K-funktion
Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 2 november 2019; verifiering kräver 1 redigering .K-funktionen , vanligtvis betecknad , är en generalisering av hyperfaktorialen för komplexa tal , liknande hur Gamma-funktionen är en generalisering för faktorialen .
Formellt definieras K-funktionen som
![K(z)=(2\pi )^{{(-z-1)/2}}\exp \left[{\begin{pmatrix}z\\2\end{pmatrix}}+\int _{0 }^{{z-1}}\ln(t!)\,dt\right].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4302d3c378d5cd4a16bbb2839841c5c81cbd5ac)
Också definierad i sluten form:
![K(z)=\exp \left[\zeta ^{\prime }(-1,z)-\zeta ^{\prime }(-1)\right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82fbdf9734f7e2a7e05c26bd0bf87f4423791115)
där ζ'( z ) är derivatan av Riemann zeta-funktionen , ζ( a , z ) är Hurwitz zeta-funktionen, och
![\zeta ^{\prime }(a,z)\ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ \left[{\frac {d\zeta (s,z)}{ds}} \right]_{{s=a}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff76d2f022a344cc7f5707de8ec29ecde8b1ded9)
K-funktionen är relaterad till Gamma-funktionen och till Barnes G-funktion ; för heltal n kan man skriva:
Också
För positiva argument, tar minimivärdet vid punkten
