Tensor

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 23 juni 2022; kontroller kräver 6 redigeringar .

En tensor (från lat. tensus , "spänd") är ett objekt av linjär algebra som används i matematik och fysik , definierat på ett vektorrum av ändlig dimension . Inom fysiken fungerar det fysiska tredimensionella rummet eller fyrdimensionellt rum-tid vanligtvis som tensor, och tensorens komponenter är koordinaterna för sammankopplade fysiska storheter. $V$ $n$ $V$

Användningen av tensorer i fysiken gör att du bättre kan förstå fysiska lagar och ekvationer, förenkla deras skrivning genom att reducera många relaterade fysiska storheter till en tensor, och även skriva ekvationer i en form som inte beror på den valda referensramen .

Tensorer skiljer sig åt i rang , som bestäms av ett par naturliga tal , där är kontravariant och är kovariant rang (och de säger en gång kontravariant och en gång kovariant tensor), och summan kallas helt enkelt tensorens rang . $(s,r)$ $s$ $r$ $s$ $r$ $s+r$

Rangtensorer är vektorer av ett linjärt utrymme, polylinjärt relaterade till utrymmet och betecknas med eller . Dimensionen är lika med antalet tensorkomponenter, och själva komponenterna är koordinaterna för tensorn i basen, "fästa" till rymdbasen . Tensorns rang, tillsammans med rummets dimension , bestämmer antalet komponenter i tensorn , och den kovarianta och kontravarianta rangordningen bestämmer arten av deras beroende på basen i rummet . $(s,r)$ $V$ $\otimes _{r}^{s}V$ $T_{r}^{s}(V)$ $\otimes _{r}^{s}V$ $\otimes _{r}^{s}V$ $V$ $V$ $n^{s+r}$ $V$

Det är det multilinjära förhållandet mellan och som gör det möjligt att identifiera vektorer från som tensorer på , och inte bara vektorer av något utrymme, eftersom när basen i ändras, basen i och koordinaterna för tensorn som vektor för detta utrymme också ändra. Därför talar man om koordinatrepresentationen av tensorn i rymdbasen . Trots förändringarna i tensorkomponenterna vid byte av bas, beror tensorer, som algebraiska och geometriska objekt, inte av basen - olika uppsättningar av koordinater i olika baser kan motsvara samma objekt. $V$ $\otimes _{r}^{s}V$ $\otimes _{r}^{s}V$ $V$ $V$ $\otimes _{r}^{s}V$ $V$

Komponenterna i en tensor med fast bas kan struktureras i form av en dimensionell tabell . Vid rang 0 är tabellen ett enda nummer, vid rang 1 en ordnad uppsättning (kolumn- eller radvektor), vid rang 2 en kvadratisk matris, vid rang 3 en tredimensionell kub, och så vidare. en visuell representation för stora led är svårt. $V$ $(n+r)$ $n\ gånger n\ gånger \cdots \times n$

Tensorer av rang 1 är alltså vektorer av utrymmet , såväl som linjära funktionaler ( covectors ) på , som bildar det dubbla utrymmet av samma dimension. Rank 2-tensorer är bilinjära former , linjäroperatorer och bivektorer på , som också bildar motsvarande linjära utrymmen. Tensorer (av rang 0) inkluderar också skalärer - element i fältet där utrymmet ges (vanligtvis är dessa reella eller komplexa tal). Skalärer förändras inte (invariant) när basen ändras. $V$ $V$ $V^*$ $V$ $V$

Rangtensorkomponenterna skrivs med övre (kontravarianta) och nedre (kovarianta) index: . Till exempel skrivs vektorer i tensornotation med en upphöjd , linjära operatorer med nedsänkt och upphöjd: , bilinjära former (dubbelt kovarianta tensorer) med två nedsänkta . En typtensor (till exempel Riemanns krökningstensor ) skulle skrivas som . $(s,r)$ $s$ $r$ $T_{j_{1}j_{2}\dots j_{r}}^{i_{1}i_{2}\dots i_{s}}$ $x^i$ ${\displaystyle a_{j}^{i))$ $F_{{ij}}$ $(1,3)$ ${\displaystyle R_{jkl}^{i))$

Applikationer använder ofta tensorfält , som tilldelar olika tensorer till olika punkter i rymden (till exempel spänningstensorn i ett objekt). Men de kallas ofta förenklat också för tensorer.

Tensorer populariserades 1900 av Tullio Levi-Civita och Gregorio Ricci-Curbastro , som fortsatte Bernhard Riemanns och Alvin Bruno Christoffels tidigare arbete . Ordet "tensor" myntades av den tyske fysikern W. Vogt 1898 [1] .

Preliminärer

Einsteins regel

Här och vidare i artikelns text kommer den allmänt accepterade konventionen att användas huvudsakligen - den så kallade Einsteins regel , enligt vilken, om det finns övre och nedre index i posten, indikerade med samma bokstav (den s.k. kallas "tyst" index), då antas summering. Till exempel betyder inträde detsamma som . Detta förenklar formelskrivning genom att inte specificera summeringstecken. För index markerade med olika bokstäver förväntas inte summering. Tystningsindexet "försvinner" som ett resultat, medan de återstående indexen finns kvar, till exempel: eller . Se även underavsnittet i denna artikel som ägnas åt faltningsoperationen. ${\displaystyle x^{i}e_{i))$ ${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}x^{i}e_{i))$ ${\displaystyle y^{j}=c_{i}^{j}x^{i}=\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{j}x^{i))$ $a_{i}^{j}=b_{k}^{j}c_{i}^{k}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{j}c_ {i}^{k}$

Kontravarians av vektorer

Låt en uppsättning vektorer vara en bas i ett vektorrum . Då representeras vilken vektor som helst av detta utrymme i den givna basen som en linjär kombination av basvektorer: . En uppsättning (ordnade) tal (kolumnvektor) kallas vektorns koordinater eller komponenter i den givna basen eller vektorns koordinatrepresentation. $\{e_{i}\}=(e_{1},e_{2},...,e_{n})$ $V$ $x$ ${\displaystyle x=x^{i}e_{i))$ ${\displaystyle \{x^{i}\}=(x^{1},x^{2},...,x^{n})^{T))$

Överväg en annan uppsättning vektorer , som också är en bas. Var och en av vektorerna för den nya basen kan representeras i den "gamla" basen (liksom vilken vektor som helst): , det vill säga av koordinaterna . Följaktligen är matrisen vars kolumner representerar koordinaterna för den nya basen i den gamla transformationsmatrisen för den gamla basen till den nya. Den omvända matrisen låter dig hämta den gamla basen från den nya. Dessutom är det med hjälp av den inversa matrisen som man kan få fram koordinatrepresentationen av en godtycklig vektor i en ny grund. Faktum är att de nya koordinaterna (i den nya basen) är lika (i matris-vektorform skrivs detta som ). Det vill säga att vektorns koordinater omvandlas tillbaka till basen. Denna egenskap hos en koordinattransformation kallas kontravarians . $\{e'_{i}\}=(e'_{1},e'_{2},...,e'_{n})$ ${\displaystyle e'_{i}=e_{i'}=c_{i'}^{i}e_{i))$ ${\displaystyle (c_{i'}^{1},c_{i'}^{2},...,c_{i'}^{n})^{T))$ $C=\{c_{i'}^{i}\}$ $C^{-1}=\{c_{i}^{i'}\}$ $x=x^{i}e_{i}=x^{i}c_{i}^{i'}e_{i'}=(x^{i}c_{i}^{i'} )e'_{i}$ $x^{i'}=x^{i}c_{i}^{i'}$ $x'=C^{-1}x$

