Operatörsnorm

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 21 november 2020; kontroller kräver 2 redigeringar .

En operatornorm är en norm definierad på avgränsade linjära operatorer från ett normerat utrymme till ett annat. Kallas även operator , underordnad eller inducerad norm .

Operatörsnormen förvandlar själva operatörernas linjära utrymme till ett normerat utrymme. Motsvarande struktur för det linjära topologiska utrymmet av operatorer kallas normtopologi eller operatortopologi (utan specifikation ).

Definition och notation

I det följande kommer K att beteckna huvudfältet , vilket är ett normerat fält . Vanligtvis K = eller K = . $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Låt V 1 och V 2 vara två normerade linjära rum över K och T vara en linjär operator från V 1 till V 2 . Om det finns ett icke-negativt tal [1] M så att

\forall x\in V_{1}:\|Tx\|\leqslant M\|x\|,

då kallas operatorn T bounded , och minsta möjliga M kallas dess norm ‖T‖ . Om V 1 är ändlig dimensionell är varje operator begränsad.

Normen för operatorn T kan beräknas med formeln [2] :

{\begin{aligned}\|T\|&=\sup\{\|Tx\|:x\in V_{1},\ \|x\|=1\}\\&=\sup \left\{{\frac {\|Tx\|}{\|x\|}}:x\in V_{1},\ x\neq 0\right\}.\end{aligned}}

Om utrymmet V 1 består av en nolla , fungerar inte den givna formeln, men ‖ T ‖ = 0 eftersom T = 0 .

Det linjära utrymmet för avgränsade operatorer från V 1 till V 2 betecknas med . I fallet när de skriver istället för . Om är ett Hilbert-utrymme , så skriver de ibland istället för . $L(V_{1},V_{2})$ $V_{1}=V_{2}=V$ $L(V)$ $L(V,V)$ $H$ $B(H)$ $L(H)$

Egenskaper

Begränsning och kontinuitet

Linjär operator mellan normerade utrymmen är då avgränsad och endast när den är kontinuerlig .

Norma

På kan man introducera strukturen för ett vektorrum med operationer och , där , , och är en godtycklig skalär. Operatornormen gör det linjära utrymmet för avgränsade operatorer till ett normerat utrymme , det vill säga den uppfyller motsvarande axiom: $L(V_{1},V_{2})$ $(T+S)x=Tx+Sx$ $T(\alpha x)=\alpha (Tx)$ $T,S\in L(V_{1},V_{2})$ $x\in V_{1}$ $\alfa \i K$

$\|T\|\geqslant 0$ (per definition)
$\|T\|=0$ om och endast om (följer av definitionen av ett normerat utrymme) $T=0$
$\|\alpha T\|=|\alpha |\|T\|$ för alla $\alfa$ $K$
$\|S+T\|\leqslant \|S\|+\|T\|$ för alla avgränsade operatorer och från V 1 till V 2 . $S$ $T$

Submultiplikativitet

Om S är en operator från V 2 till V 3 och T är en operator från V 1 till V 2 , så definieras deras produkt S T som en sammansättning av funktioner S ∘ T . Operatörsnormen uppfyller submultiplikativitetsegenskapen :

\|ST\|\leq \|S\|\|T\|

I fallet V 1 = V 2 = V kan avgränsade operatorer multipliceras utan att lämna utrymmet , och därför omvandlar operatornormen operatoralgebra till en normerad algebra . $L(V)$ $L(V)$

Fullständighet

Ett mellanslag är Banach om och endast om V 1 är nolldimensionell [3] eller V 2 är Banach. $L(V_{1},V_{2})$

Om V är ett Banach-utrymme, är det med multiplikationen som introducerats ovan en Banach-algebra . $L(V)$

Användningsexempel

Mellan finita dimensionella utrymmen

Operatörsnormer (för olika normer på vektorer) utgör en viktig klass av möjliga normer på matrisrum .

På Hilbert-utrymmen

Algebra för gränsade operatorer (på ett Hilbert-mellanrum H ) med operatornorm är en C*-algebra med involutionsoperationen som ges av Hermitisk konjugation . Samtidigt är kompaktoperatorernas algebra dess stängda *-subalgebra och till och med dess ideal . $L(H)$

Jämförelser

Operatörsnorm med andra normer

Andra, starkare, normer definieras också på operatorer på ett Hilbert-utrymme, till exempel Hilbert-Schmidt-normen . I det oändliga dimensionella fallet är sådana normer inte definierade (oändliga) på vissa avgränsade operatorer.

Norm topologier med andra

I det finita dimensionella fallet (när båda utrymmena V 1 och V 2 är ändliga dimensionella) är det också ändligt dimensionellt och alla topologier (och normer) på ett sådant linjärt utrymme är ekvivalenta. Men när båda utrymmena V 1 och V 2 är oändliga dimensionella, är svagare (grövre) topologier möjliga : $L(V_{1},V_{2})$ $L(V_{1},V_{2})$

Stark operatörstopologi ; namnet är missvisande, eftersom det är svagare (grövre) än normtopologin.
Svag operatörstopologi ; ännu svagare (strävare).

Litteratur

Murphy J. C*-algebror och operatorteori. M.: Faktoriell, 1997. 336s. ISBN 5-88688-016-X
Prasolov VV Problem och satser för linjär algebra. — M .: Nauka, 1996. — 304 sid. - ISBN 5-02-014727-3 .

Anteckningar

↑ I det allmänna fallet, ett element i det ordnade fältet , där normaliseringen på K tar värden .
↑ Problem och satser för linjär algebra, 1996 , sid. 210.
↑ I så fall , men den är komplett. $L(V_{1},V_{2})=\{0\}$