Kovarians och kontravarians (matematik)

Kovarians och kontravarians - används inom matematik ( linjär algebra , differentialgeometri , tensoranalys ) och inom fysik , begrepp som kännetecknar hur tensorer ( skalärer , vektorer , operatorer , bilinjära former etc.) förändras när baser transformeras i motsvarande utrymmen eller grenrör . Kontravarianta kallas "vanliga" komponenter, som, när man ändrar grunden för rummet, förändras med hjälp av en transformation invers till transformationen av basen. Kovariant - de som förändras på samma sätt som grunden.

En koppling mellan kovarianta och kontravarianta koordinater för en tensor är endast möjlig i utrymmen där en metrisk tensor är given (inte att förväxla med ett metriskt mellanrum ).

Termerna kovarians och kontravarians introducerades av Sylvester 1853 för forskning i den algebraiska teorin om invarianter.

Kovarians och kontravarians i vektorrum

Kontravarianta och kovarianta vektorer

Låt vara något ändligt dimensionellt vektorrum , och det ges en viss grund i det . En godtycklig vektor kan representeras som en linjär kombination av basvektorer: . För att förenkla notationen (och av skäl som kommer att bli tydliga nedan) betecknar vi koordinaterna med en upphöjd skrift och accepterar Einstein-regeln: om samma flernivåindex deltar i uttrycket antas summering över dem. Således kan vi skriva: . Låt oss sätta en ny grund med hjälp av transformationsmatrisen . Av samma skäl introducerar vi nedsänkta och upphöjda (för att inte skriva summeringstecken) - . Sedan (summation över index j antas). Genom att beteckna den inversa matrisen kan vi skriva: . Genom att ersätta denna formel i koordinatrepresentationen av vektorn x får vi: . Således visar sig koordinaterna för vektorn i den nya basen vara lika , det vill säga de transformeras "motsatta" (omvänt) till förändringen i basen. Av denna anledning kallas sådana vektorer kontravarianta - förändras mitt emot basen. Kontravarianta vektorer är vanliga vektorer. Kontravarianta vektorer i koordinatrepresentation skrivs vanligtvis som en "kolumnvektor". Det övre, eller kontravarianta , indexet används för att identifiera kontravarianta vektorer. $V$ $e_{i},i=1..n$ $x$ $x=\summa _{{i=1}}^{n}x_{i}e_{i}$ $x=x^{i}e_{i}$ $S$ $S_{i}^{j}$ $e'_{i}=S_{i}^{j}e_{j}$ $T=S^{{-1}}$ $e_{j}=T_{j}^{i}e'_{i}$ $x=x^{j}T_{j}^{i}e'_{i}$ $x'^{i}=T_{j}^{i}x^{j}$

Utrymmet för alla linjära funktionaler som mappar vektorer till tal kallas dubbelrum . Det är också ett vektorrum av samma dimension som basrummet. Det är också möjligt att definiera en grund i detta utrymme. Låt oss beteckna elementen i basen för det dubbla rummet med den upphöjda skriften . Vilken funktion som helst kan representeras i denna bas i termer av koordinater, som kommer att betecknas med abonnemang. Sedan kan vi, med Einsteins regel, skriva: , det vill säga vilken linjär funktion som helst kan skrivas helt enkelt som en uppsättning tal , som en vanlig vektor (förutom den lägre indexplatsen). $V^*$ $g^{i}$ $f=f_{i}g^{i}$ $f_{i}$

Vi väljer en bas i det dubbla rummet så att , det vill säga, dessa funktionaler hittar vektorns th koordinat (projektionen på basvektorn ). En sådan bas kallas dual (till grunden för huvudutrymmet). Vid ändring av basen för huvudutrymmet måste detta tillstånd bevaras, det vill säga . Således ändras den dubbla basen omvänt till förändringen i huvudbasen. Koordinaterna för en godtycklig linjär funktion kommer att förändras på motsatt sätt till sin egen bas (som i vilket utrymme som helst), det vill säga med hjälp av en matris . Därför kommer de att förändras på samma sätt som huvudgrunden. Denna egenskap kallas kovarians . De linjära funktionalerna själva i koordinatrepresentationen i den dubbla basen kallas kovarianta vektorer , eller kortfattat, kovektorer . Externt "ser" en kovektor ut som en vanlig vektor, i betydelsen en regelbunden uppsättning tal som representerar dess koordinater. Skillnaden mellan en kovektor och en kontravariant vektor ligger i regeln för att transformera dess koordinater när basen ändras: de transformeras som basen, i motsats till kontravarianta vektorer, som transformeras motsatt basen. Kovektorer i koordinatform skrivs som "radvektorer". Det lägre, eller kovarianta , indexet används för att identifiera kovektorer . $g^{i}(x)=x^{i}$ $i$ $e_{i}$ $g'^{i}(x)=x'^{i}=T_{j}^{i}x^{j}=T_{j}^{i}g^{j}(x)$ $f_{i}$ $T^{{-1}}=S$