Kovarians av linjära funktionaler

Om koordinaterna för något objekt kommer att transformeras som bas, det vill säga med hjälp av bastransformationsmatrisen, kallas detta kovarians . Ett exempel på ett kovariant objekt är de så kallade kovektorerna - dessa är linjära funktionaler ( linjära former ) på rymden . Detta kräver en förklaring. På grund av linjäritet bildar uppsättningen av alla sådana funktionaler också ett vektorrum , som kallas dual to och har samma dimension som . Linjära funktionaler (former) är alltså vektorer av det dubbla rummet. De blir kovektorer (kovarianta tensorer av rang 1) i kraft av bindning till huvudutrymmet , nämligen det specifika valet av basen för det dubbla rummet, unikt bestämt av basen för rummet . I en given rymdbas är en godtycklig linjär form lika med . Vektorkoordinaterna kan tolkas som också linjära funktioner som associerar varje vektor med dess motsvarande koordinat: . Dessa linjära funktionaler är en bas i det dubbla rummet och kallas den dubbla (eller dubbla) basen (till basrummets bas). Följaktligen representeras en godtycklig linjär form som: , det vill säga också som en uppsättning koordinater (de skrivs som en radvektor, i motsats till kolumnvektorn med koordinater för huvudrymdsvektorerna). $V$ $V^*$ $V$ $V$ $V$ $V$ $V$ ${\displaystyle f(x)=f(x^{i}e_{i})=f(e_{i})x^{i}=f_{i}x^{i))$ $x^i$ $x^{i}=e^{i}(x)$ ${\displaystyle f(x)=f_{i}e^{i))$ $(f_{1},f_{2},...,f_{n})$

I den nya basen har vi: , var är koordinaterna för den linjära formen i den nya dubbla basen . De omvandlas med samma övergångsmatris från den gamla rymdbasen till den nya . Detta kan förklaras utan formler: en linjär funktionell är en vektor i rymden , därför, när man ändrar basen i den, ändras dess koordinater tillbaka till sin bas, men denna dubbla bas ändras i sin tur omvänt till förändringen i basen i rymden ( eftersom dessa är koordinaterna för vektorer i själva verket). Som ett resultat transformeras koordinaterna för den linjära funktionen på samma sätt som basen för huvudrummet. Därför kallas de kovektorer med avseende på huvudutrymmet. $f(x)=f(x^{i'}e_{j'})=f(e_{i'})x^{i'}=f(c_{i'}^{i}e_ {i})e^{i'}(x)=f(e_{i})c_{i'}^{i}e^{i'}=(f_{i}c_{i'}^{i })e^{i'}=f_{i'}e^{i'}$ ${\displaystyle f_{i'}=f_{i}c_{i'}^{i))$ ${\displaystyle \{e^{i'}(x)\))$ $C=\{c_{i'}^{i}\}$ $V$ $f'=fC$ $V^*$ $V$

Anteckningar

1. I fallet med ortonormala baser transponeras basens inversa transformationsmatris helt enkelt: , därför , det vill säga om koordinaterna för den linjära formen inte skrivs som en radvektor utan som en kolumnvektor, då är regeln för att transformera koordinaterna för den linjära formen kommer inte att skilja sig från regelvektortransformationerna. Under övergångar mellan ortonormala baser (rotationer eller förändringar i basens orientering) skiljer sig således inte den kovarianta transformationen från den kontravarianta. ${\displaystyle C^{T}=C^{-1))$ ${\displaystyle (fC)^{T}=C^{T}f^{T}=C^{-1}f^{T))$

2. I utrymmen med en (pseudo) skalär produkt ((pseudo) euklidiska utrymmen), är utrymmet kanoniskt isomorft till utrymmet , det vill säga de kan identifieras (varje linjär funktion representeras som en skalär produkt av en fast vektor och vektorargumentet för funktionen , det vill säga , respektive mellan och det finns en en-till-en-överensstämmelse). Därför kan en vektor och en kovektor i huvudsak betraktas som ett objekt. I detta avseende tror man att samma vektor (i det allmänna fallet en tensor) enkelt kan representeras både i kontravarianta och kovarianta koordinater. Detta görs ofta, till exempel inom fysiken, där tensorer vanligtvis betraktas antingen i geometriskt tredimensionellt rum eller i fyrdimensionellt rum-tid. $V^*$ $V$ $a\in V$ $x \i V$ $f(x)=(a,x)$ $a$ $f$

Exempel på omräkning av koordinater vid ändring av underlag

Ett exempel på omräkning av koordinaterna för en vektor vid ändring av basen

Låt oss betrakta någon vektor i något tvådimensionellt euklidiskt utrymme ( euklidiskt plan ), som avbildas i figuren till höger som en riktad grön pil. I någon grund (den är markerad röd i figuren) på ett plan som består av vektorer och , denna vektor har koordinater , det vill säga (vektorn i sig beror inte på valet av basen och är inställd oberoende av den). $v$ ${\color {red}e_{1}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ ${\color {red}e_{2}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$ ${\color {limegreen}v}={\color {red}e_{1}}+2\color {red}e_{2}$ $v$

Nu introducerar vi en ny grund , erhållen från den första genom att slå på i positiv riktning. Låt oss expandera vektorerna , i termer av basen , och beteckna med vektorns - e koordinat , då $\color {blå}f_{1}$ $\color {blå}f_{2}$ ${\displaystyle 45^{\circ ))$ $\color {blå}f_{1}$ $\color {blå}f_{2}$ $\color {red}e_{1}$ $\color {red}e_{2}$ ${\displaystyle c_{i}^{j))$ $j$ $\color {blå}f_{i}$

f i = c i ett e ett + c i 2 e 2 = c i j e j , i = ett , 2 , {\displaystyle {\color {blue}f_{i}}=c_{i}^{1}{\color {red}e_{1}}+c_{i}^{2}{\color {red}e_ {2}}=c_{i}^{j}{\color {red}e_{j}},\quad i=1,2,}

{\color {blue}f_{i}}=c_{i}^{1}{\color {red}e_{1}}+c_{i}^{2}{\color {red}e_ {2}}=c_{i}^{j}{\color {red}e_{j}},\quad i=1,2,

Uppenbarligen . _ Följaktligen har övergångsmatrisen från bas till bas formen . ${\color {blue}f_{1}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}} }\end{pmatrix}}$ ${\color {blue}f_{2}}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2} }}\end{pmatrix}}}$ $(c_{i}^{j})$ $\color {red}e_{1}$ $\color {red}e_{2}$ $\color {blå}f_{1}$ $\color {blå}f_{2}$ $C=\{c_{i}^{j}\}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt { 2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}$

Eftersom de gamla koordinaterna är relaterade till de nya som respektive i matrisformen ser det omvända beroendet av koordinaterna i den nya basen på koordinaterna i den gamla ut som i tensornotationen som , och i matrisnotationen som . Inversen av matrisen är lätt att hitta i det här fallet: . Följaktligen är koordinaterna för vektorn i den nya basen ${\color {limegreen}v}={\tilde {v}}^{i}{\color {blue}f_{i}}={\tilde {v}}^{i}c_{i} ^{j}{\color {red}e_{j}}=v^{j}{\color {red}e_{j}}$ $v^{j}=c_{i}^{j}{\tilde {v}}^{i}$ $v=C{\tilde {v}}$ ${\tilde {v}}^{i}=c_{j}^{i}v^{j}$ ${\tilde {v}}=C^{-1}v$ $C^{-1}=C^{T}=\{c_{j}^{i}\}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2))}& {\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix }}$

v ~ = ( ett 2 ett 2 − ett 2 ett 2 ) ( ett 2 ) = ( 3 2 ett 2 ) = ( 3 2 2 2 2 ) {\displaystyle {\tilde {v}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{ \frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}} ={\begin{pmatrix}{\frac {3}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix} {\frac {3{\sqrt {2}}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{pmatrix}}} ${\tilde {v}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{ \frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}} ={\begin{pmatrix}{\frac {3}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix} {\frac {3{\sqrt {2}}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{pmatrix}}$

