Polynomrot

Roten till ett polynom (inte identiskt noll )

a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}

över ett fält är ett element (eller ett element i fälttillägget ) så att följande två ekvivalenta villkor är uppfyllda: $K$ $c\in K$ $K$

det givna polynomet är delbart med polynomet ; $xc$
att ersätta ett element med inverterar ekvationen $c$ $x$

a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}=0

till identitet , det vill säga värdet på polynomet blir noll.

Motsvarigheten mellan de två formuleringarna följer av Bézouts sats . I olika källor är endera av de två formuleringarna vald som definition, medan den andra härleds som en sats.

En rot sägs ha multiplicitet om polynomet i fråga är delbart med och inte delbart med . Till exempel har polynomet en enda rot lika med multiplicitet . Uttrycket "multipelrot" betyder att rotens multiplicitet är större än en. $c$ $m$ $(xc)^{m}$ $(xc)^{{m+1}}.$ $x^{2}-2x+1$ $ett$ $2$

Ett polynom sägs ha rötter utan hänsyn till multiplicitet om var och en av dess rötter beaktas när man räknar en gång. Om varje rot räknas ett antal gånger lika med dess multiplicitet, säger de att beräkningen utförs med hänsyn till multipliciteten . $n$

Egenskaper

Antalet rötter i ett polynom med multiplicitet är inte mindre än utan multiplicitet.
Antalet rötter i ett gradpolynom överstiger inte även om multipelrötterna räknas med hänsyn till multipliciteten. $n$ $n$
Varje polynom med komplexa koefficienter har minst en komplex rot ( Fundamental Theorem of Algebra ). $p(x)$
- Ett liknande uttalande gäller för alla algebraiskt stängda fält i stället för fältet med komplexa tal (per definition).
- Dessutom kan ett polynom med reella koefficienter skrivas som $p(x)$

p(x)=a(x-c_{1})(x-c_{2})\ldots (x-c_{n}),

där - (i det allmänna fallet, komplexa) rötter av polynomet , möjligen med upprepningar, medan om det bland polynomets rötter finns likadana, så kallas deras gemensamma värde en multipelrot , och talet är multipliciteten av detta rot.

c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}

p(x)

c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}

p(x)

Antalet komplexa rötter av ett polynom med komplexa gradkoefficienter , med hänsyn till multipliciteten, är lika med . Dessutom kan alla rent komplexa rötter (om några) av ett polynom med reella koefficienter delas in i par av konjugat med samma multiplicitet. Således kan ett polynom av jämn grad med reella koefficienter ha, med hänsyn till multipliciteten, endast ett jämnt antal reella rötter, och en udda kan bara ha ett udda tal. $n$ $n$
Rötterna till ett polynom är relaterade till dess koefficienter av Vieta-formlerna .

Hitta rötter

Metoden för att hitta rötterna till linjära och kvadratiska polynom i en allmän form, det vill säga metoden för att lösa linjära och kvadratiska ekvationer, var känd i den antika världen. Sökandet efter en formel för den exakta lösningen av den allmänna ekvationen för tredje graden fortsatte under lång tid, tills den kröntes med framgång under första hälften av 1500-talet i verk av Scipio del Ferro , Niccolo Tartaglia och Gerolamo Cardano. . Formler för rötterna till andragradsekvationer och kubiska ekvationer gjorde det relativt enkelt att få formler för rötterna till en fjärdegradsekvation .

Det faktum att rötterna till en generell ekvation av femte graden och högre inte uttrycks med hjälp av rationella funktioner och radikaler i koefficienterna (det vill säga att ekvationerna i sig inte är lösbara i radikaler ) bevisades av den norske matematikern Niels Abel 1826 [1] . Detta betyder inte alls att rötterna till en sådan ekvation inte kan hittas. För det första, för vissa speciella kombinationer av koefficienter, kan ekvationens rötter fortfarande bestämmas (se till exempel den reciproka ekvationen ). För det andra finns det formler för rötterna till ekvationer av 5:e graden och högre, med hjälp av speciella funktioner - elliptiska eller hypergeometriska (se till exempel Brings rot ).

Om alla koefficienter för ett polynom är rationella, leder det att hitta dess rötter till att hitta rötterna till ett polynom med heltalskoefficienter. För rationella rötter av sådana polynom finns det algoritmer för att hitta kandidater genom uppräkning med hjälp av Horners schema , och när man hittar heltalsrötter kan uppräkningen reduceras avsevärt genom att rengöra rötterna. Även i det här fallet kan du använda den polynomiska LLL-algoritmen .

För ett ungefärligt fynd (med eventuell nödvändig noggrannhet) av de reella rötterna av ett polynom med reella koefficienter, används iterativa metoder , till exempel sekantmetoden , bisektionsmetoden , Newtonmetoden , Lobachevsky-Greffe-metoden . Antalet reella rötter av ett polynom i ett intervall kan bestämmas med hjälp av Sturms sats .

Se även

Horners plan
Lilys metod är en grafisk metod för att hitta de verkliga rötterna till polynom av godtycklig grad.
Noll funktion

Anteckningar

↑ Abels teorem i problem och lösningar - M.: MTsNMO, 2001. - 192 sid. . Hämtad 9 november 2011. Arkiverad från originalet 22 januari 2021. (obestämd)

Litteratur

Vinberg E. B. Polynomens algebra. - M . : Utbildning, 1980. - 176 sid.
Prasolov VV polynom . — M .: MTsNMO , 2003. — 336 sid. — ISBN 5-94057-077-1 .