Hilbert matris

I linjär algebra är Hilbert-matrisen (introducerad av David Hilbert 1894 ) en kvadratisk matris H med poster:

H_{ij}={\frac {1}{i+j-1)),i,j=1,2,3,...,n

Till exempel är en 5×5 Hilbert-matris:

H={\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5 }}\\[4pt]{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}} &{\frac {1}{6}}\\[4pt]{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{ \frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\[4pt]{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\[4pt]{\frac {1}{5}}&{\frac {1 }{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}.

Hilbert-matrisen kan ses erhållen från integraler:

H_{{ij}}=\int _{{0}}^{{1}}x^{{i+j-2}}\,dx,

det vill säga som på grammatrisen för potenserna x . Det uppstår när man approximerar funktioner med polynom med minsta kvadratmetoden .

Hilbertmatriser är ett standardexempel på dåligt konditionerade matriser, vilket gör dem svåra att beräkna med beräkningsmässigt instabila metoder. Till exempel är villkorstalet i förhållande till -normen för ovanstående matris 4,8 · 10 5 . $\left\|\cdot \right\|_{2}$

Historik

Hilbert (1894) introducerade Hilbert-matrisen medan han studerade följande fråga: ”Antag att I = [ a , b ] är ett verkligt intervall. Är det då möjligt att hitta ett icke-noll polynom P med heltalskoefficienter så att integralen

\int _{a}^{b}P(x)^{2}\,dx

skulle vara mindre än ett givet tal ε > 0?" För att svara på denna fråga härledde Hilbert en exakt formel för determinanten för Hilbert-matriser och studerade deras asymptotik. Han kom fram till att svaret är positivt om längden på intervallet b − a < 4 .

Egenskaper

Hilbert-matrisen är en symmetrisk positiv bestämd matris. Dessutom är Hilbert-matrisen en helt positiv matris.

Hilbert-matrisen är ett exempel på en Hankel-matris .

Hilbert-matrisdeterminanten kan uttryckas explicit, som ett specialfall av Cauchy-determinanten . Determinanten för en n × n Hilbert-matris är

\det(H)={{c_{n}^{{\;4}}} \över {c_{{2n}}}},

var

c_{n}=\prod _{i=1}^{n-1}i^{ni}=\prod _{i=1}^{n-1}i!.

Redan Hilbert märkte det märkliga faktum att determinanten för Hilbert-matrisen är den reciproka av ett heltal (se sekvens A005249 i OEIS ). Det följer av jämlikheten

{1 \over \det(H)}={{c_{{2n}}} \over {c_{n}^{{\;4}}}}=n!\cdot \prod _{{i=1 }}^{{2n-1}}{i \välj [i/2]}.

Med hjälp av Stirling-formeln kan vi fastställa följande asymptotiska resultat:

\det(H)\approx a_{n}\,n^{{-1/4}}(2\pi )^{n}\,4^{{-n^{2}}}

där ett n konvergerar till en konstant vid , där A är Glaisher-Kinkelin-konstanten . $e^{{1/4}}2^{{1/12}}A^{{-3}}\approx 0,6450$ $n\högerpil\infty$

Matrisen invers till Hilbert-matrisen kan uttryckas uttryckligen i termer av binomialkoefficienter :

(H^{{-1}})_{{ij}}=(-1)^{{i+j}}(i+j-1){n+i-1 \choose nj}{n+j -1 \choose ni}{i+j-2 \choose i-1}^{2}

där n är ordningen på matrisen. Således är elementen i den inversa matrisen heltal. $H^{{-1}}$

Villkorsnumret för en n × n Hilbert-matris ökar med . $O((1+{\sqrt {2}})^{{4n}}/{\sqrt {n}})$

Se även

David Hilberts bidrag till vetenskapen
mellanrum	Hilbert utrymme Pre-Hilbert utrymme Gilbert tegel
axiomatik	Hilberts axiomatik
Satser	Hilberts sats 90 Hilberts grundsats Hilberts nollsats Hilbert-Schmidts sats
Operatörer	Hilbert förvandla Hilbert-Schmidt-operatör
Allmän relativitetsteori	Einstein-Hilberts ekvationer " Hilbert och gravitationsfältsekvationerna "
Övrig	Hilbert problem Hilbert kurva Hilbert matris Hilbert-Arnold problem Hilbertserien och Hilbertpolynomet Paradox "Grand Hotel"

Länkar

Hilbert, David (1894), Ein Beitrag zur Theorie des Legendre'schen Polynoms , Acta Mathematica (Springer Netherlands) . — T. 18: 155–159, ISSN 0001-5962 , DOI 10.1007/BF02418278 . Omtryckt i Hilbert, David. artikel 21 // Samlade papper (neopr.) . - T. II.
Beckermann, Bernard. Villkorsnumret för riktiga Vandermonde-, Krylov- och positiva bestämda Hankel-matriser // Numerische Mathematik : journal. - 2000. - Vol. 85 , nr. 4 . - s. 553-577 . - doi : 10.1007/PL00005392 .
Choi, M.-D. Tricks or Treats with the Hilbert Matrix // American Mathematical Monthly : journal . - 1983. - Vol. 90 , nej. 5 . - s. 301-312 . - doi : 10.2307/2975779 . — .
Todd, John. Tillståndsnumret för det finita segmentet av Hilbert-matrisen // National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series: tidskrift. - 1954. - Vol. 39 . - S. 109-116 .
Wilf, H.S. Finita sektioner av några klassiska ojämlikheter . - Heidelberg: Springer, 1970. - ISBN 3-540-04809-X .