Hilbertserien och Hilbertpolynomet

Hilbert-funktionen , Hilbert -serien och Hilbert-polynomet för en graderad kommutativ algebra ändligt genererad över ett fält är tre närbesläktade begrepp som gör att man kan mäta tillväxten i dimensionen av de homogena komponenterna i en algebra.

Dessa begrepp har utvidgats till filtrerade algebror och graderade eller filtrerade moduler över dessa algebror, såväl som till koherenta skivor över projektiva scheman.

Dessa termer används ofta i följande situationer:

Faktor för en polynomring med avseende på ett homogent ideal , graderat med full effekt.
Faktor för en polynomring av ett ideal, filtrerad med full effekt.
Filtrera en lokal ring efter grader av dess maximala ideal .

Hilbertpolynomet och Hilbertserien spelar en viktig roll i beräknings algebraisk geometri , eftersom de ger det enklaste kända sättet att beräkna dimensionen och graden av en algebraisk variation givet explicita polynomekvationer.

Definitioner och grundläggande egenskaper

Betrakta en ändligt genererad graderad kommutativ algebra S över ett fält K , som är ett ändligt genererat element av positiv grad. Det betyder att

S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}\

och vad . $S_{0}=K$

Hilbert funktion

{\displaystyle HF_{S}\;:\;n\mapsto \dim _{K}\,S_{n))

tar heltal n till dimensionen av vektorrummet S n över fältet K . Hilbert-serien , som kallas Hilbert-Poincaré-serien i den mer allmänna situationen med graderade vektorrum, är den formella serien

HS_{S}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }HF_{S}(n)\,t^{n}.

Om S genereras av h homogena element med positiva grader så är summan av Hilbertserien en rationell funktion ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{h))$

HS_{S}(t)={\frac {Q(t)}{\prod _{i=1}^{h}(1-t^{d_{i))))}}\, ,

där Q är ett polynom med heltalskoefficienter.

Om S genereras av element av grad 1, kan summan av Hilbert-serien skrivas om som

HS_{S}(t)={\frac {P(t)}{(1-t)^{\delta }}}\,,

där P är ett polynom med heltalskoefficienter och är Krulldimensionen av S . $\delta$

I detta fall har serieexpansionen av denna rationella funktion formen

HS_{S}(t)=P(t)\,\left(1+\delta \,t+\cdots +{\binom {n+\delta -1}{\delta -1))\,t ^{n}+\cdots\right)

där binomialkoefficienten är lika med at och noll annars. ${\binom {n+\delta -1}{\delta -1))$ $\;{\frac {(n+\delta -1)(n+\delta -2)\cdots (n+1)}{(\delta -1)!}}\;$ $n>-\delta$

Om då koefficienten vid in är $\textstyle P(t)=\summa _{i=0}^{d}a_{i}t^{i},$ $t^{n}$ $HS_{S}(t)$

HF_{S}(n)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}{\binom {n-i+\delta -1}{\delta -1))\,.

Termen med index i i denna summa är nämligen ett polynom i grad n med ledande koefficient Detta visar att det finns ett enda polynom med rationella koefficienter som är lika för tillräckligt stort n . Detta polynom kallas Hilbert-polynomet och har formen $n\geq i-\delta +1$ $\delta -1$ $a_{i}/(\delta -1)!.$ $HP_{S}(n)$ $HF_{S}(n)$

HP_{S}(n)={\frac {P(1)}{(\delta -1)!}}\,n^{\delta -1}+{}{\text{terms of lower grad i }}n.

Hilbertpolynomet är ett integralpolynom eftersom dimensionerna är heltal, men det har nästan aldrig heltalskoefficienter.

Alla dessa definitioner kan utökas till ändligt genererade graderade moduler över S .

Hilbert-funktionen , Hilbert -serien och den filtrerade algebran Hilbert-polynomet beräknas för den associerade graderade algebra.

Hilbertpolynomet av en projektiv variant V i P n definieras som Hilbertpolynomet för den homogena koordinatringen V .

Graderade algebror och polynomringar

Polynomringar och deras faktorer med avseende på homogena ideal är typiska graderade algebror. Omvänt, om S är en graderad algebra över ett fält K genererat av n homogena element g 1 , ..., g n av grad 1, så definierar mappningen som mappar Xi till gi en graderad ringhomomorfism från till S . Dess kärna är ett homogent ideal I , och detta definierar en isomorfism av graderade algebror mellan och S. $R_{n}=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ $R_{n}/I$

Graderade algebror som genereras av homogena element av grad 1 är alltså exakt faktorerna för polynomringar med avseende på homogena ideal (upp till isomorfism). Därför kommer vi i följande avsnitt av den här artikeln att överväga faktorer för polynomringar med avseende på ideal.

Egenskaper för Hilbert-serien

Additivitet

Hilbert-serien och Hilbert-polynomet är additiv i exakta sekvenser . Mer exakt, om

0\;\högerpil \;A\;\högerpil \;B\;\högerpil \;C\;\högerpil \;0

är en exakt sekvens av graderade eller filtrerade moduler, då har vi

HS_{B}=HS_{A}+HS_{C}

och

HP_{B}=HP_{A}+HP_{C}.

