Kahlerian grenrör

En Kahlerian grenrör är ett grenrör med tre ömsesidigt kompatibla strukturer: en komplex struktur , en Riemannisk metrisk och en symplektisk form .

Uppkallad efter den tyske matematikern Erich Köhler .

Definitioner

Som ett symplektiskt grenrör: Ett Kähleriskt grenrör är ett symplektiskt grenrör med en integrerbar nästan komplex struktur som överensstämmer med den symboliska formen . $(K,\omega )$

Som ett komplext grenrör: Ett kähleriskt grenrör är ett hermitiskt grenrör med en sluten hermitisk form. En sådan hermitisk form kallas Kählerian.

Koppling mellan definitioner

Låta vara en eremitisk form , vara en symbolisk form och vara en nästan komplex struktur . Konsistens betyder att formen : $h$ $\omega$ $J$ $\omega$ $J$

g(u,v)=\omega (u,Jv)

är riemannsk; det vill säga positivt definitivt. Kopplingen mellan dessa strukturer kan uttryckas genom identiteten:

h=gi\omega .

Kähler potential

På ett komplext grenrör genererar varje strikt pluriharmonisk funktion en Kähler-form $K$ $\rho \in C^{\infty }(K;\mathbb {R} )$

\omega ={\frac {i}{2}}\partial {\bar {\partial }}\rho .

I det här fallet kallas funktionen för formens Kählerpotential . $\rho$ $\omega$

Det är motsatsen lokalt. Närmare bestämt, för varje punkt i en Kählerian grenrör finns det ett grannskap och en sådan funktion $sid$ $(K,\omega )$ $U\ni p$ $\rho \in C^{\infty }(U,\mathbb {R} )$

\omega \vert _{U}=i\partial {\bar {\partial }}\rho

Detta kallas formens lokala Kähler-potential . $\rho$ $\omega$

Exempel

Komplext euklidiskt utrymme med standard hermitisk form. $\mathbb{C}^n$
Varje Riemann-mått på en orienterbar yta definierar ett Kähler-grenrör eftersom förslutning är trivial i verklig dimension två. $\omega$
Komplext projektivt utrymme med Fubini-Study-metriken . $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$
Inducerad metrisk på ett komplext undergrenrör i ett Kähleriskt grenrör.
- I synnerhet vilken Stein-variant som och vilken projektiv algebraisk variant som helst .
- Genom Kodaira-inbäddningssatsen är ett Kähleriskt grenrör som medger en positiv bunt med en linjefiber inbäddad i ett projektivt utrymme.
K3 ytor
En viktig underklass av Kählers grenrör är Calabi-Yau grenrör .

Se även

Nästan komplext grenrör

Litteratur

P. Deligne , Ph. Griffiths, J. Morgan, D. Sullivan. Verklig homotopi teori om Kähler grenrör // Uppfinna. Matematik. - 1975. - T. 29 . — S. 245–274 . - doi : 10.1007/BF01389853 .
E. Kahler . Über eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik // Abh. Matematik. Sem. Univ. Hamburg. - 1933. - T. 9 . — S. 173–186 . - doi : 10.1007/BF02940642 .
R. Hartshorne. Algebraisk geometri. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1977. - ISBN 978-0-387-90244-9 .
Alan Huckleberry och Tilman Wurzbacher, red. Infinite Dimensional Kähler Manifolds (2001), Birkhauser Verlag, Basel ISBN 3-7643-6602-8 .
A. Moroianu. Föreläsningar om Kahler geometri. - Cambridge University Press , 2007. - V. 69. - (London Mathematical Society Student Texts). — ISBN 978-0-521-68897-0 .
A. Weil . Introduktion à l'étude des variétés kählériennes. — 1958.