Anslutningsvridning

Vridningen av en affin anslutning är en av de geometriska egenskaperna hos anslutningar i differentialgeometri. Till skillnad från begreppet krökning , som är vettigt för en anslutning i ett godtyckligt vektorknippe eller till och med en Ehresmann-förbindelse i en lokalt trivial bunt, kan torsion endast definieras för anslutningar i en tangentbunt (eller, mer allmänt, i buntar utrustade med en mappning till en tangent – säg kontaktdelpaket ).

Om är en anslutning i tangentknippet, definieras dess torsionstensor som . $\nabla \colon \Gamma (TX\otimes TX)\to \Gamma (TX)$ $\mathrm {Tors} ^{\nabla }(u,v)=\nabla _{u}v-\nabla _{v}u-[u,v]$

Det verifieras genom direkt beräkning att den givna operatorn är linjär med avseende på multiplikation med funktioner, och därför definierar den verkligen en tensor av formen . Med andra ord, till ett par tangentvektorer vid en given punkt, associerar torsion en tangentvektor på ett snedsymmetriskt sätt. $\Lambda ^{2}TX\to TX$

Ett exempel från klassisk mekanik och förklaring av namnet

Låt X vara ett tredimensionellt euklidiskt rum där ett visst koordinatsystem är givet. Den definierar en vridningsfri platt förbindelse: vid varje punkt kan vi specificera en enhetstangensvektor riktad längs axeln (resp. , ), och dessa vektorfält pendlar (det vill säga de definierar ett koordinatsystem). $Oxe$ $Oj$ $Oz$

Låt nu detta koordinatsystem förändras med tiden (det vill säga, det sätter, som fysiker säger, ett referenssystem ). Detta gör att den platta anslutningen kan utökas till rum-tid så att vektorfältet är parallellt med anslutningen. Kovarianta derivator kommer att indikera hur koordinatvektorn roterar i rymden över tid . Vridningen av denna anslutning är generellt sett inte noll. I begränsningen av varje ögonblick av tid, det vill säga på ett undergrenrör , är anslutningen, genom konstruktion, en standard platt anslutning på det euklidiska rummet, och har ingen vridning, men resultatet av substitutionen är generellt sett en icke -trivial tensor . Denna tensor kallas vridmoment . Således generaliserar anslutningsvridning begreppet vridmoment till fallet när endast krökt rumtid återstår från det absoluta rummet med dess platta koordinater, och vridningsfria anslutningar är begreppen tröghetsreferensramar . $X\times From$ $\partial /\partial t$ $\nabla _{\partial /\partial t}v$ $v$ $X$ $t=\mathrm {const}$ ${\displaystyle \iota _{\partial /\partial t}\mathrm {Tors} ^{\nabla ))$ $TX\to TX$

Intern vridning

Med tanke på en geometrisk struktur på ett grenrör (till exempel en uppsättning tensorer) kan man undra när det finns en vridningsfri anslutning som bevarar den strukturen. Den grundläggande satsen för Riemannsk geometri säger att för en Riemannisk metrik existerar en vridningsfri anslutning som bevarar den och är unik. För andra strukturer är detta i allmänhet inte sant.

Exempel. Låt ett grenrör och vara ett underpaket. Om det finns ett samband med nolltorsion så att (det vill säga vektorfälten från förblir i , under parallell translation ), så (och därför, enligt Frobenius-satsen , finns det en familj av undergrenar så att för alla ). $X$ $F\subset TX$ $TX$ $\nabla$ $\nabla F=0$ $F$ $F$ $[F,F]\subseteq F$ $Y_{x}\subset X$ $T_{x}(Y_{x})=F_{x}\subset T_{x}X$ $x\i X$

Bevis. Om bevaras har vi för två vektorfält . Om vridningen försvinner, då har vi, på grund av valets godtycke , . □ $\nabla$ $F$ $u,v\in \Gamma (F)$ $\nabla _{x}y\in \Gamma (F),\nabla _{y}x\in \Gamma (F)$ $\nabla$ $[u,v]=\nabla _{u}v-\nabla _{v}u\in \Gamma (F)$ $u,v$ $[F,F]\subset F$

Exempel. Låt ett grenrör, och var en differentialform på den. Om det finns ett samband med nollvridning i sådan att , då är denna form stängd: . $X$ $\alpha \in \Omega ^{p}(X)$ $sid$ $TX$ $\nabla$ $\nabla \alpha =0$ $d\alpha =0$

