Dubbelt utrymme

Det dubbla utrymmet (ibland det dubbla utrymmet ) är utrymmet för linjära funktionaler på ett givet vektorutrymme .

Definition

Uppsättningen av alla kontinuerliga linjära funktionaler definierade på ett topologiskt vektorrum bildar också ett vektorrum. Detta utrymme kallas dual to , det brukar betecknas . Uppsättningen av alla linjära funktionaler på , inte nödvändigtvis kontinuerliga, kallas algebraiskt konjugerat till , det betecknas vanligtvis [1] . $E$ $E$ $E^{*}$ $E$ $E$ $E^{\#}$

I fallet (vanligtvis betraktat i linjär algebra) när vektorrymden är finitdimensionell, är alla linjära funktionaler automatiskt kontinuerliga, och det dubbla rummet består helt enkelt av alla linjära funktionaler (funktioner) på . I fallet (vanligtvis betraktat i funktionsanalys), när oändligt dimensionellt, generellt sett, [1] . $E$ $E^{*}=E^{\#}$ $E$ $E$ $E^{*}\neq E^{\#}$

I tensorkalkyl används beteckningen för element (övre, eller kontravariant , index) och för element (lägre, eller kovariant , index). $x^{k}$ $E$ $x_k$ $E^{*}$

Dubbla mappningar

En dubbel mappning är en linjär mappning mellan vektorrum dubbla till data, inducerad av en mappning mellan själva utrymmena.

Låta vara vektorrum och vara dubbla vektorrum. För all linjär mappning definieras den dubbla mappningen (i omvänd ordning) som $V,W$ $V^{*},W^{*}$ $f:V\to W$ $f^{*}:W^{*}\to V^{*}$

f^{*}(\varphi )=\varphi \circ f\,

för någon . $\varphi \in W^{*}$

Egenskaper

Finita dimensionella utrymmen [2]

Det dubbla utrymmet har samma dimension som utrymmet över fältet . Därför är utrymmena och isomorfa . $E^{*}$ $E$ $F$ $E$ $E^{*}$
Varje rymdbas kan associeras med den så kallade dubbla (eller reciproka ) rymdbasen , där den funktionella är en projektion på en vektor : ${\displaystyle e^{1},\ldots ,e^{n))$ $E$ $e_{1},\ldots ,e_{n}$ $E^{*}$ $e_{i}$ ${\displaystyle e^{i))$ $e_{i}(x)=e_{i}(\alpha _{1}e^{1}+\ldots +\alpha _{n}e^{n})=\alpha _{i} ,\quad \forall x\in E.$
Om rymden är euklidisk , det vill säga den skalära produkten definieras på den , så finns det mellan och en så kallad kanonisk isomorfism (det vill säga en isomorfism som inte beror på de valda baserna), definierad av relationen $E$ $E$ $E^{*}$ $v\in E\mapsto f\in E^{*},\quad f(x)=\langle x,v\rangle ,\ \forall x\in E.$
Det andra dubbla utrymmet är isomorft till . Dessutom finns det en kanonisk isomorfism mellan och (det antas inte att rummet är euklidiskt) definierat av relationen $E^{{**}}$ $E$ $E$ $E^{{**}}$ $E$ $x\in E\mapsto z\in E^{**},\quad z(f)=f(x),\ \forall f\in E^{*}.$
Den kanoniska isomorfismen som definieras ovan visar att utrymmena och spelar en symmetrisk roll: var och en av dem är dubbla till den andra. För att markera denna symmetri skrivs för ofta som en prickprodukt. $E\to E^{**}$ $E$ $E^{*}$ $x\in E,\ f\in E^{*}$ $f(x)=(x,f)$

Oändliga dimensionella utrymmen

Om vektorutrymmet är normerat har det dubbla rummet en naturlig norm - detta är operatörsnormen för kontinuerliga funktioner. Utrymmet är Banach [3] [1] . $E$ $E^{*}$ $E^{*}$

Om utrymmet är Hilbert , så finns det enligt Riesz-satsen en isomorfism mellan och , och på samma sätt som det finita dimensionella fallet kan varje linjärt avgränsad funktion representeras genom en inre produkt med hjälp av något utrymmeselement [4] . $E$ $E$ $E^{*}$ $E$

Konjugatet till utrymmet $L^{p}$ , , är utrymmet , där . På samma sätt är konjugera till , , med samma relation mellan p och q . $1<p<\infty$ $L^{q}$ $1/p+1/q=1$ $l^{p}$ $1<p<\infty$ ${\displaystyle l^{q))$

Variationer och generaliseringar

Termen dubbelrum kan ha en annan betydelse för vektorrum över fältet av komplexa tal : ett rum som sammanfaller med som ett reellt vektorrum, men med en annan struktur för multiplikation med komplexa tal: $\bar$ $E$ ${{\bar c}}{{\bar x}}=\överlinje {cx}$
Om det finns en hermitisk metrik i rummet (till exempel i ett Hilbert-utrymme ), sammanfaller de linjärt konjugerade och komplexa konjugerade utrymmena.

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 3 Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Element i funktionsteorin och funktionsanalys. - Vilken upplaga som helst.
↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Linjär algebra och geometri. - kap. III, § 7. - M .: Fizmatlit, 2009.
↑ Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. Elements of functional analysis, 2nd ed. Moskva: Nauka, 1965, s. 147.
↑ Halmos P. Måttlära. M.: Förlag för utländsk litteratur, 1953.