Det kan ses att vektorns koordinater i den nya basen verkligen skiljer sig från koordinaterna i den gamla basen (som redan sågs från figuren), medan vektorn själv , som ett element i rymden, inte beror på valet av basen (geometriskt har den gröna pilen inte ändrats på något sätt) . $\color {limegreen}v$

Ett exempel på omräkning av koordinaterna för en linjär funktionell

Linjära funktionaler är kovektorer (kovarianta tensorer av rang 1), därför omvandlas deras koordinater när basen ändras på samma sätt som basen (med samma matris). Betrakta till exempel samma tvådimensionella euklidiska rymd med samma initiala röda bas och gröna vektor.

Låt i denna bas (mer exakt, i dualen till den) någon linjär funktional ha koordinater (1,1) (det kan visas att en sådan funktional hittar en projektion på vektorns riktning (1,1) och multiplicerar den Till exempel, för den gröna vektorn från figuren är värdet på den funktionella 1 + 2 = 3. Värdet på den funktionella bör inte bero på basen. Låt oss visa detta med exemplet på en ny bas, där axeln erhålls genom att vrida 45 grader moturs, och axeln lämnas oförändrad. Transformationsmatrisen för basen kommer att se ut som: , och de nya koordinaterna för den linjära funktionalen kommer att vara lika med . Den inversa transformationsmatrisen för basen är .Using det, vi hittar koordinaterna för vektorn v i den nya basen . Följaktligen kommer värdet på den linjära funktionella av vektorn i den nya basen att vara: , det vill säga vi fick samma värde som i den ursprungliga basen . $\varphi(x)$ ${\sqrt {2}}$ $v$ ${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$ $x$ $y$ $C=\{c_{i}^{j}\}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&1\end{pmatrix}}$ $\varphi =(1,1){\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&1\ end{pmatrix}}=({\frac {2}{\sqrt {2}}},1)$ $C^{-1}={\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}&0\\-1&1\end{pmatrix}}$ $v={\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}&0\\-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}={\begin{ pmatrix}{\sqrt {2}}\\1\end{pmatrix}}$ $({\frac {2}{\sqrt {2}}},1){\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}\\1\end{pmatrix}}=3$

Värdet på den linjära funktionalen beror inte på den valda basen, utan beror bara på vektorargumentet, som inte heller beror på basen, men i koordinatnotationen beror både vektorn och covektorn på basen.

Definitioner

Det finns flera väsentligen likvärdiga definitioner av tensorer. Deras ekvivalens beror på det faktum att mellan uppsättningar av objekt (inklusive tensoroperationer och relationer mellan dem) som genereras av dessa definitioner, kan man upprätta en en-till-en-överensstämmelse (de säger att utrymmena för dessa objekt är isomorfa till varandra) .

Tensor som en uppsättning komponenter (multiindexobjekt)

Allmän definition. Koordinattransformationsregel

En typtensor på ett vektorrum (dimension ) är ett objekt specificerat på en godtycklig basis av en uppsättning siffror (vart och ett av indexen kan ta värden från 1 till ), som, när man flyttar till en annan bas , ändras enligt följande lag (Einstein-regeln tillämpas): $(_{r}^{s})$ $V$ $n$ $\{e_{i}\}$ $T_{j_{1}j_{2}\dots j_{r}}^{i_{1}i_{2}\dots i_{s}}$ $n$ $\{e_{i}^{'}\}$

T_{j'_{1}j'_{2}\dots j'_{r}}^{i'_{1}i'_{2}\dots i'_{s}}= T_{j_{1}j_{2}\dots j_{r}}^{i_{1}i_{2}\dots i_{s}}c_{i_{1}}^{i'_{1}} c_{i_{2}}^{i'_{2}}\dots c_{i_{s}}^{i'_{s}}c_{j'_{1}}^{j_{1}} c_{j'_{2}}^{j_{2}}\dots c_{j'_{r}}^{j_{r}}

det vill säga en gång med den inversa matrisen av basens transformationsmatris och en gång med basens transformationsmatris. Med andra ord, inom ramen för denna definition är en tensor en array av komponenter + lagen för transformation av komponenter vid byte av bas. $s$ $r$

Numret kallas valens eller rang av tensor, - kontravariant valens, - kovariant valens. De säger också - gånger kontravariant och - gånger covariant tensor. Antalet tensorkomponenter (en uppsättning tal som representerar en tensor i en given bas) är . $s+r$ $s$ $r$ $s$ $r$ $n^{s+r}$

Följaktligen följer det av denna definition att vektorn för ett utrymme är en tensor av typ , och covektorn för detta utrymme är en tensor av typ . För enkelhetens skull tror man att typen tensor är själva fältet för reella tal, det vill säga skalärer som inte förändras när basen ändras. $V$ $(_{0}^{1})$ $(_{1}^{0})$ $(_{0}^{0})$

Koordinera transformationer i särskilda fall

För en rymdvektor , som är en kontravariant tensor av rang 1 , kommer koordinattransformationsformeln vid ändring av basen att ha formen , eller i matrisform: , där är kolumnvektorerna för koordinaterna för vektorn x i den gamla basen och den nya grunden. $x$ $V$ $x^i$ ${\displaystyle x^{i'}=x^{i}c_{i}^{i'}=c_{i}^{i'}x^{i))$ $\mathbf {x} '=C^{-1}\mathbf {x}$ $\mathbf {x} ,\mathbf {x} '$

För en linjär form - en kovariant tensor av rang 1, kommer koordinattransformationsformeln att se ut som: , eller i matrisform , där är radvektorerna för koordinater för den linjära formen i den gamla och nya basen. $f(x)$ $f_{i}$ ${\displaystyle f'_{i}=f_{i'}=f_{i}c_{i'}^{i))$ $\mathbf {f} '=\mathbf {f} C$ $\mathbf {f} ,\mathbf {f} '$ $f$

För en bilinjär form (en dubbelt kovariant tensor ) är koordinattransformationsformeln: $B:V^{2}\rightarrow R$ ${\displaystyle B_{ij))$

$B'_{ij}=B_{i'j'}=B_{ij}c_{i'}^{i}c_{j'}^{j}=c_{i'}^{i} B_{ij}c_{j'}^{j}=C^{T}BC$

För en linjär operator (en gång kovariant och en gång kontravariant tensor ) är formeln för koordinatomräkning: $A:V\rightarrow V$ ${\displaystyle A_{i}^{j))$

$A_{i'}^{j'}=A_{i}^{j}c_{i'}^{i}c_{j}^{j'}=c_{j}^{j'} A_{i}^{j}c_{i'}^{i}=C^{-1}AC$

Pseudotensorer

Pseudotensorer är algebraiska objekt vars koordinater transformeras på samma sätt som tensorer, förutom förändringen i orienteringen av basen - i det här fallet ändrar pseudotensorer tecken, till skillnad från sanna tensorer. Formellt betyder detta att det i koordinattransformationslagen är nödvändigt att lägga till en faktor lika med tecknet för bastransformationsmatrisens determinant: . $sign(det(C))$

Särskilda fall av pseudotensorer är pseudoskalärer och pseudovektorer . Ett exempel på en pseudoskalär är den så kallade orienterade volymen . Ett exempel på en pseudovektor är resultatet av en korsprodukt i 3D-rymden, såsom vinkelmomentvektorn . Levi-Civita-symboler är också pseudotensorer .

