Vieta formler

Vieta-formler är formler som relaterar koefficienterna för ett polynom och dess rötter .

Det är bekvämt att använda dessa formler för att kontrollera riktigheten av att hitta rötterna till ett polynom, samt att komponera ett polynom från givna rötter.

Dessa identiteter är implicita i François Vietas arbete . Viet ansåg dock bara positiva verkliga rötter, så han hade inte möjlighet att skriva dessa formler i allmän form. [1] :138-139

Formulering

Om är rötterna till polynomet $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}$

{\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n))

(varje rot tas motsvarande dess multiplicitet antal gånger), då uttrycks koefficienterna som symmetriska polynom från rötterna [2] , nämligen: $a_{1},\ldots ,a_{n}$

{\textstyle {\begin{aligned}a_{1}&=-(c_{1}+c_{2}+\ldots +c_{n}),\\a_{2}&=c_{1}c_{ 2}+c_{1}c_{3}+\ldots +c_{1}c_{n}+c_{2}c_{3}+\ldots +c_{n-1}c_{n},\\a_ {3}&=-(c_{1}c_{2}c_{3}+c_{1}c_{2}c_{4}+\ldots +c_{n-2}c_{n-1}c_{ n}),\\&~~\vdots \\a_{n-1}&=(-1)^{n-1}(c_{1}c_{2}\ldots c_{n-1}+c_ {1}c_{2}\ldots c_{n-2}c_{n}+\ldots +c_{2}c_{3}...c_{n}),\\a_{n}&=(- 1)^{n}c_{1}c_{2}\ldots c_{n}.\end{aligned}}}

Med andra ord är det lika med summan av alla möjliga produkter från rötterna. ${\displaystyle (-1)^{k}a_{k))$ $k$

Följd : det följer av Vietas sista formel att om rötterna till ett polynom är heltal, så är de divisorer av dess fria term, som också är heltal.

Om polynomets ledande koefficient inte är lika med ett:

a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n},

sedan för att tillämpa Vieta-formeln måste du först dividera alla koefficienter med (detta påverkar inte värdena för polynomets rötter). I detta fall ger Vieta-formlerna ett uttryck för förhållandena mellan alla koefficienter till den högsta: $a_{0}$

{\frac {a_{k}}{a_{0}}}=(-1)^{k}\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{ k}\leqslant n}c_{i_{1}}c_{i_{2}}\dots c_{i_{k}},\quad k=1,2,\dots ,n.

Bevis

Beviset utförs genom att beakta den likhet som erhålls genom att expandera polynomet i termer av rötter, med hänsyn till att $a_{0}=1$

x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n}=(x-c_{1})( x-c_{2})\cdots (x-c_{n}).

Genom att likställa koefficienterna vid lika potenser ( unikhetsteorem ) får vi Vietas formler. $x$

Exempel

Andragradsekvation

Om och är rötterna till andragradsekvationen , då $x_{1}$ $x_{2}$ $ax^{2}+bx+c=0$

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-{\dfrac {b}{a)),\\x_{1}x_{2}={\dfrac {c}{a }}.\end{cases}}

I ett särskilt fall, om (förminskad form ), då $a=1$ $x^{2}+px+q=0$

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-p,\\x_{1}x_{2}=q.\end{cases))

Kubikekvation

Om är rötterna till kubikekvationen , då $x_{1},x_{2},x_{3}$ $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\dfrac {b}{a}}\\x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3 }+x_{2}x_{3}={\dfrac {c}{a}}\\x_{1}x_{2}x_{3}=-{\dfrac {d}{a}}\end{ fall}}

Variationer och generaliseringar

Det kan ses från ovanstående bevis att Vieta-formlerna erhålls rent algebraiskt från egenskaperna addition och multiplikation. Därför är de tillämpliga på polynom med koefficienter från en godtycklig integritetsdomän om polynomets ledande koefficient är lika med ett och rötterna är belägna i den algebraiska stängningen av kvotfältet för $\mathbb {K}$ $\mathbb {K} ,$ $\mathbb {K} .$

Om koefficienterna för ett polynom tas från en godtycklig kommutativ ring som inte är en integritetsdomän (det vill säga den har nolldelare ), så håller Vieta-formlerna generellt sett inte. Betrakta till exempel ringen av rester modulo 8 och polynomet. Den har inte två utan fyra rötter i denna ring: Därför gör sönderdelningen till linjära faktorer som används i beviset, vars antal är lika med antalet rötter. inte äga rum, och Vieta-formeln, eftersom den är lätt att kontrollera, är felaktig. $\mathbb {K}$ $P(x)=x^{2}-1.$ $1,3,5,7.$

Se även

Anteckningar

↑ Florian Cajori. En historia av matematik. — 5:e upplagan. — 1991.
↑ Algebra of polynomials, 1980 , sid. 26-28.

Litteratur

Vinberg E. B. Polynomens algebra. En lärobok för deltidsstuderande i III-IV kurser av fysiska och matematiska fakulteter vid pedagogiska institut. - M . : Utbildning, 1980.
Weisstein, Eric W. Vietas formler / Från MathWorld -- En Wolfram webbresurs
Hazewinkel, Michiel, red. (2001), "Viète theorem" (länk ej tillgänglig) , Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 (engelska)
Funkhouser, H. Gray (1930), "A short account of the history of symmetric functions of roots of equations", American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 37 (7): 357-365, doi:10.2307/2299273 , JSTOR 2299273 _