefficienter. Samtidigt, för elementets norm, är Parsevals jämlikhet uppfylld : $\alpha _{i}=(f,e_{i})$

{\displaystyle \|f\|^{2}=\summa _{i=1}^{\infty }|(f,e_{i})|^{2))

Alla ortonormala baser i ett Hilbertrum har samma kardinalitet, vilket gör det möjligt att definiera dimensionen av ett Hilbertrum som dimensionen av en godtycklig ortonormal bas (ortogonal dimension). Ett Hilbert-utrymme är separerbart om och bara om det har en räknebar dimension.

Dimensionen av ett utrymme kan också definieras som den minsta av kardinaliteterna av delmängder av ett Hilbert-utrymme för vilket stängningen av det linjära spannet sammanfaller med . $H$ $H$

Alla två Hilbertrum som har samma dimension är isomorfa . I synnerhet är två oändligt dimensionella separerbara Hilbert-utrymmen isomorfa till varandra och till utrymmet av kvadratsammandragbara sekvenser . $\ell ^{2}$

Det finns icke-separerbara Hilbert-utrymmen - utrymmen där det inte finns någon räknebar grund [4] . I synnerhet är exemplet med ett icke-separerbart utrymme med ett speciellt mått intressant [5] . $L^{2}$

Ortogonala expansioner

Låt vara ett delrum i Hilbert-utrymmet . Sedan, för alla element , är den enda nedbrytningen sant , där , och . Elementet kallas projektion av elementet på . Uppsättningen element som är ortogonala mot delrummet bildar ett (slutet) delrum som är det ortogonala komplementet till delrummet . $L$ $H$ $f\in H$ $f=g+h$ $g\in L$ $h\perp L$ $g$ $f$ $L$ $h$ $L$ $M$ $L$

Utrymmet sägs vara uppdelat i en direkt summa av delrum och , som skrivs som . Det kan skrivas på liknande sätt . $H$ $L$ $M$ $H=L\oplus M$ $L=H\ominus M$

Utrymmet för linjära funktionaler

Utrymmet av linjära kontinuerliga (avgränsade) funktionaler bildar också ett linjärt rum och kallas det dubbla rummet.

Följande Rees-sats om den allmänna formen av en avgränsad linjär funktionell i ett Hilbert-utrymme äger rum: för alla linjära avgränsade funktionella på ett Hilbert-rum finns det en unik vektor som för alla . I det här fallet sammanfaller normen för den linjära funktionalen med vektorns norm : $f$ $H$ $y\in H$ $f(x)=(x,y)$ $x\i H$ $f$ $y$

\|f\|=\sup _{\|x\|=1}|f(x)|={\sqrt {(y,y)))

Det följer av satsen att utrymmet av linjärt avgränsade funktionaler över ett Hilbertrum är isomorft till själva utrymmet . $H$ $H$

Linjära operatorer i Hilbert-utrymmen

En linjär operator kan representeras i en given bas av matriselement på ett unikt sätt: . $A$ $a_{ij}=(Ae_{i},e_{j})$

En linjär operator kallas adjoint till operatorn om för några element och likheten gäller . Normen för den adjungerade operatören är lika med normen för operatören själv. $A^{*}$ $A$ $x$ $y$ $(Ax,y)=(x,A^{*}y)$

En linjär avgränsad operator kallas självadjoint ( symmetrisk ) om . $A^{*}=A$

Operatören definierad på hela utrymmet, som associerar varje element med dess projektion på något delrum, kallas den projekterande operatören (projektionsoperatören). En projektor är en operatör som . Om en projektor dessutom är en självansluten operatör, så är det också en ortogonal projektor. Produkten av två projicerande operatörer projicerar om och endast om de är permuterbara: . $P$ $P^{2}=P$ $P$ $P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}$

Egenskaper

Rees representation theorem : för alla ortonormala vektorsystemi ett Hilbert-utrymmeoch en talsekvensså att, idet finns ett elementså attoch. ${\lbrace \phi _{i}\rbrace }_{i=1}^{\infty }$ $H$ ${\lbrace C_{i}\rbrace }_{i=1}^{\infty }$ $\sum _{i=1}^{\infty }C_{i}^{2}<\infty$ $H$ $u$ $C_{i}=\left(u,\phi _{i}\right)$ ${\left\Vert u\right\Vert }^{2}=\sum _{i=1}^{\infty }{\left(u,\phi _{i}\right)}^{2}$
Hilbertrum genererar starkt normerade rum .