Multiindexobjekt som inte är tensorer

Varje uppsättning tal (till exempel en matris), i frånvaro eller inkonsekvens av lagen om deras förändring när grunden för rymden ändras med tensorlagen för koordinattransformation, är inte en tensor. Multiindexobjekt som är lika med noll i minst en bas (alla koordinater i denna bas är lika med noll) är inte heller tensorer.

Det finns objekt som liknar tensorer (standardoperationer med tensorer är tillämpliga på dem, till exempel faltning med vektorer eller andra tensorer), men omvandlingens lag är inte tensor när man ändrar basen. Ett klassiskt men komplext exempel på sådana objekt är Christoffel-symbolerna , som betecknar komponenterna i den så kallade kopplingen (en oändligt liten parallellöversättning av en vektor längs en kurva) i Riemannska grenrör - deras transformationslag är inte tensoriell. Konvolution av de anslutna komponenterna med en vektor ger emellertid en reell vektor, och deras skillnad är en reell tensor ( torsionstensor ). Christoffel-symbolerna, som alla anslutningskoefficienter på bunten , är element i ett mer komplext utrymme än utrymmet för tensor -jet-buntar . ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i))$

Tensorerna inkluderar inte heller själva koordinattransformationsmatriserna ( Jacobi matriser ), som är ett specialfall av en diffeomorfism mellan två grenrör, med vars hjälp den klassiska definitionen av en tensor introduceras, även om de i många av deras egenskaper liknar dem. en tensor. För dem kan du även ange upphöjda och nedsänkta, multiplikations-, additions- och faltningsoperationer. Men till skillnad från tensorn, vars komponenter endast beror på koordinaterna på det givna grenröret, beror komponenterna i den jakobiska matrisen också på koordinaterna på grenrörsbilden. Denna skillnad är uppenbar i fallet när Jacobi-matriserna för en diffeomorfism av två godtyckliga grenrör beaktas, men när grenröret kartläggs i sig självt kan det förbises, eftersom tangentutrymmena i bilden och förbilden är isomorfa (inte kanoniska) . Det består dock. Analogin mellan Jacobi-matriser och tensorer kan utvecklas genom att överväga godtyckliga vektorbuntar över ett grenrör och deras produkter, och inte bara tangent- och cotangentbuntarna.

Tensor som en multilinjär funktion

Allmän definition

En typtensor är en multilinjär funktion (multilinjär form) , det vill säga en numerisk funktion av argument av följande form , där är linjära funktionaler på och är rymdvektorer . $(_{r}^{s})$ $T\colon (V^{*})^{s}\times V^{r}\to R$ $s+r$ $T(f_{1},f_{2},...,f_{s},x_{1},x_{2},...,x_{r})$ $f_{i}$ $V$ $x_{j}$ $V$

Tensorkoordinaterna på någon grund kommer att vara värdena för den multilinjära funktionen på olika kombinationer av basvektorer: $T_{j_{1}j_{2}...j_{r}}^{i_{1}i_{2}...i_{s}}=T(e^{i_{1}} ,e^{i_{2}},...,e^{i_{s}},e_{j_{1}},e_{j_{2}},...,e_{j_{r}} )$

Multilinjära funktioner på V som kovarianta tensorer

På ett mellanslag är multilinjära funktioner numeriska funktioner för flera vektorargument i detta utrymme, linjära i vart och ett av argumenten: . Linjäritet med avseende på varje argument innebär att dessa funktioner kan betraktas som linjära funktionaler med avseende på varje argument, om de andra argumenten är fixerade. $V$ $f(v_{1},v_{2},...,v_{r})$

Multilinjära funktioner av vektorargument i rymden är tensorer av typen , det vill säga - gånger kovarianta tensorer (kovektorer var ett särskilt fall av denna typ av tensorer). Faktum är att om vi betraktar en sådan tensor som en funktion , då när vi representerar var och en av vektorerna som en linjär kombination av vektorer av rymdbasen, på grund av funktionens multilinjäritet, får vi: $r$ $V$ $(_{r}^{0})$ $r$ $T(v_{1},v_{2},...,v_{r})$

$T(x_{1}^{i_{1}}e_{i_{1}},x_{2}^{i_{2}}e_{i_{2}},...,x_{r }^{i_{r}}e_{i_{r}})=x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}...x_{r}^{i_{ r}}T(e_{i_{1}},e_{i_{2}},...,e_{i_{r}})=T_{i_{1}i_{2}...i_{r }}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}...x_{r}^{i_{r}}$

var är koordinatuttrycket för den multilinjära funktionen, och produkterna är den dubbla basen för utrymmet dual till . Det vill säga, multilinjära funktioner bildar ett vektorutrymme dual till . När du ändrar basen i huvudutrymmet i det dubbla rummet ändras basen tillbaka, och vektorerna för det dubbla rummet självt (det vill säga i det här fallet multilinjära funktioner) ändras tillbaka till sin bas, och därför, liksom basen för huvudutrymmet. Således transformerar multilinjära funktioner på rymden kovariant i koordinatrepresentationen och är -tider kovarianta tensorer. $T_{i_{1}i_{2}...i_{r))$ $x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}...x_{r}^{i_{r}}$ ${\displaystyle (V^{*})^{r))$ ${\displaystyle (V)^{r))$ ${\displaystyle (V)^{r))$ $V$ $r$

Ett klassiskt exempel på tensorer av typen (dubbelt kovariant tensor) är bilinjära former - numeriska funktioner av två argument-vektorer av rymden , linjära i vart och ett av argumenten. I koordinatrepresentationen skrivs det som en matris av komponenter - bilinjära värden på par av basvektorer. När basen ändras omvandlas matrisen för den bilinjära formen till , där C är basens transformationsmatris. $(_{2}^{0})$ $g(x,y)$ $A$ $A'=C^{T}AC$

Multilinjära funktioner på V* som kontravarianta tensorer

På liknande sätt kan man visa att multilinjära funktioner på det dubbla rummet är typtensorer på grund av koordinattransformationens kontravarianta natur. ${\displaystyle (V^{*})^{s))$ $(_{0}^{s})$

Det är något svårare att förstå i denna definition att de kontravarianta tensorerna av typen är vektorer av rymden . Poängen är att linjära funktionaler på utrymmet också bildar utrymmet dual till k — det andra dubbla rummet, betecknat med . Emellertid kan det visas att för ändligdimensionella vektorutrymmen är det andra dubbla rummet kanoniskt isomorft till det ursprungliga vektorutrymmet , det vill säga utrymmena och kan identifieras. Därför kan linjära funktionaler på det dubbla utrymmet identifieras med utrymmets vektorer , dessa är tensorer av typen $(_{0}^{1})$ $V$ $V^{*}$ $V^{*}$ $V^{**}$ $V^{**}$ $V$ $V$ $V^{**}$ $V^{*}$ $V$ $(_{0}^{1})$

Multilinjära funktioner som linjära mappningar

På liknande sätt kan det visas att lagen för transformation av allmänna multilinjära funktioner också motsvarar tensoren.