Kontravarians och kovarians av tensorer

Det som har sagts om vektorers kontravarians och kovarians kan generaliseras till objekt med flera index -tensorer , varav specialfall är vektorer och kovektorer.

I analogi med en linjär funktion, betrakta en funktion som associerar flera ( ) rymdvektorer med ett visst antal som har egenskapen linjäritet i varje vektor. Dessa är de så kallade multilinjära funktionerna . Det kan visas att alla -linjära funktioner bildar ett linjärt rum där man också kan införa en bas och representera en godtycklig -linjär funktion i koordinatform. Det kan också visas att deras koordinater transformeras som basrumsbas (liksom kovarianta vektorer). Därför kallas sådana multilinjära funktioner gånger kovarianta tensorer . De är skrivna med prenumerationer. Till exempel betecknas en dubbelt kovariant tensor som . $k$ $V$ $k$ $k$ $k$ $A_{{ij}}$

På samma sätt kan man överväga multilinjära funktioner inte i huvudutrymmet, utan i det dubbla utrymmet , vars uppsättning också bildar ett linjärt utrymme , som är dubbelt till . I koordinatrepresentationen i den dubbla basen omvandlas de på samma sätt som basen för rummet , och därför motsatsen till basen för huvudrummet . Det vill säga de har den kontravarianta egenskapen och kallas en gånger kontravariant tensor . De är betecknade med upphöjda texter. I synnerhet kommer den dubbelt kontravarianta tensorn att skrivas som . $V^*$ $V^{**}$ $V^*$ $V^*$ $V$ $k$ $A^{{ij}}$

För de vanligtvis betraktade utrymmena kan den så kallade kanoniska isomorfismen och , det vill säga dessa utrymmen anses vara omöjliga att skilja. Därför kan en 1-faldig kontravariant tensor anses likvärdig med en vanlig kontravariant vektor. $V$ $V^{**}$

Genom att generalisera ovanstående definitioner kan man överväga multilinjära funktioner av vektorer och kovektorer samtidigt. Följaktligen, när basen ändras, kommer koordinatposten för en sådan funktion att transformeras med deltagande av både transformationsmatrisen för huvudbasen (i antalet kovektorer som deltar i den multilinjära funktionen) och dess inversa (i antalet vektorer) av den multilinjära funktionen). Motsvarande tensor kallas m gånger kontravariant och k gånger kovariant - . Subscripts används för kovarianta komponenter och superscripts används för kontravarianta komponenter. Till exempel betecknas en 1-gångs kontravariant och 1-gångs kovariantensor med . Det totala antalet index kallas rangen eller valensen för tensoren. Tensorens komponenter är värdena för den multilinjära funktionen på basvektorerna. Till exempel . $T_{k}^{m}$ $A_{j}^{i}$ $k+m$ $A^i_j = A(e^i, e_j)$

Summeringsoperationen över samma flernivåstensorindex kallas faltning över dessa index. Som nämnts ovan hoppas man enligt Einsteins regel över summeringstecknet. Som ett resultat av tensorfaltning över ett par index, minskar dess rang med 2. Till exempel kommer kartläggningen av någon kontravariant vektor med hjälp av någon linjär operator i tensornotation att se ut som . Linjära operatorer är ett klassiskt exempel på en typtensor . $y^i= A^i_j x^j$ $T_{1}^{1}$

Vid transformering av en typtensor, när basen ändras, används den direkta bastransformationsmatrisen m gånger och den inversa matrisen k gånger. Till exempel omvandlas en typtensor , när basen ändras, enligt följande: $T_{k}^{m}$ $A_{j}^{i}$ $T_{1}^{1}$

$A^{i'}_{j'} = T^q_{j'} S^{i'}_p A^p_q$

I allmänhet är det nödvändigt att förstå att objektet i sig inte är beroende av dess representation i grunden. Alla transformationer är representationer av samma objekt (tensor).

