Hilbert-Schmidt-operatör

Hilbert-Schmidt-operatorn är en avgränsad operator på ett Hilbert-rum med ändlig Hilbert-Schmidt-norm , d.v.s. för vilken det finns en ortonormal grund i , så att $A$ $H$ $\{e_i\colon i \in I\}$ $H$

\sum_{i\in I} \|Ae_i\|^2 < \infty.

Om detta är sant på någon ortonormal basis, så är det sant på vilken ortonormal basis som helst.

Hilbert-Schmidt skalär produkt

Låt och vara två Hilbert-Schmidt-operatörer. Hilbert-Schmidts skalära produkt definieras som $A$ $B$

\langle A,B \rangle_\mathrm{HS} = \operatörsnamn{tr}\,A^T\!B = \sum_{i \in I} \langle Ae_i, Be_i \rangle.

där anger spåret av operatören. Normen som induceras av en sådan inre produkt kallas Hilbert-Schmidt-normen : $\operatörsnamn{tr}$

\lVert A \rVert_\mathrm{HS}^2 = \sum_{i \in I} \lVert Ae_i \rVert^2.

Denna definition är inte beroende av valet av en ortonormal bas och liknar Frobenius-normen för operatorer i ett ändligt dimensionellt vektorrum.

Egenskaper

Hilbert-Schmidt-operatorerna bildar ett dubbelsidigt *-ideal i Banach-algebra av avgränsade operatorer på . Hilbert-Schmidt-operatorerna bildar en uppsättning sluten i topologin inducerad av normen på , om och endast om den är ändlig-dimensionell. De bildar också ett Hilbert-utrymme. Det kan visas att det är naturligt isomorft till tensorprodukten av Hilbert-rum $H$ $H$ $H$

H^* \ ibland H,

var är mellanrummet konjugat till . $H^*$ $H$

David Hilberts bidrag till vetenskapen
mellanslag	Hilbert utrymme Pre-Hilbert utrymme Gilbert tegel
axiomatik	Hilberts axiomatik
Satser	Hilberts sats 90 Hilberts grundsats Hilberts nollsats Hilbert-Schmidts sats
Operatörer	Hilbert förvandla Hilbert-Schmidt-operatör
Allmän relativitetsteori	Einstein-Hilberts ekvationer " Hilbert och gravitationsfältsekvationerna "
Övrig	Hilbert problem Hilbert kurva Hilbert matris Hilbert-Arnold problem Hilbertserien och Hilbertpolynomet Paradox "Grand Hotel"