Vad som inte är uppenbart från denna definition är att de linjära operatorerna på är tensorer av typen . Icke desto mindre, om vi betraktar en multilinjär funktion , där är en rymdvektor, och är en linjär funktion (en vektor av det dubbla rummet), så är en sådan funktion för en fast helt enkelt en linjär funktion på rummet , det vill säga ett element av utrymmet . Som noterats ovan är detta utrymme identiskt med det ursprungliga utrymmet , vilket innebär att en annan vektor av samma utrymme är associerad med denna funktion för en fast, och samtidigt är en sådan mappning linjär. Följaktligen identifieras multilinjära funktioner av typen med linjära operatorer på . $V$ $(_{1}^{1})$ $T(f,x)$ $x$ $f$ $x$ $V^*$ $V^{**}$ $V$ $x$ $y$ $T(f,x)$ $V$

Om man argumenterar på liknande sätt kan man visa att linjära mappningar är tensorer av typ och, mer generellt, linjära mappningar är tensorer av typ . $L:V^{r}\rightarrow V$ $(_{r}^{1})$ $L:V^{r}\rightarrow V^{s}$ $(_{r}^{s})$

Tensor som ett element av tensorprodukten av vektorrum

Allmän definition

Rangstensorn över ett dimensionellt vektorrum är ett element i tensorprodukten av utrymmen och konjugerade utrymmen (det vill säga utrymmen av linjära funktionaler ( kovektorer ) på ) $(s,r)$ $n$ $V$ $s$ $V$ $r$ $V^*$ $V$

\tau \in \underbrace {V\otimes \ldots \otimes V} _{s}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \ldots \otimes V^{*}} _{r}= \left(\bigotimes _{i=1}^{s}V\right)\otimes \left(\bigotimes _{i=1}^{r}V^{*}\right)=(\otimes ^{ s}V)\otimes (\otimes ^{r}V^{*})=\otimes _{r}^{s}V=T_{r}^{s}(V).

Förklaringar om tensorprodukten

Denna definition anses modern, men kräver en preliminär förklaring av det svåra konceptet med tensorprodukten av vektorrum. Tensorprodukten av vektorrum är ett vektorrum som är associerat med dessa vektorrum genom en multilinjär mappning , det vill säga varje element i den kartesiska (direkta) produkten av vektorrum är associerat med ett element av rymd och varje polylinjär form på dessa vektorrum motsvarar en linjär form i rymden . $W$ $W$ $W$

Tensorprodukten av vektorer är lättare att definiera i koordinatrepresentation: det är en vektor vars koordinater är alla möjliga produkter av koordinaterna för de "multiplicerade" vektorerna. Till exempel, om två vektorer x och y i dimensionsrymden "multipliceras" är deras tensorprodukt en dimensionsvektor vars koordinater är lika med talen , där indexen går genom alla möjliga värden från 1 till (det är bekvämt att skriva dessa koordinater som en kvadratisk matris ). I vektorform kommer erhållandet av denna matris-tensorprodukt att skrivas som eller beroende på multiplikationsordningen (inte att förväxla med eller - i dessa fall erhålls bara ett tal). Tensorprodukten är icke-kommutativ, det vill säga ordningen på de multiplicerade vektorerna påverkar resultatet (uppsättningen av tal är densamma, men som ordnade uppsättningar av tal skiljer de sig åt). I själva verket är tensorprodukter av vektorer vissa tensorer (de multiplicerade vektorerna beror inte på basen, och därför definieras tensorprodukten oberoende av den, medan varje förändring i basen ändrar koordinatrepresentationen för de multiplicerade vektorerna och deras produkter). $V$ $n$ $z$ $n^{2}$ ${\displaystyle x^{i}y^{j))$ $i,j$ $n$ $n\ gånger n$ $xy^{T}$ $yx^{T}$ $x^{T}y$ $y^{T}x$

Koordinatrepresentation av en tensor

Vi väljer en bas i utrymmet , och följaktligen en dubbel basis i det dubbla utrymmet (det vill säga var är Kronecker-symbolen ). $V$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots ,\mathbf {e} _{n}\))$ ${\displaystyle \{\mathbf {f} ^{1},\mathbf {f} ^{2},\ldots ,\mathbf {f} ^{n}\))$ $V^*$ $(\mathbf{e}_a \cdot \mathbf{f}^b) = \delta_a^b$ $\delta_a^b$

Då, i utrymmet av tensorer , uppstår naturligtvis en grund $\mathrm {T} _{r}^{s}(V)=\otimes _{r}^{s}V$

\{\mathbf {e} _{i_{1}}\,\otimes \,\mathbf {e} _{i_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \,\ mathbf {e} _{i_{s}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{1}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{2}}\,\ ibland \,\ldots \,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{r}}\},\quad 1\leqslant i_{a},j_{b}\leqslant n

En godtycklig tensor kan skrivas som en linjär kombination av grundläggande tensorprodukter: $\tau \in \mathrm {T} _{r}^{s}(V)$

\tau =\sum _{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{r}}\sum _{i_{1},i_{2},\ldots,i_{s}} {\tau _{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{r}}^{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{s}}}\mathbf {e} _ {i_{1}}\,\otimes \,\mathbf {e} _{i_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \,\mathbf {e} _{i_{s}} \,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{1}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \, \mathbf {f} ^{j_{r}}.

Med hjälp av Einstein-konventionen kan denna expansion skrivas som

\tau ={\tau _{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{r}}^{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}}} \mathbf {e} _{i_{1}}\,\otimes \,\mathbf {e} _{i_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \,\mathbf {e} _ {i_{s}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{1}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{r}}.

Siffrorna kallas komponenterna i en tensor . Tensorkomponenternas nedre index kallas kovariant, och de övre indexen kallas kontravarianta. Till exempel skulle expansionen av någon dubbelt kovariant tensor vara: $\tau _{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{r}}^{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{s}}$ $\tau$ $h$

h = \sum_{j,k} h_{jk} \mathbf{f}^j \otimes \mathbf{f}^k

Tensorfält

För så kallade släta grenrör , som inte är i generella vektorrum, kan en tensor ges på det så kallade tangentutrymmet till en punkt i grenröret, eftersom tangentrymden är ett vektorrum. Följaktligen kan tensorn anses vara given vid en punkt av grenröret. Följaktligen är en jämn funktion (tensorvärderad), som tilldelar en tensor till varje punkt i grenröret, ett tensorfält . $M$ $T_{p}M$ $sid$

Ett klassiskt exempel på ett tensorfält, vanligtvis kallat enbart en tensor, är den metriska tensorn i Riemannska grenrör (mellanrum) och används även i allmän relativitetsteori.

Exempel och tillämpningar av tensorer

Exempel på tensorer grupperade efter valens

Kontravariant rang (antal upphöjda)

samvariant rang (antal prenumererade)	0	ett	2	3	s
0	Skalär , vektorlängd , avstånd (relativitetsteori) , skalär krökning	Vektor (algebra) , 4-vektorer i SRT, t.ex. 4-energy-momentum vektor (4-momentum)	Energimomentumtensor i allmän relativitetsteori, bivector, invers metrisk tensor	Spintensor i kvantfältteori	Polictor
ett	Kovektor , linjär form , skalär funktionsgradient	Linjär operator , Kronecker delta $L:V\rightarrow V$
2	Bilinjär form , Punktprodukt , Metrisk tensor , Ricci -tensor , Torsionstensor , Elektromagnetisk fälttensor , Spänningstensor , Töjningstensor , Quadrupolmoment	Linjär display $L:V^{2}\rightarrow V$	Elasticitet (styvhet) tensor
3	Levi-Civita Tensor	Riemann krökningstensor
r	Polyline Shape , Volym Shape	Linjär display $L:V^{r}\rightarrow V$			Linjär display $L:V^{r}\rightarrow V^{s}$

Exempel på tensorer inom olika områden inom matematik och fysik

Tensorer används ofta inom olika grenar av matematik och fysik. Många ekvationer i fysik och matematik, när man använder tensornotation, blir kortare och mer bekväma. Användningen av tensorer gör att man kan se olika symmetrier av fysiska storheter, ekvationer och modeller, samt skriva dem i en allmän kovariansform (oberoende av en specifik referensram).

