Hilberts nollsats

Hilberts nollsats ( Hilberts rotsats , på många språk, även ibland på ryska, använder ofta det ursprungliga tyska namnet Nullstellensatz , som översätts som "nollsats") är en sats som etablerar ett grundläggande samband mellan geometri och algebra . Användningen av detta förhållande är grunden för algebraisk geometri .

Denna sats kopplar samman begreppet en algebraisk mängd med begreppet ideal i en polynomring över ett algebraiskt slutet fält . Först bevisad av David Hilbert ( Math. Ann. 1893, Bd 42, S. 313-373) och uppkallad efter honom.

Formulering

Låta vara ett godtyckligt fält (till exempel fältet för rationella tal ), vara en algebraiskt sluten förlängning av detta fält (till exempel fältet för komplexa tal ). Tänk på en polynomring i variabler med koefficienter i fältet , låt vara ett ideal i denna ring. Den algebraiska uppsättningen som definieras av detta ideal består av alla punkter så att för någon . Hilberts nollsats säger att om något polynom försvinner på mängden , det vill säga om för alla , så finns det ett naturligt tal så att . $k$ $K$ $K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ $n$ $K$ $jag$ ${\hbox{V}}(I)$ $x=(x_{1},\dots,x_{n})\i K^{n}$ $f(x)=0$ $f\in I$ $p\in k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ ${\hbox{V}}(I)$ $p(x)=0$ $x\in V(I)$ $r$ $p^{r}\i I$

En omedelbar konsekvens är följande "svaga form av Hilberts nollsats": om det är ett riktigt ideal i ringen , kan det inte vara en tom mängd , det vill säga det finns en gemensam nolla för alla polynom i det givna idealet (faktiskt, annars har polynomet rötter överallt på , därför hör dess grad till ). Denna omständighet gav satsen dess namn. Det allmänna fallet kan härledas från den "svaga formen" med det så kallade Rabinowitz-tricket . Antagandet att fältet är algebraiskt stängt är väsentligt: elementen i ett riktigt ideal i har inte en gemensam nolla. $jag$ $K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ ${\hbox{V}}(I)$ $p(x)=1$ ${\hbox{V}}(I)$ $jag$ $K$ $(x^{2}+1)$ ${\mathbb R}[x]$

Med hjälp av standardterminologin för kommutativ algebra kan Hilberts nollsats anges på följande sätt: för varje ideal , formeln $J$

{\hbox{I}}({\hbox{V}}(J))={\sqrt {J}}

där är idealets radikal , och är idealet som består av alla polynom lika med noll i mängden . ${\sqrt {J}}$ $J$ ${\hbox{I}}(U)$ $U$

Det följer av detta att operationerna och definierar en bijektiv ordningsomkastande överensstämmelse mellan algebraiska mängder i och radikala ideal i . ${\hbox{I}}$ ${\hbox{V}}$ $K^n$ $K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$

Projektiv version av Nullstellensatz

Det finns också en överensstämmelse mellan homogena ideal i en polynomring och algebraiska mängder i ett projektivt utrymme , kallat det projektiva Nullstellensatz . Låt , vara mängden homogena polynom av grad . Sedan $R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ $R_{d}$ $d$

R_{+}=\bigoplus _{{d\geq 1}}R_{d}

kallas det maximala homogena idealet . Som i det affina fallet introducerar vi notationen: för en delmängd och ett homogent ideal, låt $S\subseteq {\mathbb {P}}^{n}$ $jag$

{\begin{aligned}\operatörsnamn {I}_{{{\mathbb {P}}^{n}}}(S)&=\{f\in R_{+}|f(x)=0\; \forall x\in S\},\\\operatörsnamn {V}_{({\mathbb {P}}^{n}}}(I)&=\{x\in {\mathbb {P}}^ {n}|f(x)=0\;\forall f\in I\}.\end{aligned}}

Kom ihåg att det inte är en funktion på ett projektivt utrymme, men det följer av homogeniteten hos detta polynom att uppsättningen punkter med homogena koordinater , där , är väldefinierad. Nu, för ett godtyckligt homogent ideal, $f$ $x$ $f(x)=0$ $I\in R_{+}$

{\sqrt {I}}=\operatörsnamn {I}_{{{\mathbb {P}}^{n}}}(\operatörsnamn {V}_{({\mathbb {P}}^{n}} }(I)).

Litteratur

Atiyah M. , McDonald I. Introduktion till kommutativ algebra. - M: Mir, 1972
Van der Waerden B. L. Algebra. — M.: Nauka, 1976.
Prasolov VV polynom. - M.: MTSNMO , 1999. ISBN 5-900916-32-4 .
Hartshorne R. Algebraisk geometri. — M.: Mir, 1970
Leng S. Algebra. — M.: Mir, 1968

Se även

David Hilberts bidrag till vetenskapen
mellanslag	Hilbert utrymme Pre-Hilbert utrymme Gilbert tegel
axiomatik	Hilberts axiomatik
Satser	Hilberts sats 90 Hilberts grundsats Hilberts nollsats Hilbert-Schmidts sats
Operatörer	Hilbert förvandla Hilbert-Schmidt-operatör
Allmän relativitetsteori	Einstein-Hilberts ekvationer " Hilbert och gravitationsfältsekvationerna "
Övrig	Hilbert problem Hilbert kurva Hilbert matris Hilbert-Arnold problem Hilbertserien och Hilbertpolynomet Paradox "Grand Hotel"