Metrisk tensor

Om en skalär produkt introduceras i ett linjärt utrymme - en bilinjär form (eller i tensorterminologi - en dubbelt kovariant tensor ), som har egenskaperna symmetri och icke-degeneration, så kallas sådana utrymmen (ändliga dimensionella) euklidiska (förutsatt att att motsvarande andragradsform är positiv-definitiv ) eller pseudo-euklidisk (utan att begränsa teckenkvadratformen). Tensorn som motsvarar denna bilinjära form kallas den metriska tensorn . Komponenterna i denna tensor i den givna basen . Om denna bas är ortonormal (en sådan bas finns alltid i ett (pseudo)euklidiskt rum), då är matrisen av komponenter diagonal. På diagonalen i fallet med ett euklidiskt utrymme finns ettor (identitetsmatrisen). När det gäller ett pseudo-euklidiskt utrymme finns det förutom enheter även "minus-enheter" på diagonalen. I det allmänna fallet kanske baserna inte är ortogonala, så den metriska tensorn kan också representeras av en off-diagonal matris (likväl, i ett "platt" utrymme finns det alltid en bastransformation som för den till en diagonal form) . $g$ $g(x, x)$ $g_{{ij}}=g(e_{i},e_{j})$

Med hjälp av den metriska tensorn kan den skalära produkten skrivas som . I utrymmen med en inre produkt finns det en kanonisk isomorfism av utrymmet och det dubbla utrymmet , det vill säga varje vektor är associerad med en kovektor och vice versa. Denna korrespondens utförs just med hjälp av den skalära produkten eller, i tensornotation, med hjälp av den metriska tensorn. Vi kan nämligen skriva . Denna operation kallas att sänka eller sänka indexet . Den omvända överensstämmelsen görs med den kontravarianta metriska tensorn . Denna operation kallas att lyfta eller lyfta ett index . Det är lätt att visa att matriserna för de kovarianta och kontravarianta metriska tensorerna är ömsesidigt inversa, det vill säga . Den skalära produkten kan uttryckas både i kontravarianta och kovarianta vektorer: . $g(x,y)=g_{{ij}}x^{i}y^{j}$ $V$ $V^*$ $x_{i}=g_{{ij}}x^{j}$ $x^{j}=g^{{ij}}x_{i}$ $g_{{ik}}g^{{kj}}=\delta _{i}^{j}$ $g(x,y)=g_{ij}x^iy^j=x_iy^i=x^iy_i=g^{ij}x_iy_j$

I fallet med en ortonormal bas i det euklidiska rummet är den metriska tensorn identitetsmatrisen, så den kovarianta vektorn i koordinatnotationen sammanfaller med den kontravarianta. Därför, i det här fallet, är uppdelningen av vektorer i kontravarianta och kovarianta inte nödvändig. Men även om grunden är icke-ortogonal och (eller) utrymmet är pseudo-euklidiskt, är en sådan distinktion viktig. I ett pseudo-euklidiskt utrymme på ortogonal basis skiljer sig kovektorer i tecken på vissa koordinater från en vanlig vektor. Systemet av vektorer och kovektorer i detta fall tillåter oss att skriva en formel för kvadraten på längden av en vektor på ett liknande sätt som fallet med det euklidiska rummet . I fallet med icke-ortogonala (skevvinklade) baser i euklidiska (pseudo-euklidiska) utrymmen, är den metriska tensor som transformerar kontravarianta vektorer till kovarianta inte diagonal. I detta fall skrivs vektorns längd på samma sätt som i det euklidiska rummet med hjälp av kontravarianta och kovarianta vektorer. Alla dessa fall har en sak gemensamt - den metriska tensorn (i en given bas) har samma matris för alla punkter (vektorer) i rymden. $x_ix^i$