Inom matematiken är tensorer föremål för studier i tensorkalkyl som innefattar tensoralgebra och tensoranalys . I differentiell topologi och geometri , som studerar släta (inklusive Riemanniska) grenrör, betraktas olika tensorer: tangentvektor , bilinjär form , metrisk tensor , gradient av en skalär funktion, koppling eller kovariansderivata , torsionstensor , Riemann -kurvaturtensor och dess faltningar - Ricci tensor och skalär krökning , etc.

Inom fysiken tenderar termen tensor att gälla endast tensorer över vanligt fysiskt 3-dimensionellt rum eller 4-dimensionellt rumstid, eller, åtminstone, över de enklaste och mest direkta generaliseringarna av dessa utrymmen (även om den principiella möjligheten att tillämpa det i mer allmänna fall kvarstår ). Till exempel kan kvantmekanikens linjäroperatorer tolkas som tensorer över vissa abstrakta rum (tillståndsrum), men traditionellt används en sådan tillämpning av termen tensor praktiskt taget inte, och i allmänhet används den extremt sällan för att beskriva linjära operatorer över oändliga dimensionella utrymmen. Tensorer inom fysiken används i stor utsträckning i teorier som har en geometrisk karaktär (som den allmänna relativitetsteorin ) eller tillåter fullständig eller signifikant geometrisering (praktiskt taget alla moderna fundamentala teorier kan till stor del hänföras till dessa - elektrodynamik , relativistisk mekanik , etc. .), och även i teorin om anisotropa medier (som kan vara anisotropa initialt, som kristaller med låg symmetri, eller på grund av deras rörelse eller spänningar, som en strömmande vätska eller gas , eller som en deformerad fast kropp). Dessutom används tensorer i stor utsträckning inom stelkroppsmekanik . De flesta tensorer inom fysiken (utan hänsyn till skalärer och vektorer) är av den andra rangen (med två index). Tensorer med stor valens (som Riemann-tensoren i allmän relativitet) förekommer som regel endast i teorier som anses vara ganska komplexa, och även då uppträder de ofta huvudsakligen i form av sina veckningar av lägre valens. De flesta tensorer i fysiken är symmetriska eller antisymmetriska.

Nedan finns en tabell över tillämpningen av tensorer i fysik efter riktning.

Vetenskapsavdelningen	Tensorer och deras tillämpningar
Special Relativity (SRT)	4-vektorer , inklusive 4-vektor av koordinater i 4-dimensionell Minkowski rumtid, metrisk tensor , intervall (relativitetsteori) ("längd" i detta utrymme); 4-tensorer används för att beteckna vilken tensor som helst över fyrdimensionell rum-tid, där ramrotationer inkluderar både vanliga rotationer av tredimensionellt rymd och övergången mellan referensramar som rör sig med olika hastigheter i förhållande till varandra. Det är en tensor över utrymmet av 4-vektorer , en tensor vars index tar fyra värden: en "tid" och tre "spatial". Ett exempel är 4-momentum ( 4-energi-momentum vektor );
Allmän relativitet (GR)	metrisk tensor över ett pseudo-Riemannskt 4-dimensionellt grenrör, vilket i allmän relativitet är en utveckling av begreppet Newtons gravitationspotential och veckningarna av Riemann-kurvaturtensorn som härrör från den - Ricci-tensorn och den skalära krökningen (faltning av Ricci tensor), associerad i samma teori med gravitationsfältets energi och direkt inkluderad i teorins huvudekvation (på vänstra sidan av Einstein-ekvationen bildar de tillsammans den så kallade Einstein-tensorn ), energimomentet tensor av materialfälten som ingår i den högra sidan av Einsteins ekvation
Klassisk elektrodynamik	Den elektromagnetiska fälttensorn över Minkowski-rymden, som innehåller styrkorna hos de elektriska och magnetiska fälten och är huvudobjektet för klassisk elektrodynamik i 4-dimensionell notation. Speciellt är Maxwells ekvationer skrivna med den som en enda 4-dimensionell ekvation.
Teori om elasticitet och kontinuummekanik	Tensorer av den andra rangen över det 3-dimensionella fysiska utrymmet Töjningstensorn och spänningstensorn , anslutna till varandra genom elasticitetstensorn av den fjärde rangen. Elasticitetsmoduler tillämpas också .
kvantfältteori	I den relativistiska fältteorin uppstår energimoment-tensorn och Spin-tensorn , som i QFT tar formen av linjära operatorer över tillståndsvektorn
Kinematik för en stel kropp	Den viktigaste rollen spelas av tröghetstensorn , som förbinder vinkelhastigheten med rörelsemängden och den kinetiska rotationsenergin. Denna tensor skiljer sig från de flesta andra tensorer inom fysiken, som i allmänhet är tensorfält, genom att en tensor kännetecknar en absolut stel kropp, och bestämmer, tillsammans med massan, dess tröghet.
Fältteori	Quadrupolmoment och i allmänhet tensorer som ingår i multipolexpansionen : endast en tensor representerar helt och hållet momentet för distribution av laddningar av motsvarande ordning vid en given tidpunkt.
andra avsnitt	Många kvantiteter, som är skalära egenskaper hos ett ämne i fallet med isotropi av det senare, är tensorer i fallet med ett anisotropt ämne. Mer specifikt avser detta betydande koefficienter som förbinder vektorkvantiteter eller står framför produkter (i synnerhet kvadrater) av vektorer. Exempel är elektrisk ledningsförmåga (även dess inversa resistivitet ), värmeledningsförmåga , dielektrisk susceptibilitet och permittivitet , ljudhastighet (beroende på riktning), etc. Ofta inom fysiken är Levi-Civita pseudotensor användbar , som ingår t.ex. i koordinatnotationen för vektor och blandade produkter av vektorer. Komponenterna i denna tensor skrivs alltid på nästan samma sätt (upp till en skalär faktor beroende på måtten), och i den rätta ortonormala basen är de alltid exakt likadana (var och en är lika med 0, +1 eller −1) .

Symmetriska och antisymmetriska tensorer

I olika typer av applikationer uppstår ofta tensorer med en viss symmetriegenskap .

En tensor kallas symmetrisk med avseende på två ko-(kontra-)variantindex om den inte ändras från en permutation av dessa index:

{T_{{\underline {j_{1},j_{2}}},\ldots ,j_{r}}^{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{s}} }={T_{{\underline {j_{2},j_{1}}},\ldots ,j_{r}}^{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{s}}} ,\quad \forall j_{1},j_{2}=1..n

eller

{T_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{r}}^{{\underline {i_{1},i_{2}}},\ldots,i_{s}} }={T_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{r}}^{{\underline {i_{2},i_{1}}},\ldots,i_{s}}} ,\quad \forall i_{1},i_{2}=1..n.

