Hilberts grundsats är en av huvudsatserna om Noether-ringar :
Om R är en Noetherian ring , då är polynomringen R [ x ] också Noetherian.Låt F vara ett ideal i R [ x ] (här kommer vi att anta att R är kommutativ, för icke-kommutativa ringar bevaras hela beviset, det är bara nödvändigt att anta att alla ideal är kvar ), och p är mängden av ledande koefficienter för polynom som hör till detta ideal. Låt oss bevisa att p är ett ideal.
Om a och b är element i p , så är a och b de ledande koefficienterna för vissa polynom i F - f ( x ) = ax n + ... och g ( x ) = bx m + ... Om, till exempel, m ⩾ n , då är a + b den ledande koefficienten för polynomet x m - n f ( x ) + g ( x ) som hör till F . Om a är den ledande koefficienten för f ( x ) så är ar den ledande koefficienten för rf ( x ) från det ideala F för något element i ringen r . Således är p ett ideal, och eftersom R är en noeterisk ring, genereras p ändligt av vissa element a 1 , a 2 … a n , som är respektive de ledande koefficienterna för polynomen f 1 , f 2 … f n från F . Låt den största graden av dessa polynom vara r . Vi kan anta att graden av vart och ett av dessa polynom är lika med r (om det är lika med m ⩽ r , då kan vi göra det så genom att multiplicera med x r - m ).
På liknande sätt är det bevisat att p k — uppsättningen av ledande koefficienter för polynom i F vars grad är lika med k , kombinerat med ringens nollpunkt — är ett ideal, och, på grund av den Noetherian egenskapen, verkligen genereras av element a k 1 , a k 2 … . Låt dem vara de ledande koefficienterna för polynomen f k 1 , f k 2 … av graden k från det ideala F .
Låt oss bevisa att polynomen f 1 , …, fi , …, f 1 1 , …, f 1 i , …, f r -1 1 , … , f r-1 i … genererar det ideala F . Låt f ( x ) = ax s + ... vara något polynom av det ideala F , då hör a till p . Om dess grad är s ⩾ r , så eftersom a av vad som har bevisats är en linjär kombination a = r 1 a 1 + r 2 a 2 + … r n a n av de ledande termerna för polynomen f 1 , f 2 … f n av grad r , då får vi så att f ( x ) − r 1 x s − r f 1 − r 2 x s-r f 2 − … − r n x s − r f n är ett polynom med grad mindre än s och även tillhörande det ideala F . Genom att upprepa denna operation flera gånger om det behövs, kan man komma fram till ett polynom med graden ⩽ r .
För ett polynom med graden ⩽ r tillämpas samma procedur, men med användning av polynom f k 1 , f k 2 … vars ledande koefficienter genererar den ideala p k . Vidare upprepas proceduren tills vi kommer fram till nollpolynomet.
Genom att successivt tillämpa satsen kan vi bevisa att ringen av polynom i n variabler R [ x 1 , …, x n ] är Noetherian.
Ringen R [ u 1 , …, u n ] , ändligt genererad över en Noeterisk ring R , är också Noeterisk (som kvotringen för polynomringen R [ x 1 , …, x m ] ).
| David Hilberts bidrag till vetenskapen | |
|---|---|
| mellanslag | |
| axiomatik | Hilberts axiomatik |
| Satser | |
| Operatörer | |
| Allmän relativitetsteori | |
| Övrig | |