Bevis. Genom att ersätta uttrycket (explicit skriven ekvation ) i formeln för de Rham-differentialen har vi . □ $\nabla _{v}(\alpha (u_{1},\dots ,u_{p))=\summa _{i=1}^{p}\alpha (u_{1},\dots, u_{i-1},\nabla _{v}u_{i},u_{i+1},\dots ,u_{p})$ $\nabla \alpha =0$ $d\alpha =0$

Säg, för icke-degenererade differentiella 2-former, är förekomsten av en vridningsfri anslutning med avseende på vilken de är parallella ekvivalent med denna forms symplecticitet . Med andra ord, till skillnad från Levi-Civita-kopplingen, existerar symplektiska kopplingar inte för varje 2-form, utan bara för symplektiska former, och om de finns, så är de inte unika. På liknande sätt, på nästan komplexa grenrör , är förekomsten av en vridningsfri anslutning som bevarar tensorn i den nästan komplexa strukturen likvärdig med grenröret som tillåter komplexa analytiska kartor .

Detta har följande algebraiska bakgrund. Låt det finnas en Lie-algebra som agerar i ett vektorrum , det vill säga en kartläggning . Betrakta mappningen , skevsymmetriseringen i de sista variablerna, och beteckna denna pils kärna och kokkärna med och . Låt det nu vara ett grenrör vars tangentbunt är utrustad med verkan av en Lie-grupp vars algebra är . Den exakta sekvensen förvandlas sedan till en exakt sekvens av vektorbuntar: . Om det är två anslutningar som bevarar strukturen, så är deras skillnad ett element i . Den tredje termen i denna sekvens innehåller vridningen av alla möjliga samband; skillnaderna mellan torsionskopplingar utgör dess element som kommer från föregående term, och därför exakt de som upphävs av mappningen till kokkärnan. Motsvarande sektion av bunten konstruerad av -strukturen är alltså oberoende av valet av -kopplingen, och kallas -strukturens inre vridning . Olika sektioner motsvarar i sin tur tvetydigheten i valet av -anslutning med en given vridning. $\mathfrak{g}$ $V$ ${\mathfrak {g}}\to V\otimes V^{*}$ ${\mathfrak {g}}\otimes V^{*}\to V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\to V\otimes \Lambda ^{2}V^{*}$ $K$ $C$ $X$ $G$ $\mathfrak{g}$ $0\to K\to {\mathfrak {g}}\otimes T^{*}\to T\otimes \Lambda ^{2}T^{*}\to C\to 0$ $\nabla ,\nabla '$ $G$ $\nabla -\nabla '$ $\Omega ^{1}({\mathfrak {g}})={\mathfrak {g}}\otimes T^{*}$ $G$ $C$ $G$ $G$ $G$ $K$ $G$

För och dess tautologiska representation är till exempel kartläggningen en isomorfism, och därmed . Detta är den grundläggande satsen för Riemannsk geometri: en vridningsfri ortogonal koppling existerar och är unik. För en kokkärna är isomorf till ett knippe av 3-former , och den interna vridningen av -anslutningen är en differential . För en nästan komplex struktur är den inre vridningen dess Nijenhuis-tensor , för en distribution , dess Frobenius-tensor . ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {so}}(n)$ $V=\mathbb {R} ^{n}$ ${\mathfrak {so}}(n)\otimes V^{*}\to V\otimes \Lambda ^{2}V^{*}$ $K=C=0$ ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {sp}}(2n)$ $\Lambda ^{3}V^{*}$ $\omega$ $d\omega \in \Omega ^{3}(X)$ $\Lambda ^{2}T^{1,0}\to T^{0,1}$ $F\subset TX$ $\Lambda ^{2}F\till TX/F$

Parallellen hos en nästan symplektisk form (eller en operator av en nästan komplex struktur) på ett nästan hermitiskt grenrör med avseende på Levi-Civita-kopplingen betyder att det är Kählerian . I icke-Kählerisk geometri är det användbart att överväga samband med torsion som inte är noll. På alla komplexa hermitiska grenrör finns det alltså ett unikt samband med avseende på vilket metriken, den nästan symboliska formen och den komplexa strukturen är parallella, för vilka torsionen (av metriken betraktad som en 3-tensor) är skev- symmetriska i alla tre argumenten. En sådan koppling kallas en vismutkoppling .

Litteratur

Biskop R. L. , Crittenden R. J. Geometrin hos grenrören. — 1967.