I utrymmen med en metrisk tensor är "kovariant vektor" och "kontravariant vektor" faktiskt olika representationer (poster som en uppsättning siffror) av samma geometriska objekt - en vanlig vektor eller kovektor . Det vill säga, samma vektor kan skrivas som kovariant (det vill säga en uppsättning kovarianta koordinater) och kontravariant (det vill säga en uppsättning kontravarianta koordinater). Detsamma kan sägas om covektorn. Omvandlingen från en representation till en annan görs helt enkelt genom faltning med en metrisk tensor . Innehållsmässigt särskiljs vektorer och kovektorer endast av vilken av representationerna som är naturliga för dem. En naturlig representation för en vanlig vektor är en kontravariant representation. För en kovariant vektor är det naturligt att konvolvera med vanliga vektorer utan deltagande av ett mått. Ett exempel på en kovariant vektor är gradienten för en skalär funktion . Dess faltning med en kontravariant (vanlig) vektor ger en invariant - funktionens differential . Således, om vi accepterar mellanslag som vanliga vektorer, bör gradienten vara en kovektor så att den metriska tensorn inte behöver användas vid vikning. Samtidigt kräver själva vektorerna användning av den metriska tensorn när de kollapsar med samma vektorer . ${\mathbf {grad}}f({\mathbf {x}})={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}=\partial _{i}f$ $dx^{i}$ $df(x)$ $dx^{i}$ $dx^{i}$ $\ (dx)^{2}=g_{{ij}}dx^{i}dx^{j}$

Om vi talar om vanligt fysiskt utrymme, är ett enkelt tecken på kovarians-kontravariansen för en vektor hur dess naturliga representation viks ihop med en uppsättning rumsliga förskjutningskoordinater , vilket är ett exempel på en kontravariant vektor. De som konvolverar med genom enkel summering, utan deltagande av ett mått, är kovarianta vektorer, och de som involverar ett mått är kontravarianta vektorer. Om rymden och koordinaterna är så abstrakta att det inte finns något sätt att skilja mellan huvud- och dubbelbasen, förutom genom ett godtyckligt villkorligt val, så försvinner den meningsfulla distinktionen mellan kovarianta och kontravarianta vektorer, eller blir också rent villkorad. $\dx^{i}$ $\dx^{i}$

Ofta är en kovariant vektor, särskilt i den fysiska litteraturen, nedbrytningen av vilken vektor som helst (det vill säga en vektor eller en kovektor, en vektor av ett tangent- eller kotangensrum) på en dubbel basis. Då pratar vi om en uppsättning samvarianta koordinater för vilket objekt som helst, vanligtvis försöker de dock skriva varje typ av objekt i en grund som är naturlig för den, vilket motsvarar huvuddefinitionen.

Generalisering till krökta baser och krökta utrymmen

Koordinaterna för det euklidiska (pseudo-euklidiska) rummet kan också vara kurvlinjära. Ett klassiskt exempel på kurvlinjära koordinater är polära koordinater på det euklidiska planet. I detta fall kan koordinatbaserna betraktas som linjära endast i infinitesimala grannskap av en given punkt. Därför förblir uttrycket för det kvadratiska avståndet för tillräckligt nära punkter giltigt: . När det gäller kurvlinjära koordinater ändras den metriska tensorn från punkt till punkt. Det är alltså ett tensorfält - varje punkt i rymden är associerad med någon metrisk tensor. $dx^{i}$ $(dx)^{2}=g_{{ij}}dx^{i}dx^{j}$

En mer allmän situation äger rum i fallet med krökta utrymmen - Riemannska (pseudo-riemannska) grenrör. Krökt utrymme kan visualiseras för fallet med en tvådimensionell yta - någon slät krökt yta i tredimensionell yta (till exempel en sfärisk yta). Den inre geometrin hos en sådan yta (krökt) är geometrin för det krökta utrymmet. I det allmänna fallet med ett krökt utrymme av dimension , kan det ses som en godtycklig (krökt) hyperyta i ett utrymme av högre dimension. För släta grenrör med en räknebar bas bevisas Whitneys inbäddningssats , enligt vilken varje sådan grenrör av dimension är inbäddad i ett "platt" (det vill säga icke-krökt euklidiskt eller pseudo-euklidiskt) dimensionsutrymme . $n$ $n$ $2n$

I ett krökt utrymme kanske ortogonala och i allmänhet linjära koordinatbaser inte existerar. I det allmänna fallet måste man ta itu med kurvlinjära baser. I det här fallet blir användningen av all ovanstående formalism av kovarianta och kontravarianta vektorer inte bara av särskild betydelse, utan blir oundviklig.

