Symplektiskt grenrör

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 19 september 2022; verifiering kräver 1 redigering .

Ett symplektiskt grenrör är ett grenrör med en symbolisk form definierad på sig , det vill säga en sluten icke- degenererad differentiell 2-form .

Det viktigaste exemplet på ett symplektiskt grenrör är cotangensbunten . Den symplektiska strukturen gör det möjligt för en att introducera Hamiltonsk mekanik på ett naturligt geometriskt sätt och ger en visuell tolkning av många av dess egenskaper: om är konfigurationsutrymmet för ett mekaniskt system, så motsvarar fasutrymmet det . $T^{*}M$ $M$ $T^{*}M$

Definition

En differentiell 2-form kallas en symplektisk struktur om den är icke-degenererad och sluten , det vill säga dess externa derivata är lika med noll, $\omega$

d\omega =0,

och för varje tangentvektor som inte är noll finns det en vektor sådan att $v\in T_{x}M$ $w\in T_{x}M$

\omega (v,w)\neq 0.

Ett grenrör med en symbolisk form på kallas ett symplektisk grenrör . $M$

Anteckningar

Av definitionen följer att ett symplektiskt grenrör har en jämn dimension.
Om dimensionen är , är formulärets icke-degeneration ekvivalent med villkoret . $M$ $2n$ $\omega$ $\omega ^{\wedge n}\neq 0$

Relaterade definitioner

En diffeomorfism av symplektiska grenrör kallas en symplektomorfism om den bevarar den symplektiska strukturen. $f\kolon M\till N$

Låt vara en godtycklig smidig funktion på ett symplektiskt grenrör. Den symboliska formen associerar funktionen med ett vektorfält som definieras av följande identitet: $H\colon M\to \mathbb {R}$ $H$ $V_{H}$ $dH(X)=\omega (V_{H},X).$
- Denna definition är analog med definitionen av en gradient , och kallas ibland för funktionens symplektiska gradient . $V_{H}$ $H$
- Ett fält som kan erhållas på detta sätt kallas en Hamiltonian . $V_{H}$
- Eftersom formen är icke-degenererad är vektorfältet unikt definierat. I Darboux-koordinater tar denna karta formen $\omega$ $V_{H}$
${\dot {{\mathbf q}}}={\frac {\partial H}{\partial {\mathbf p}}},\quad {\dot {{\mathbf p}}}=-{\frac { \partial H}{\partial {\mathbf q}}},$

motsvarande Hamiltons ekvationer och kallas Hamiltonian (Hamilton-funktion).

H

Poisson-parenteserna förvandlar uppsättningen Hamiltonians till en Lie-algebra och definieras av regeln $M$

[F,G]=\omega (V_{F},V_{G}).

Egenskaper

Darboux sats : Alla symplektiska grenrör är lokalt symplektomorfa. Sålunda, i en grannskap av vilken punkt som helst i grenröret, kan man välja koordinater, kallade Darboux-koordinater , där den symboliska formen har formen $\omega =d{\mathbf p}\wedge d{\mathbf q}$

I det här fallet, i tangentutrymmet för varje punkt i grannskapet i fråga, väljs Darboux-basen .

Det Hamiltonska fasflödet bevarar den symplektiska strukturen (följer av Cartan-formeln): ${\mathcal {L}}_{V_{H}}\,\omega =0$

Här är Lie-derivatan med avseende på vektorfältet . Det Hamiltonska fasflödet är således en symplektomorfism.

{\mathcal {L}}_{V_{H}}

V_{H}

I synnerhet, eftersom volymformen är på , får vi Liouville-satsen om bevarande av fasvolymen : $\omega ^{{\wedge n}}$ $M$ ${\mathcal {L}}_{V_{H}}\omega ^{\wedge n}=0.$

Kontaktstruktur

Varje symboliskt -dimensionellt grenrör är kanoniskt associerat med ett dimensionellt kontaktgrenrör , kallat dess kontaktisering . Omvänt, för varje -dimensionellt kontaktgrenrör existerar dess symbolisering som är ett -dimensionellt grenrör. $2n$ $(2n+1)$ $(2n+1)$ $(2n+2)$

Variationer och generaliseringar

Ett grenrör kallas multisymplectic av grad om en sluten icke-degenererad differentiell k -form ges på den . $k$

Se även

Symplektiskt utrymme

Länkar

D.V. Anosov . "Om utvecklingen av teorin om dynamiska system". Symplektisk geometri.
Föreläsning 5: Poissonparenteser, differentialformer och polyvektorer 2013

Litteratur

Arnold VI Klassisk mekaniks matematiska metoder. - 5:e uppl., stereotypt. - M. : Redaktionell URSS, 2003. - 416 sid. - 1500 exemplar. — ISBN 5-354-00341-5 .
Arnold V. I., Givental A. B. Symplectic geometri. 2:a uppl. - Izhevsk: RHD, 2000. - 168s.
Thirring V. Kurs i matematisk och teoretisk fysik. - K . : TIMPANI, 2004. - 1040 sid.
Fomenko A. T. Symplektisk geometri. Metoder och tillämpningar. - M. : Ed. Moscow State University, 1988. - 414s.