När man betraktar en tensor som en multilinjär funktion betyder det att värdet på funktionen inte ändras när dessa två argument byts ut.

Skevsymmetrisk ( skevsymmetri ) eller antisymmetrisk med avseende på två ko-(kontra-)variantindex är en tensor som ändrar tecken när dessa index växlas:

T_{{\underline {j_{1},j_{2}}},\ldots ,j_{r}}^{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{s}}= -T_{{\underline {j_{2},j_{1}}},\ldots,j_{r}}^{i_{1},i_{2},\ldots,i_{s}},\quad \forall j_{1},j_{2}=1..n

eller

T_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{r}}^({\underline {i_{1},i_{2}}},\ldots,i_{s}}= -T_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{r}}^{{\underline {i_{2},i_{1}}},\ldots,i_{s}},\quad \forall i_{1},i_{2}=1..n.

När man betraktar en tensor som en multilinjär funktion betyder det att värdet på funktionen ändrar tecken när dessa två argument byts ut.

Dessa definitioner generaliserar naturligtvis till fallet med fler än två index. En tensor är symmetrisk med avseende på en uppsättning index om tensorn inte ändras för någon permutation av indexen från denna uppsättning. En tensor är antisymmetrisk med avseende på en uppsättning index om den ändrar tecken vid en udda permutation (erhållen genom ett udda antal permutationer av två index) och inte ändrar tecken vid jämna permutationer över denna uppsättning index.

Symmetri eller antisymmetri behöver inte bara täcka angränsande index, det kan inkludera vilka index som helst, dock med hänsyn till följande: symmetri eller antisymmetri kan endast hänvisa till index av samma slag: co- eller contravariant. Symmetrier som blandar sam- och kontravarianta tensorindex är som regel inte mycket meningsfulla, eftersom de, även om de observeras i komponenterna, förstörs när de övergår till en annan referensbas (det vill säga de är inte invarianta). Men i närvaro av en metrisk tensor eliminerar närvaron av indexhöjnings- eller sänkningsoperationer denna olägenhet, och begränsningen till detta tas i huvudsak bort när tensorn representeras på ett lämpligt sätt (till exempel är Riemann-kurvaturtensorn antisymmetrisk i de två första och två sista indexen). $R_{mjkl}=g_{im}R^i_{jk\ell}$

Det finns också mer komplexa symmetrier, som den första Bianchi-identiteten för krökningstensorn.

Tensoroperationer

Linjära standardoperationer

Tensorer med samma valens är beståndsdelar i något linjärt utrymme och tillåter operationer av summering och multiplikation med en skalär , liknande operationer på ett godtyckligt linjärt utrymme. När man multiplicerar med en skalär multipliceras varje komponent i tensorn med den (likt att multiplicera en vektor med en skalär). När man lägger till tensorer läggs komponenterna till dessa tensorer till (även liknande vektorer).

Tensor produkt

Tensorproduktens operation definieras mellan tensorer av godtycklig valens .

I koordinatrepresentationen är komponenterna i en tensorprodukt i huvudsak alla möjliga produkter av motsvarande komponenter i de multiplicerade tensorerna, till exempel . $P^{ij}_{\ \ kl}\ = A^{ij} B_{kl}$

När man betraktar tensorer som multilinjära funktioner, är tensorprodukten en multilinjär funktion lika med produkten av multiplikator-multilinjära funktioner. Följaktligen, om en faktor innehåller argument, den andra - , så är deras produkt en funktion av argumenten: $(s,r)$ $(s',r')$ $(s+s',r+r')$

$\varphi _{r+r'}^{s+s'}=\sigma _{r}^{s}\otimes \tau _{r'}^{s'}=\varphi (f_{ 1},..f_{s+s'},x^{1},..,x^{r+r'})=\sigma (f_{1},..,f_{s},x^ {1},..,x^{r})\tau (f_{s+1},..,f_{s+s'},x^{r+1},..,x^{r+ r '})$

Följaktligen är produkten av ranktensorn och ranktensorn den totala ranktensorn . $(s,r)$ $(s',r')$ $(s+s',r+r')$

Detta är ännu mer uppenbart om vi använder definitionen av en tensor som ett element i en tensorprodukt, nämligen om och sedan deras produkt $\sigma \in T_{r}^{s}=\otimes _{r}^{s}V$ $\tau \in T_{r'}^{s'}=\otimes _{r'}^{s'}V$

\sigma \otimes \tau \in T_{r+r'}^{s+s'}=T_{r}^{s}\otimes T_{r'}^{s'}=(\otimes _{r}^{s}V)\otimes (\otimes _{r'}^{s'}V)=\otimes _{r+r'}^{s+s'}V

Tensorproduktoperationen gör alltså mängden av alla tensorrum på ett givet vektorrum till en så kallad dubbelgradig algebra . $\otimes V$

Convolution

Regeln för summering av det så kallade tysta indexet som ingår i Einsteins notation (när vissa övre och nedre index betecknas med samma bokstav i notationen) definierar faktiskt en specifik tensoroperation som kallas faltning.

Tensorfaltning

Tensorfaltning - en operation som sänker valensen för en tensor, beräknas genom att summera ett par index (övre och nedre, om de skiljer sig åt) och löpa igenom, förbli lika med varandra, alla deras värden, till exempel:

{\displaystyle A_{jkl}^{ji}=\sum _{j}A_{jkl}^{ji}=A_{kl}^{i))

Den slutliga tensorn betecknas vanligtvis med samma bokstav, trots att detta redan är en tensor av en annan rang (antalet index) som är 2 mindre än rangen för den ursprungliga tensorn.

I fallet med en tensor av typen (1,1), resulterar faltningen i ett enda tal, kallat spåret av tensoren (i analogi med spåret av spåret av en matris ). Spåret är en invariant (basoberoende) storhet, en skalär (kallas ibland en tensorinvariant ).

Konvolution av flera tensorer

Faltningsoperationen tillämpas också på två eller flera tensorer (inklusive mellan en tensor och en vektor), till exempel:

B_{m}^{i}A_{jk}^{m}=\summa _{m}B_{m}^{i}A_{jk}^{m}=C_{jk}^{i }

Denna operation kan reduceras till successiv tensormultiplikation av dessa tensorer: och sedan faltning av den resulterande tensorn . Uppenbarligen är denna operation linjär i alla ingångskanaler. Således implementerar faltning med en tensor en linjär eller multilinjär mappning av tensorutrymmen på ett tensorutrymme (i det allmänna fallet på ett annat), i synnerhet vektorer på vektorer och vektorer på skalärer. ${\displaystyle B_{l}^{i}A_{jk}^{m}=C_{ljk}^{im))$ ${\displaystyle C_{mjk}^{im}=C_{jk}^{i))$

Konvolutionen av en vektor med en tensor i rang två är verkan av en linjär operator som definieras av denna tensor på vektorn:

{\displaystyle A_{j}^{i}v^{j}=\sum _{j}A_{j}^{i}v^{j}=u^{i))

Den (enkla) faltningen av två tensorer med valens två implementerar sammansättningen av linjära operatorer som definieras av dessa tensorer:

B_{k}^{i}A_{j}^{k}=\summa _{k}B_{k}^{i}A_{j}^{k}=C_{j}^{i }

Att konvolvera en vektor och en kovektor ger en skalär - kvadraten på vektorns längd: ${\displaystyle x^{i}x_{i))$ $d^{2}$

