Kontaktstruktur

En kontaktstruktur är en struktur på ett jämnt grenrör av udda dimension , bestående av ett jämnt fält av tangenthyperplan som uppfyller det icke-degenerationsvillkor som formuleras nedan. En sådan struktur finns alltid på grenrörets kontaktelement . Kontaktstrukturen är nära besläktad med den symplektiska strukturen och är dess analog för uddadimensionella grenrör. $M^{{2n+1}}$

Definition

En kontaktstruktur på ett grenrör definieras genom att specificera en 1-form så att $\lambda$

\lambda \wedge (d\lambda )^{n}\neq 0

$\lambda$ kallas ett kontaktformulär. Kontaktstrukturen existerar endast på ett orienterbart grenrör och definierar ett unikt vektorfält på sådant $Y$ $M^{{2n+1}}$

\lambda(Y)=1

d\lambda(Y,X)=0

för alla vektorfält . $X$

Egenskaper

Dimensionen på ett kontaktgrenrör är alltid udda.
På vilken nivå som helst av Hamiltonianen som ges på fasutrymmet uppstår en naturlig kontaktstruktur.

Varje symplektisk 2n-dimensionell grenrör är kanoniskt associerad med en (2n+1)-dimensionell kontaktgren, kallad dess kontaktisering .
- Omvänt, för alla (2n+1)-dimensionella kontaktgrenrör, finns det dess symbolisering , som är ett (2n+2)-dimensionellt grenrör.

Variationer och generaliseringar

Nästan kontaktstruktur

Låt vara en udda dimensionell slät grenrör . $M^{{2n+1}}$ $\dimM=2n+1$

En nästan kontaktstruktur på ett grenrör är en trippel av tensorfält på detta grenrör, där är en differentiell 1-form, kallad strukturens kontaktform, är ett vektorfält, som kallas egenskapen, är en endomorfism , kallas en strukturell endomorfism . Vart i $M$ $(\eta ,\xi ,\Phi )$ $\eta$ $\xi$ $\Phi$ $TM$

$\eta (\xi )=1$
$\eta \circ \Phi =0$
$\Phi (\xi )=0$
$\Phi ^{2}=-id+\eta \otimes \xi$

Om dessutom en Riemann-struktur är fixerad på , sådan att $M$ $g=\langle \cdot ,\cdot \rangle$

$\langle \Phi X,\Phi Y\rangle =\langle X,Y\rangle -\eta (X)\eta (Y)$

fyrfalden kallas en nästan kontaktmetrisk (eller kortare AC-) struktur. Ett grenrör på vilket en (nästan) kontakt [metrisk] struktur ges kallas respektive ett (nästan) kontakt [metrisk] grenrör. $(\eta ,\xi ,\Phi ,g)$

Litteratur

Arnold VI Klassisk mekaniks matematiska metoder. - 5:e uppl., stereotypt. - M. : Redaktionell URSS, 2003. - 416 sid. - 1500 exemplar. — ISBN 5-354-00341-5 .
Arnold V. I., Givental A. B. Symplectic geometri.