Exempel

Det grundläggande exemplet är det euklidiska rummet .

Utrymmet av kvadratsammandragbara sekvenser : dess punkter är oändliga sekvenser av reella tal för vilka serien konvergerar , den skalära produkten på den ges av likheten: $\ell ^{2}$ $x=\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ $\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{2}$

(x,y)=\summa _{n=1}^{\infty }x_{n}y_{n}

Utrymmet $L^{2}[a,b]$ för mätbara funktioner med verkliga värden på ett intervall med Lebesgue integrerbara kvadrater - det vill säga så att integralen $[a,b]$

\int \limits _{a}^{b}\!|f|^{2}\,dx

är definierad och ändlig, dessutom identifieras funktioner som skiljer sig från varandra på en uppsättning mått noll med varandra (det vill säga formellt finns det en motsvarande uppsättning ekvivalensklasser). Den skalära produkten på detta utrymme ges av jämlikheten: $L^{2}[a,b]$

(f,g)=\int \limits _{a}^{b}\!f{g}\,dx

För mellanslag och över fältet av komplexa tal, sekvenser av komplexa tal och komplexa funktioner, skiljer sig definitionen av den skalära produkten endast i den komplexa konjugationen av den andra faktorn: $\ell ^{2}$ $L^{2}[a,b]$

(x,y)=\summa _{n=1}^{\infty }x_{n}{\overline {y}}_{n}

;

(f,g)=\int \limits _{a}^{b}\!f{\overline {g}}\,dx

Anteckningar

↑ Hilbert utrymme // Matematisk encyklopedisk ordbok / kapitel. ed. Prokhorov Yu. V. - M., Soviet Encyclopedia , 1988. - sid. 152-153
↑ Shilov G. E. Matematisk analys. Specialkurs. — M.: Fizmatlit, 1961. — C. 181
↑ Shilov G. E. Matematisk analys. Specialkurs. - M .: Fizmatlit, 1961. - C. 253
↑ Konstantinov R. V. Föreläsningar om funktionsanalys. — M.: MFTI, 2009. — S. 129
↑ Reid, M., Simon, B. Metoder för modern matematisk fysik. Volym 1. Funktionsanalys. - M .: Mir, 1977. - C. 82

Litteratur

Halmosh P. , Hilbert utrymme i problem / Per. från engelska. I. D. Novikov och T. V. Sokolovskaya; ed. R.A. Minlos. — M.: Mir, 1970. — 352 sid.
Moren K. Hilbert rymdmetoder. — M.: Mir, 1965. — 570 sid.

David Hilberts bidrag till vetenskapen
mellanslag	Hilbert utrymme Pre-Hilbert utrymme Gilbert tegel
axiomatik	Hilberts axiomatik
Satser	Hilberts sats 90 Hilberts grundsats Hilberts nollsats Hilbert-Schmidts sats
Operatörer	Hilbert förvandla Hilbert-Schmidt-operatör
Allmän relativitetsteori	Einstein-Hilberts ekvationer " Hilbert och gravitationsfältsekvationerna "
Övrig	Hilbert problem Hilbert kurva Hilbert matris Hilbert-Arnold problem Hilbertserien och Hilbertpolynomet Paradox "Grand Hotel"

Avledningar av den latinska bokstaven H, h
Brev	Ĥĥ H̭h̭ Ħħ Ƕƕ Ȟȟ Ḣḣ Ḥḥ Ḧḧ Ḩḩ Ḫḫ H̱ẖ Ⱨⱨ Ɥɥ ɥ̊ Ɦɦ ɧ Ꜧꜧ ʜ ʮ ʯ Ⱶⱶ Ꟶꟶ ꞕ Hh H̄h̄ H̓h̓ H̔h̔ ᵺ H̐h̐ H̤h̤ H̦h̦
Symboler	ℍ ℋ ℌ ℎ ℏ Ⓗⓗ ⒣