Sänka och höja indexet

I utrymmen med en metrisk tensor (euklidiska och pseudo-euklidiska utrymmen, riemannska och pseudo-riemannska grenrör) definieras operationerna för att sänka och höja index av faltning med den metriska tensorn (sådana operationer ändrar karaktären på tensorns valens, lämnar den totala rangordningen för tensorn oförändrad):

${\displaystyle x_{j}=g_{ij}x^{i))$ - sänkning av index (övergång från vektor till kovektor)

${\displaystyle x^{i}=g^{ij}x_{i))$ - lyfta indexet (övergång från en kovektor till en vektor) med en kontravariant metrisk tensor (dess matris är omvänd till den vanliga kovarianta metriska tensoren)

$R_{mjkl}=g_{im}R^i_{jk\ell}$ — Riemann-kurvaturtensorn av typ (1,3) omvandlas till en helt samvariant tensor av typ (0,4)

Operationerna med att sänka och höja index tillåter en att bestämma invarianterna för helt kovarianta eller helt kontravarianta tensorer. Till exempel kan en dubbelt kovariant Ricci-tensor reduceras till en blandad form och den resulterande tensorn kan konvolveras. Dessa två operationer kan helt enkelt reduceras till faltningen av Ricci-tensorn med den metriska tensorn över ett par index på en gång: . Det resulterande värdet kallas den skalära krökningen. Det beror inte på valet av bas i rymden. ${\displaystyle R_{j}^{k}=g^{ki}R_{ij))$ ${\displaystyle R=g^{ij}R_{ij))$

Symmetrisering och antisymmetrisering

Symmetri och antisymmetri är konstruktionen av en tensor av samma typ med en viss typ av symmetri. Till exempel är en symmetriisering av en tensor en symmetrisk tensoroch en antisymmetrisering är en antisymmetrisk tensor. $T_{ij}$ $\scriptstyle T_{(ij)} = {1\över 2}\left(T_{ij}+T_{ji}\right)$ $\scriptstyle T_{[ij]} = {1\över 2}\left(T_{ij}-T_{ji}\right)$

I det allmänna fallet har symmetriseringen med avseende på index formen $n$

T_{(i_1\ldots i_n)} = {1\över n!}\sum_{\sigma} T_{\sigma(i_1)\ldots \sigma(i_n)},

och antisymmetrisering (alternering):

T_{[i_1\ldots i_n]} = {1\över n!}\sum_{\sigma} \mathrm{tecken}\,(\sigma) T_{\sigma(i_1)\ldots \sigma(i_n)}

Här är alla möjliga permutationer av index och är pariteten för permutationen . $\sigma$ $i_1,\ldots,i_n,$ $\mathrm{tecken}\,(\sigma)$ $\sigma.$

Naturligtvis är det inte nödvändigt att symmetriska tensorn med avseende på alla index, detta används här endast för att förenkla notationen.

Om den är symmetrisk i så sammanfaller symmetriseringen med avseende på dessa index med och antisymmetriseringen ger en nolltensor. På samma sätt, i fallet med antisymmetri med avseende på vissa index. $T_{i_1\ldots i_n}$ $i_1\ldots i_n,$ $T,$

Om då Här är en symmetrisk , och är den yttre produkten av vektorrum. $T_{ij} \in V\otimes V,$ $T_{(ij)} \in V \vee V,$ $T_{[ij]} \in V \wedge V.$ $\vee$ $\kil$

Relaterade begrepp och generaliseringar

Tensorer i oändligt dimensionella utrymmen

Begreppet en tensor kan formellt generaliseras till fallet med oändligt dimensionella linjära utrymmen. Generaliseringar av tensorer till topologiska utrymmen utförs genom att introducera en topologisk tensorprodukt.

För den korrekta definitionen av tensorer på sådana utrymmen måste reflexivitetsegenskapen för detta utrymme vara tillfredsställt, det vill säga det måste vara kanoniskt isomorft till dess andra dubbla utrymme (alla finita dimensionella utrymmen har denna egenskap). Då har till exempel definitionen i form av multilinjära funktioner en korrekt betydelse och leder till att vektorer och linjära operatorer på sådana rum är tensorer.

I synnerhet definieras tensorer på Hilbert-utrymmen , och sedan är linjära mappningar på Hilbert-utrymmen tensorer. Men i applikationer (i fysik) används termen "tensor" vanligtvis inte på sådana objekt (till exempel är operatorer i kvantfysik som representerar olika fysiska storheter i huvudsak tensorer i Hilbert-rymden, men de kallas vanligtvis inte sådana).

Deviator och kuldel

Varje tensor av den andra rangen kan representeras som summan av avvikaren och den sfäriska delen : $\sigma_{ij}$ $s_{ij}$

\sigma _{ij}=-p\delta _{ij}+s_{ij},\quad p=-{\frac {\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i }}{N}}.

Här är tensorns egenvärden . Avvikarens egenvärden är relaterade till tensorns egenvärden: . Begreppet avvikare används ofta inom kontinuummekanik. [2] $\sigma_i$ $si}$ $s_{i}=\sigma _{i}+p,\ i=1,\dots ,N$

Se även

Tensorfält
Metrisk tensor
Krökningstensor
Tensor Computing (mjukvara)

Anteckningar

↑ Woldemar Voigt, Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung [Kristallernas grundläggande fysikaliska egenskaper i en elementär presentation] (Leipzig, Tyskland: Veit & Co., 1898), sid. 20. Från sidan 20: "Wir wollen uns deshalb nur darauf stützen, dass Zustände der geschilderten Art bei Spannungen und Dehnungen nicht starrer Körper auftreten, und sie deshalb tensorielle, die für sie charakteristischen physikalischen Grössen aber Tensoren nenen." (Vi vill därför] ha [dem. tensorerna".)
↑ Klimov D. M. , Petrov A. G., Georgievskiy D. V. Viskoplastiska flöden: dynamiskt kaos, stabilitet, blandning. - M., Nauka, 2005. - sid. 21 - ISBN 5-02-032945-2 .

Litteratur

Akivis M. A., Goldberg V. V. Tensorkalkyl. — M .: Nauka, 1969;
Vinberg E. B. Algebrakurs. 3:e uppl. - M. : MTSNMO, 2017. - 592 sid. - ISBN 978-5-4439-0209-8 .
Dimitrienko Yu. I. Tensorkalkyl: Proc. ersättning. - M . : Högre skola, 2001. - 576 sid. — ISBN 5-06-004155-7 .
Korenev GV Tensorkalkyl: Proc. ersättning. - M . : MIPT Publishing House, 2000. - 240 sid. — ISBN 5-89155-047-4 .
Kostrikin A.I. Introduktion till algebra. 2:a uppl. - M. : MTsNMO, 2012. - Del II: Linjär algebra. — 368 sid. — ISBN 978-5-94057-888-8 .
Kochin N. E. Vektorkalkyl och början av tensorkalkyl (9:e upplagan). — M .: Nauka, 1965.
McConnel A. J. Introduktion till tensoranalys med tillämpningar inom geometri, mekanik och fysik. — M .: Fizmatlit , 1963.
Nomizu K. Lie-grupper och differentialgeometri. — M. : IL, 1960.
Pobedrya B.E. Föreläsningar om tensoranalys: Proc. ersättning. (3:e upplagan). - M . : Moscow State Universitys förlag, 1986.
Rashevsky P. K. Riemann geometri och tensoranalys (3:e upplagan). - M . : Nauka, 1967.
Sharipov R. A. En snabb introduktion till tensoranalys. - BashGU.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor norsk Stor ryss runt världen
I bibliografiska kataloger	NDL : 00572865