Allmänna definitioner

När det gäller krökta koordinater eller krökta utrymmen är de nya koordinaterna i allmänhet icke-linjära funktioner av de gamla koordinaterna: . För oändliga förändringar i gamla koordinater kan ändringar i nya koordinater bestämmas i termer av jakobisk av de angivna funktionerna: $x'^{i}=x'^{i}(x^{1},x^{2},...,x^{n})$ $dx^{j}$

$dx'^{i}={\frac {\partial x'^{i}}{\partial x^{j}}}dx^{j}$

Vilken vektor som helst som transformerar på samma sätt som , dvs. $v$ $dx^{i}$

$v'^{i}={\frac {\partial x'^{i}}{\partial x^{j}}}v^{j}$

kallas en kontravariant vektor .

För viss skalär funktion av koordinater, överväg dess gradient . När vi flyttar till andra koordinater har vi: $f(x)$ ${\frac {\partial f(x)}{\partial x^{i))}$

${\frac {\partial f(x)}{\partial x'^{i))}={\frac {\partial f(x)}{\partial x^{j))}{\frac {\partial x^{j}}{\partial x'^{i}}}$

Vilken vektor som helst som transformerar på samma sätt som en gradient, dvs. $u$

$u'_{i}={\frac {\partial x^{j}}{\partial x'^{i}}}u_{j}$

kallas en kovariant vektor .

Följaktligen är en en gång kontravariant och en gång kovariant tensor (tensor av typ ) ett objekt som transformeras när basen ändras genom att tillämpa den "inversa" transformationen en gång och den "direkta" transformationen en gång . $m$ $k$ $T_{k}^{m}$ $m$ ${\frac {\partial x'^{i}}{\partial x^{j}}}$ $k$ ${\frac {\partial x^{j}}{\partial x'^{i}}}$

Till exempel, en dubbelt kontravariant tensor och en dubbelt kovariant tensortransform enligt följande lagar: $A^{{ij}}$ $A_{{ij}}$

{A'}^{ij}=\frac {\partial x'^i}{\partial x^q}\frac {\partial x'^j}{\partial x^p}A^{pq}

{A'}_{ij}=\frac {\partial x^q}{\partial x'^i}\frac {\partial x^p}{\partial x'^j}A_{pq}

Och för en engångskontravariant och engångskovariant tensor ser transformationerna ut så här:

{A'}^j_i=\frac {\partial x^p}{\partial x'^i}\frac {\partial x'^j}{\partial x^q}A^q_p

Vanligtvis, för att indikera att komponenterna i tensorn omvandlas till en ny bas med ett primtal, indikeras primtalet vid motsvarande index för tensorn, och inte vid dess bokstavsbeteckning, i vilket fall ovanstående formler skrivs enligt följande

A^{i'j'}=\frac {\partial x^{i'}}{\partial x^q}\frac {\partial x^{j'}}{\partial x^p}A^{ pq},\qquad A_{i'j'}=\frac {\partial x^q}{\partial x^{i'}}\frac {\partial x^p}{\partial x^{j'} }A_{pq},\qquad A^{j'}_{i'}=\frac {\partial x^p}{\partial x^{i'}}\frac {\partial x^{j'} }{\partial x^q}A^q_p

Algebra och geometri

I kategoriteorin kan funktorer vara kovarianta och kontravarianta. Det dubbla rummet i ett vektorrum är ett standardexempel på en kontravariant funktion. Vissa konstruktioner av multilinjär algebra är blandade och är inte funktorer.

I geometri skiljer sig samma mappning i eller utanför rymden, vilket gör det möjligt att bestämma konstruktionens varians. Tangentvektorn till ett jämnt grenrör M i en punkt P är ekvivalensklassen av kurvor i M som passerar genom den givna punkten P . Därför är det kontravariant under en jämn mappning M . En kovariant vektor, eller kovektor , är konstruerad på samma sätt från en jämn avbildning från M till den reella axeln runt P i det kotangensknippe som är konstruerat på tangentbuntens dubbla utrymme.

Kovarianta och kontravarianta komponenter transformeras på olika sätt vid transformering av baser och följaktligen koordinater, om vi tar, som man brukar göra, koordinatbaser. .

Se även

Anteckningar

↑ JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne. Gravitation (neopr.) . - W.H. Freeman & Co, 1973. - ISBN 0-7167-0344-0 .

Litteratur

Sternberg, Shlomo (1983), Föreläsningar om differentialgeometri , New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0316-0 .
Kilchevsky N. A. Elements of tensor calculus och dess tillämpningar på mekanik, Gostekhizdat 1954