Sturms serie

En Sturm-serie ( Sturm- system ) för ett verkligt polynom är en sekvens av polynom som gör att du effektivt kan bestämma antalet rötter i ett polynom på ett intervall och beräkna dem ungefär med hjälp av Sturm-satsen .

Serien och satsen är uppkallad efter den franske matematikern Jacques Sturm , som definierade serien och dess egenskaper, och även utvecklade ett konstruktivt sätt att konstruera en sådan serie 1829 .

Definition

Betrakta ett polynom med reella koefficienter. Finita ordnad sekvens av polynom som inte är noll med reella koefficienter: $f(x)$

f_{0}(x),f_{1}(x),...,f_{s}(x)\quad

kallas en Sturm-serie för ett polynom om följande villkor är uppfyllda: $f(x)$

uppsättningarna av rötter och sammanfaller; $f_0$ $f$
$f_{s}(x)\quad$ har inga riktiga rötter;
om och , då ; $f_{k}(c)=0\kvadrat$ $1\leqslant k\leqslant s-1$ $f_{k-1}(c)f_{k+1}(c)<0$
om , då ändrar produkten tecken från minus till plus när , ökande, passerar genom punkten , det vill säga när det finns sådan att för och för . $f(c)=0\kvadrat$ $f_{0}(c)f_{1}(c)\quad$ $x$ $c$ $\delta>0$ $f_{0}(x)f_{1}(x)<0\kvadrat$ $x\in (c-\delta ,c)$ $f_{0}(x)f_{1}(x)>0\kvadrat$ $x\in (c,c+\delta )$

Värdet på Sturm-serien vid en punkt är antalet teckenförändringar i sekvensen efter eliminering av nollor. $c$ $f_{0}(c),f_{1}(c),...,f_{s}(c)$

Ibland definieras en Sturm-serie också som en Sturm-serie konstruerad på ett visst sätt .

Sturms teorem

Låta vara en icke-noll polynom med reella koefficienter, vara några Sturm serier för det, vara ett intervall av den reella linjen, och . Då är antalet olika rötter av polynomet på intervallet , där är värdet på Sturm-serien vid punkten . $f(x)$ $f_{0}(x),f_{1}(x),...,f_{s}(x)$ $[a,b]$ $f(a)f(b)\neq 0$ $f(x)$ $[a,b]$ $W(a)-W(b)$ $Toalett)$ $c$

Byggnad

Sturm-serien finns för alla reella polynom som inte är noll.

Låt polynomet , som skiljer sig från en konstant, inte ha flera rötter. Då kan Sturm-serien för den konstrueras till exempel enligt följande: $f(x)$

$f_{0}(x)=f(x)$ ;
$f_{1}(x)=f_{0}'(x)$ ;
Om ( ) har rötter, då , där är resten av att dividera ett polynom med ett polynom i ringen av polynom , annars slutar konstruktionen. $f_{k}(x)$ $k>0$ $f_{{k+1}}(x)=-f_{{k-1}}(x){\bmod f}_{k}(x)$ $f(x){\bmod g}(x)$ $f(x)$ $g(x)$ $\mathbb{R} [x]$ $s=k$

För ett godtyckligt polynom (möjligen med flera rötter) som skiljer sig från en konstant kan man sätta:

f_{0}(x)={\frac {f(x)}{(f(x),f'(x))))

och följ sedan metoden ovan. Här är den största gemensamma divisorn för polynomen och . $(f(x),f'(x))$ $f(x)$ $f'(x)$

Om ett polynom är en konstant som inte är noll, så består dess Sturm-serie av ett enda polynom . $f(x)$ $f_{0}(x)=f(x)$

Applikation

Sturm-serien används för att bestämma antalet reella rötter av ett polynom på ett intervall (se Sturms sats ). Detta innebär möjligheten att använda den för ungefärlig beräkning av verkliga rötter med den binära sökmetoden .

Exempel

Låt oss konstruera Sturm-serien för polynomet på ovanstående sätt $f(x)=(x-1)(x-3)=x^{2}-4x+3$

Polynom $fixera)$	Polynomtecken vid punkten
Polynom $fixera)$	$-\infty$	$0$	$ett$	$2$	$3$	$fyra$	$+\infty$
$f_{0}(x)=x^{2}-4x+3$	$+\quad$	$+\quad$	$0\quad$	$-\quad$	$0\quad$	$+\quad$	$+\quad$
$f_{1}(x)=2x-4$	$-\quad$	$-\quad$	$-\quad$	$0\quad$	$+\quad$	$+\quad$	$+\quad$
$f_{2}(x)=1$	$+\quad$	$+\quad$	$+\quad$	$+\quad$	$+\quad$	$+\quad$	$+\quad$
Radvärde vid punkt	$2\quad$	$2\quad$	$1\quad$	$1\quad$	$0\quad$	$0\quad$	$0\quad$

Således, enligt Sturms sats , är antalet rötter i polynomet : $f(x)$

$2-0=2$ mellan $(-\infty ,+\infty )$
$2-0=2$ mellan $(0,4)$
$2-1=1$ mellan $(0,2)$

Se även

Litteratur

Kostrikin A. I. Introduktion till algebra, del 1 "Fundamentals of Algebra", red. 2 korrigerad, - Fizmatlit, Moskva, 2004.
Shafarevich I. R. Om lösningen av ekvationer av högre grader (Sturms metod). — M.: Gostekhizdat, 1954.
Sturms teorem - artikel från Encyclopedia of Mathematics . Proskuryakov I.V.