Glaciär-Kinkelin konstant

Glaisher -Kinkelin-konstanten i matematik är ett reellt tal , betecknat A , som är associerat med K-funktionen och Barnes G-funktionen , och kan också uttryckas i termer av värdet av derivatan av Riemann zeta-funktionen , $\zeta '(-1)$

A=\exp \left({\tfrac {1}{12}}-\zeta '(-1)\right)

Denna konstant visas i olika summor och integraler, särskilt de som involverar gammafunktionen eller Riemann zetafunktionen .

Det numeriska värdet av Glaisher-Kinkelin-konstanten uttrycks som en oändlig decimalbråkdel [1] [2] :

A = 1,282427129100622636875342568869791727767688927 … (sekvens A074962 i OEIS )

Den fick sitt namn efter den engelske matematikern James Whitbread Lee Glaisher ( 1848-1928) och den schweiziska matematikern Hermann Kinkelin ( 1832-1913 ), som ansåg det i sina verk [3] [4] .

Representationer via K-funktionen och Barnes G-funktionen

För positiva heltalsvärden av argumentet kan K-funktionen representeras som

{\displaystyle K(n)=\prod _{k=1}^{n-1}k^{k))

Det är relaterat till Barnes G-funktion , som, för positiva heltalsvärden av argumentet, kan representeras som

G(n)=\prod _{k=1}^{n-2}k!={\frac {\left[\Gamma (n)\right]^{n-1}}{K( n)}}

var är gammafunktionen , . $\Gamma (n)$ $\Gamma (n)=(n-1)!$

Glaisher-Kinkelin-konstanten A kan definieras som gränsen [5]

A=\lim _{n\högerpil \infty }{\frac {K(n+1)}{n^{n^{2}/2+n/2+1/12}e^{- n^{2}/4}}}

eller, respektive,

A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {(2\pi )^{n/2}n^{n^{2}/2-1/12}e^{-3n ^{2}/4+1/12}}{G(n+1)}}

Det är också känt att [6]

G\left({\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1/24}\pi ^{-1/4}e^{1/8}A^{-3/ 2}

Relation till Riemann zeta-funktionen

Glaischer-Kinkelin-konstanten A är relaterad till derivatan av Riemann zeta-funktionen för vissa heltalsvärden i argumentet [5] [7] , i synnerhet,

\zeta ^{\prime }(-1)={\tfrac {1}{12}}-\ln A

\zeta ^{\prime }(2)=-\summa _{k=2}^{\infty }{\frac {\ln k}{k^{2))}={\frac {\ pi ^{2}}{6}}\vänster[\gamma +\ln(2\pi )-12\ln A\höger]

var är Euler-Mascheroni-konstanten . $\gamma$

Några integraler och summor

Glaischer-Kinkelin-konstanten förekommer i vissa bestämda integraler och oändliga summor [5] ,

\int _{0}^{1/2}\ln \Gamma (x)\;{\rm {d}}x={\tfrac {3}{2}}\ln {A}+{ \tfrac {5}{24}}\ln {2}+{\tfrac {1}{4}}\ln {\pi }

\int _{0}^{\infty }{\frac {x\ln x}{e^{2\pi x}-1}}\;{\rm {d}}x={\tfrac {1}{2}}\zeta ^{\prime }(-1)={\tfrac {1}{24}}-{\tfrac {1}{2}}\ln {A}

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\ln(2k+1)}{(2k+1)^{2))}=\pi ^{2}\left( {\tfrac {3}{2}}\ln {A}-{\tfrac {1}{6}}\ln {2}-{\tfrac {1}{8}}\ln {\pi }-{ \tfrac {1}{8}}\gamma \right)

Denna konstant kan också representeras som en summa [8] [9] , vilket följer av representationen för Riemann zeta-funktionen erhållen av Helmut Hasse ,

\ln {A}={\tfrac {1}{8}}-{\tfrac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{ n+1}}\summa _{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}\left(k+1\right)^{ 2}\ln(k+1)

var är binomialkoefficienten . ${\displaystyle {\textstyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(nk)!))))$

Anteckningar

↑ Fredrik Johansson m.fl. 20 000 siffror av Glaisher-Kinkelin-konstanten A = exp(1/12 - zeta'(-1)) (engelska) (HTML) (nedlänk) . mpmath.googlecode.com. Hämtad 11 september 2012. Arkiverad från originalet 31 oktober 2012.
↑ A074962 - Decimal expansion av Glaisher-Kinkelin konstant A (engelska) (HTML). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS), oeis.org. Hämtad 11 september 2012. Arkiverad från originalet 31 oktober 2012.
↑ Hermann Kinkelin , Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung Arkiverad 16 januari 2016 på Wayback Machine , Journal für die reine und angewandte Mathematik 57, 1860, s. 122–138
↑ JWL Glaisher , On the Product 1¹.2².3³...nⁿ , The Messenger of Mathematics 7, 1878, sid. 43–47
↑ 1 2 3 Eric W. Weisstein. Glaisher–Kinkelin Constant (engelska) på Wolfram MathWorld -webbplatsen .
↑ J. Choi och HM Srivastava. Vissa klasser av serier som involverar Zeta-funktionen // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 1999. - Vol. 231 . - S. 91-117. - doi : 10.1006/jmaa.1998.6216 .
↑ Weisstein, Eric W. Riemann Zeta-funktion på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Jesus Guillera och Jonathan Sondow (2005), Dubbla integraler och oändliga produkter för några klassiska konstanter via analytiska fortsättningar av Lerchs transcendenta, arΧiv : math.NT/0506319 .
↑ Jesus Guillera och Jonathan Sondow. Dubbla integraler och oändliga produkter för vissa klassiska konstanter via analytiska fortsättningar av Lerchs transcendenta // Ramanujan Journal [ . - 2008. - Vol. 16 . - S. 247-270. - doi : 10.1007/s11139-007-9102-0 .

Länkar

Eric W. Weisstein. Glaisher–Kinkelin Constant (engelska) på Wolfram MathWorld -webbplatsen .
Eric W. Weisstein. Riemann Zeta Function (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .