Pre-Hilbert utrymme

Pre-Hilbert utrymme (vissa författare har också euklidiskt utrymme ) är ett verkligt eller komplext linjärt utrymme med en skalär produkt definierad på den . Det är inte nödvändigtvis komplett , till skillnad från ett Hilbert-utrymme . Används i stor utsträckning inom funktionsanalys och relaterade discipliner.

Definition

Ett par kallas ett pre-Hilbert-utrymme om är ett linjärt utrymme och definieras av den skalära produkten. (Vanligtvis betyder det den inre produkten i vanlig mening, det vill säga positiv bestämd.) $\left(X,\langle\cdot , \cdot\rangle\höger)$ $X$ $\langle\cdot , \cdot\rangle$ $X$

Norma

Pre-Hilbert-utrymmet kan betraktas som normaliserat , eftersom den inre produkten genererar en naturlig norm :

\| x \| = \sqrt{\langle x, x \rangle},\quad x \in X

I de fall den skalära produkten inte är strikt positiv bestämd, nämligen den är vald så att den kan vara noll för icke-noll (vilket kan vara svårt att undvika i vissa oändligt dimensionella fall), så ger uttrycket ovan ingen norm, men bara en seminorm . $x$

Egenskaper

Von Neumann-Yordmann teorem : om parallellogramlagen är giltig i ett semi-normerat utrymme , så är det pre-Hilbert, det vill säga det finns (och dessutom den enda) skalära produkten sådan att . $(H,\;\|\cdot\|)$ $(H,\;\|\cdot\|)$ $(\cdot ,\cdot )$ $\|x\|=(x,x)^{1/2}$

Exempel

I teorin om Fourier-serien används pre-Hilbert-rummet av verkliga funktioner med en integrerbar kvadrat i stor utsträckning

L^2([a,b]) = \vänster\{f\kolon[a,b] \till \R\,\vänster|\,\int\limits_a^b\!f^2(x)\, dx < \infty\right.\right\},

om prickprodukten definieras som

\langle f, g\rangle = \int\limits_{a}^{b}\!f(x) g(x)\,dx,\quad f,g \in L^2\big([a,b) ]\stor).

Den skalära produkten som introduceras på detta sätt ger inte en norm, utan endast en seminorm, såvida vi inte identifierar funktioner som endast skiljer sig åt på en uppsättning av måttet noll (som görs i standardkonstruktionen av utrymmet L 2 ).

Se även

Euklidiskt utrymme

David Hilberts bidrag till vetenskapen
mellanslag	Hilbert utrymme Pre-Hilbert utrymme Gilbert tegel
axiomatik	Hilberts axiomatik
Satser	Hilberts sats 90 Hilberts grundsats Hilberts nollsats Hilbert-Schmidts sats
Operatörer	Hilbert förvandla Hilbert-Schmidt-operatör
Allmän relativitetsteori	Einstein-Hilberts ekvationer " Hilbert och gravitationsfältsekvationerna "
Övrig	Hilbert problem Hilbert kurva Hilbert matris Hilbert-Arnold problem Hilbertserien och Hilbertpolynomet Paradox "Grand Hotel"