Utrymmet av kvadratsammanställbara sekvenser

Utrymmet av sekvenser som kan summeras kvadrater är ett metriskt utrymme , ett av de grundläggande utrymmena i sekvenser , består av oändliga sekvenser av tal för vilka serien: $x=\{x_{n}\}_{i=1}^{\infty }$

{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{2))

konvergerar och där avståndet mellan två punkter definieras som [1] : $\rho (x,y)$ $x,y$

{\displaystyle \rho (x,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{\infty }(x_{i}-y_{i})^{2))))

Standardnotationen är [1] . Det enda sekvensutrymmet som är Hilbertutrymme . $\ell ^{2}$ $\ell ^{p}$

Summan av element och multiplikation med ett reellt tal definieras komponentmässigt i analogi med det euklidiska rummet :

\{x_{i}\}_{i=1}^{\infty }+\{y_{i}\}_{i=1}^{\infty }=\{x_{i}+ y_{i}\}_{i=1}^{\infty }

, .

{\displaystyle \lambda \{x_{i}\}_{i=1}^{\infty }=\{\lambda x_{i}\}_{i=1}^{\infty ))

Skalär produkt:

(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}

Normen i ett sådant utrymme definieras som:

\left\|x\right\|={\sqrt {(x,x)))={\sqrt {\summa _{i=1}^{\infty }x_{i}^{2} }}

Exempel:

oändliga sekvenser av formen ingår i eftersom serien konvergerar; $x=(1,{\frac {1}{2)),{\frac {1}{3)),\dots ,{\frac {1}{n)),\dots )$ $\ell ^{2}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2))))$
Fourier-seriens koefficienter är sådana att , vilket följer av Bessels ojämlikhet . $f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)$ $({\frac {a_{0}}{2}},a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\dots ,a_{n},b_{n} ,\dots )\in \ell ^{2}$

Varje euklidiskt rum är ett delrum till rummet , vilket följer av möjligheten att representera dess punkter i formen . $\mathbb {R} ^{n}$ $\ell ^{2}$ $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},0,0,\dots )$

Kvantmekaniken utvecklades ursprungligen i form av två likvärdiga teorier: Heisenbergs matrismekanik , med användning av rymden , och Schrödingers vågmekanik , med användning av Hilbert-rymden som är isomorfisk till den [2] . $\ell ^{2}$ $L^{2}$

Utrymmet kallas ibland koordinaten Hilbertrum [1] . $\ell ^{2}$

Se även

Utrymme av avgränsade sekvenser

Anteckningar

↑ 1 2 3 Sobolev V. I. Föreläsningar om ytterligare kapitel i matematisk analys. - M., Nauka , 1968. - sid. 32
↑ A. N. Kolmogorov , S. V. Fomin . Element i funktionsteori och funktionsanalys. - M. : MGU, 1960. - T. II. Mått, Lebesgue-integral, Hilbert-rymd. - S. 94-96.

Litteratur

Vulikh BZ Introduktion till funktionsanalys. - M. : Fizmatlit, 1958. - 352 sid. - 7500 exemplar.
Hilbert utrymme _