Detta följer omedelbart av en liknande egenskap för dimensionerna av vektorrum.

Faktorer över ett element som inte är en nolldelare

Låt A vara en graderad algebra och f vara ett homogent element av A av grad d som inte är en nolldelare . Då har vi

HS_{A/(f)}(t)=(1-t^{d})\,HS_{A}(t)\,.

Detta följer av additiviteten för den exakta sekvensen

0\;\högerpil \;A^{[d]}\;{\xhögerpil {f))\;A\;\högerpil \;A/f\högerpil \;0\,,

där f -pilen är multiplikation med f , och är den graderade modulen som erhålls från A genom att skifta potenser med d så att multiplikation med f har graden 0. I synnerhet, $A^{[d]}$ $HS_{A^{[d]}}(t)=t^{d}\,HS_{A}(t)\,.$

Hilbert-serien och Hilbert-polynomet i ringen av polynom

Hilbert-serien av ringen av polynom i variabler är $R_{n}=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ $n$

HS_{R_{n}}(t)={\frac {1}{(1-t)^{n}}}\,.

Av detta följer att Hilbertpolynomet är lika med

HP_{R_{n}}(k)={{k+n-1} \choose {n-1}}={\frac {(k+1)\cdots (k+n-1)} {(n-1)!}}\,.

Beviset för att Hilbert-serien har denna form erhålls genom induktion genom att tillämpa den tidigare formeln för faktorn över ett element som inte är en nolldelare (i vårt fall, över ) och från det faktum att $x_{n}$ $HS_{K}(t)=1\,.$

Typ av Hilbert-serien och dimension

En graderad algebra A genererad av homogena element av grad 1 har Krull dimension 0 när det maximala homogena idealet, det vill säga idealet som genereras av homogena element av grad 1, är nilpotent . Det följer att dimensionen av A som ett vektorrum över K är ändlig och att Hilbert-serien A är ett polynom P ( t ) så att P (1) är lika med dimensionen av A som ett vektorrum över K .

Om Krull-dimensionen för A är positiv, så finns det ett homogent element f av grad 1 som inte är en nolldelare (i själva verket är nästan alla element i grad 1 det). Krulldimensionen för A / (f) är lika med Krulldimensionen för A minus ett.

Av additiviteten i Hilbert-serien följer att . Genom att iterera denna dimension A gånger får vi en algebra med dimension 0 vars Hilbert-serie är ett polynom P ( t ) . Detta visar att Hilbert-serien A är $HS_{A/(f)}(t)=(1-t)\,HS_{A}(t)$

{\displaystyle HS_{A}(t)={\frac {P(t)}{(1-t)^{d))))

där polynomet P ( t ) är sådant att P (1) ≠ 0 och d är Krull-dimensionen för algebra A .

Av denna formel för Hilbert-serien följer att graden av Hilbert-polynomet är d och dess ledande koefficient är . ${\frac {P(1)}{d!}}$

Grad av projektiv variation och Bézouts sats

Hilbert-serien låter dig beräkna graden av en algebraisk variant som värdet i 1 i täljaren för Hilbert-serien. Detta ger också ett enkelt bevis för Bezouts teorem.

Betrakta en projektiv algebraisk mängd V med dimension större än noll, definierad som mängden nollor i det homogena idealet , där k är ett fält, och låt . Om f är ett homogent polynom av grad som inte är en nolldelare i R , den exakta sekvensen $I\subset k[x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}]$ $R=k[x_{0},\ldots ,x_{n}]/I$ $\delta$

0\;\högerpil \;R^{[\delta ]}\;{\xhögerpil {f))\;R\;\högerpil \;R/\langle f\rangle \;\högerpil \;0 ,

visar att

HS_{R/\langle f\rangle }(t)=(1-t^{\delta })HS_{R}(t).

Med tanke på täljarna får vi beviset på följande generalisering av Bezouts teorem:

Om f är ett homogent polynom av grad som inte är en nolldelare i R , då skärningsgraden av V med hyperytan definierad av f är lika med produkten av graden av V med . $\delta$ $\delta$

Mer geometriskt kan detta omformuleras enligt följande: om en projektiv hyperyta av grad d inte innehåller några irreducerbara komponenter av en algebraisk uppsättning av grad δ , då är graden av deras skärningspunkt dδ .

Den vanliga Bézout-satsen kan lätt härledas från detta påstående om man börjar med en hyperyta och successivt skär den med n - 1 andra hyperytor.

Litteratur

Eisenbud, David . Kommutativ algebra. Med sikte på algebraisk geometri, Graduate Texts in Mathematics, 150, New York: Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8 .
Schenck, Hal . Computational Algebraic Geometry, Cambridge: Cambridge University Press, 2003, ISBN 978-0-521-53650-9 .
Stanley, Richard . "Hilbertfunktioner av graderade algebras", Advances in Math., 28(1), s. 57–83, 1978.