Ekvation av femte graden

En ekvation av femte graden kallas en ekvation av formen: $ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0$

Vietas sats för femtegradsekvationer

Rötterna till femtegradsekvationen är relaterade till koefficienterna enligt följande: $x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4},\,x_{5}$ $a,\,b,\,c,\,d,\,e,\,f$

x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=-{\frac {b}{a)),

x_{1}\,x_{2}+x_{1}\,x_{3}+x_{1}\,x_{4}+x_{1}\,x_{5}+x_{2 }\,x_{3}+x_{2}\,x_{4}+x_{2}\,x_{5}+x_{3}\,x_{4}+x_{3}\,x_{5 }+x_{4}\,x_{5}={\frac {c}{a)),

x_{1}\,x_{2}\,x_{3}+x_{1}\,x_{2}\,x_{4}+x_{1}\,x_{2}\,x_ {5}+x_{1}\,x_{3}\,x_{4}+x_{1}\,x_{3}\,x_{5}+x_{1}\,x_{4}\, x_{5}+x_{2}\,x_{3}\,x_{4}+x_{2}\,x_{3}\,x_{5}+x_{2}\,x_{4}\ ,x_{5}+x_{3}\,x_{4}\,x_{5}=-{\frac {d}{a)),

x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4}+x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{5}+x_ {1}\,x_{2}\,x_{4}\,x_{5}+x_{1}\,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}+x_{2}\ ,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}={\frac {e}{a)),

x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}=-{\frac {f}{a)).

Lösning

Det finns ingen exakt formel för att lösa ekvationen av femte graden. Om , då ser ekvationen ut så här: $a=1,f=0$

$x^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex=0$ , där vi tar det ur parentes (se. Sammanfattningsekvation ) $x$

$x(x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e)=0$ , där en av rötterna är lika med noll .

Fjärdegradsekvationen inom parentes .

Om , ekvationen är biquadratisk . En av rötterna är lika med noll, resten av rötterna genomsöks med formeln $b=d=0$

${\textstil \pm {\sqrt {-c\pm {\frac {\sqrt {c^{2}-4e}}{2}}}}}$ .

Om , är ekvationen inom parentes $b=e=0$

$x^{4}+cx^{2}+dx=0$ , där vi tar ut fästena:

$x(x^{3}+cx+d)=0$ , där en av rötterna är noll, letar vi efter de andra tre rötterna med Cardano-formeln .

Exempel

Lös ekvationen

$x^{5}+5x=0$ .

Lösning. Låt oss ta det ur parentes: $x$

$x(x^{4}+5)=0$ .

Låt oss räkna ut det: $x^{4}+5$

$x(x-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt { 2}}}i)(x+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i)(x+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\ sqrt {2}}}i)(x-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}} {\sqrt {2}}}i)=0$ .

Ekvationen har fem rötter:

$x_{1}=0$ , , , , . $x_{2}={\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i$ $x_{3}=-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\ sqrt{2}}}i$ $x_{4}=-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\ sqrt{2}}}i$ $x_{5}={\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i$

Länkar

Algebraiska ekvationer
Linjär ekvation Andragradsekvation kubikekvation Ekvation av fjärde graden Ekvation av femte graden Sjätte gradens ekvation Ekvation för sjunde graden