Bessels ojämlikhet

I matematik är Bessels ojämlikhet ett uttalande om koefficienterna för ett element i ett Hilbert-rum med avseende på en ortonormal sekvens. $x$

Formulering

Låta vara ett Hilbert-utrymme, och vara en ortonormal sekvens av element . Sedan, för en godtycklig , är ojämlikheten [1] uppfylld : $H$ $e_1, e_2, ...$ $H$ $x\i H$

\sum_{k=1}^{\infty}\left\vert\left\langle x,e_k\right\rangle \right\vert^2 \le \left\Vert x\right\Vert^2

där betecknar den skalära produkten i rymden . $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $H$

Bessels ojämlikhet följer av följande jämlikhet:

0 \le \left\| x - \sum_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle e_k\right\|^2 = \|x\|^2 - 2 \sum_{k=1}^n |\langle x, e_k \rangle |^2 + \sum_{k=1}^n | \langle x, e_k \rangle |^2 = \|x\|^2 - \sum_{k=1}^n | \langle x, e_k \rangle |^2,

som gäller för en godtycklig . $n\geq 1$

Se även

Parsevals jämlikhet

Länkar

Bessels Inequality Arkiverad 29 juni 2011 på Wayback Machine - artikeln på MathWorlds webbplats.
P.P. Vagin, B.A. Ostudin, G.A. Shinkarenko Fundamentals of functional analysis (föreläsningskurs). - Lviv : Vidavnichesky centrum av LNU uppkallad efter Ivan Franko, 2005. - S. 109. - 140 sid. - ISBN UDC 517.98 (042.4) (otillgänglig länk)

Anteckningar

↑ Ilyin, Poznyak, 2002 , sats 10.4, sid. 318.

Litteratur

Ilyin V. A. , Poznyak E. G. Grunderna för matematisk analys: Om 2 timmar. Del II. - 4:a. — M .: FIZMATLIT , 2002. — 464 sid. — ISBN 5-9221-0131-5 .