Hilberts sats 90

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 april 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Hilberts teorem 90 är ett av de viktigaste uttalandena för finita cykliska Galois-förlängningar .

Multiplikativ form

Låt vara Galois-gruppen av en ändlig cyklisk förlängning och vara dess generator. Då är normen för ett element 1 om och endast om det finns ett element som inte är noll , vilket är $G$ $E/K,$ $\sigma$ $\beta \i E$ $\alfa \i E$ $\beta ={\frac \alpha {\sigma (\alpha ))).$

Bevis

Tillräckligheten är uppenbar: om vi då, med hänsyn till normens multiplikativitet, har Eftersom normen för separerbara förlängningar är lika med produkten av alla och att tillämpa på en sådan produkt endast leder till en permutation av faktorerna, då $\beta ={\frac \alpha {\sigma (\alpha ))),$ $N(\beta )={\frac {N(\alpha )}{N(\sigma (\alpha ))))$ $\sigma _{i}(\alpha ),$ $\sigma$ ${\frac {N(\alpha )}{N(\sigma (\alpha ))))={\frac {N(\alpha )}{N(\alpha )))=1.$

För att bevisa nödvändigheten skriver vi följande kartläggning:

{\mathrm {id}}+\beta \sigma +\beta \sigma (\beta )\sigma ^{2}+\ldots +(\beta \sigma (\beta )\ldots \sigma ^{{n-2 }}(\beta )\sigma ^{{n-1}}).

Enligt satsen om linjärt oberoende av tecken är denna mappning inte noll. Därför finns det ett element för vilket $\gamma \i E,$

0\neq \alpha =\gamma +\beta \sigma (\gamma )+\beta \sigma (\beta )\sigma ^{2}(\gamma )+\ldots +(\beta \sigma (\beta )\ ldots \sigma ^{{n-2}}(\beta )\sigma ^{{n-1}}(\gamma ).

Om vi tillämpar mappningen på och sedan multiplicerar det resulterande uttrycket med så kommer den första termen att gå till den andra, och så vidare, och den sista kommer att gå till den första, eftersom $\sigma$ $\alfa,$ $\beta ,$ $\beta \sigma (\beta )\ldots \sigma ^{{n-2}}(\beta )\sigma ^{{n-1}}(\beta )=N(\beta )=1.$

Då får vi att dividera med vi har Nödvändigheten är bevisad. $\beta \sigma (\alpha )=\alpha ,$ $\sigma (\alpha )\neq 0$ $\beta ={\frac \alpha {\sigma (\alpha ))).$

Additiv form

Låt vara Galois-gruppen av en ändlig cyklisk förlängning och vara dess generator. Då är spåret för ett element 0 om och endast om det finns ett element som inte är noll så att $G$ $E/K,$ $\sigma$ $\beta \i E$ $\alfa\in E,$ $\beta =\alpha -\sigma (\alpha ).$

Beviset på tillräcklighet är helt analogt med det multiplikativa fallet, och vid behov överväger vi ett element för vilket och konstruerar det som krävs i formen: $\gamma \i E,$ ${\mathrm {tr}}\gamma \neq 0$ $\alfa$

\alpha ={\frac {1}{{\mathrm {tr}}\gamma }}[\beta \sigma (\gamma )+(\beta +\sigma (\beta ))\sigma ^{2}(\ gamma )+\ldots +(\beta +\ldots +\sigma ^{{n-2}}(\beta ))\sigma ^{{n-1}}(\gamma )|.

Litteratur

Leng S. Algebra . - M . : Mir, 1967. - S. 243 -244.

Se även

Galois kohomologi

David Hilberts bidrag till vetenskapen
mellanslag	Hilbert utrymme Pre-Hilbert utrymme Gilbert tegel
axiomatik	Hilberts axiomatik
Satser	Hilberts sats 90 Hilberts grundsats Hilberts nollsats Hilbert-Schmidts sats
Operatörer	Hilbert förvandla Hilbert-Schmidt-operatör
Allmän relativitetsteori	Einstein-Hilberts ekvationer " Hilbert och gravitationsfältsekvationerna "
Övrig	Hilbert problem Hilbert kurva Hilbert matris Hilbert-Arnold problem Hilbertserien och Hilbertpolynomet Paradox "Grand Hotel"