Hamiltons ekvationer

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 4 september 2020; kontroller kräver 5 redigeringar .

Hamiltons ekvationer (även kallade kanoniska ekvationer ) i fysik och matematik - ett system av differentialekvationer :

{\dot {p}}_{j}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{j}}},

{\dot {q}}_{j}=~~{\frac {\partial H}{\partial p_{j}}},

där punkten ovanför och betecknar tidsderivatan . Systemet består av 2 N första ordningens differentialekvationer ( j = 1, 2, …, N) för ett dynamiskt system som beskrivs av N (generaliserade) koordinater, som är rörelseekvationer (en av formerna för sådana ekvationer, tillsammans med Lagrangekvationerna , som är en generalisering av Newtonska ekvationers rörelse) av systemet, där är den så kallade Hamiltonska funktionen , även ibland kallad Hamiltonian , är tiden [1] , är (generaliserade) koordinater och är de generaliserade impulser som bestämmer systemets tillstånd (en punkt i fasrummet ). $sid$ $q$ $H=H(q,p,t)\ekvivalent H(q_{1},q_{2},...,q_{N},p_{1},p_{2},...,p_{N },t)$ $t$ $q_{i}$ $(q_{1},q_{2},\dots,q_{N})$ $pi}$ $(p_{1},p_{2},\dots,p_{N})$

Hamiltons ekvationer används ofta inom Hamiltons mekanik och andra områden inom teoretisk fysik och matematik.

Newtonsk fysisk betydelse

Den enklaste tolkningen av dessa ekvationer är följande. I de enklaste fallen representerar Hamiltonian energin i ett fysiskt system, vilket är summan av de kinetiska och potentiella energierna , traditionellt betecknade respektive : $H$ $T$ $V$

H=T+V,~T={\frac {p^{2}}{2m)),~V=V(q)=V(x).

I ett speciellt fall, om de kartesiska koordinaterna för varje materialpunkt i systemet är skrivna i rad med tre (vi kommer att mena det fysiska rummet här som ett vanligt tredimensionellt), dvs. $q=X$

X_{1}=x_{1},\;X_{2}=y_{1},\;X_{3}=z_{1},\ \ X_{4}=x_{2},\ ;X_{5}=y_{2},\;X_{6}=z_{2},\;\dots ,

då sammanfaller Hamiltons kanoniska ekvationer, givet föregående stycke, med Newtons rörelseekvationer i formen:

{\dot {\vec {P}}}=-\nabla V,

{\dot {\vec {X}}}={\vec {p}}/m,

där , och varje delrum ger radievektorn för motsvarande materialpunkt: ${\vec X}=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{N})$

{\vec {r}}_{1}=(X_{1},X_{2},X_{3}),\ {\vec {r}}_{2}=(X_{4} ,X_{5},X_{6}),\;\dots ,

och det generaliserade momentet är motsvarande komponenter i det tredimensionella momentet för denna punkt:

{\vec p}_{1}=(P_{1},P_{2},P_{3}),\ {\vec p}_{2}=(P_{4},P_{5},P_ {6}),\;\prickar

Grundläggande tolkning

Hamilton-funktionen är i huvudsak en lokal spridningslag som uttrycker kvantfrekvensen (frekvensen av svängningar av vågfunktionen) i termer av vågvektorn för varje punkt i rymden [2] : $\omega$ ${\mathbf k}$

\omega =H({\mathbf k},{\mathbf x}).

I den klassiska approximationen (vid höga [3] frekvenser och vågvektormodul och ett relativt långsamt beroende av ), beskriver denna lag ganska tydligt rörelsen av ett vågpaket genom kanoniska Hamilton-ekvationer, av vilka några ( ) tolkas som en grupphastighet formel erhållen från spridningslagen, och andra ( ) är ganska naturliga - som en förändring (i synnerhet rotation) av vågvektorn under vågutbredning i ett inhomogent medium av en viss typ. ${\mathbf x}$ ${\dot q}_{i}=\partial H/\partial p_{i}$ ${\dot p}_{i}=-\partial H/\partial q_{i}$

Härledning av Hamiltons ekvationer

Härledning från principen om stationär verkan

Från principen om minsta (stationära) verkan erhålls Hamiltons ekvationer direkt genom att variera verkan

S=\int \limits _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}{\bigg (}\summa _{i}p_{i}{\dot q}_{i}-H (q,p,t){\bigg )}dt

oavsett och på . $q$ $sid$

Härledning från Lagrangian mekanik

Vi kan härleda Hamiltons ekvationer med hjälp av information om hur Lagrangian förändras med tid, koordinater och partikelmomentum.

{\mathrm {d}}L=\summa _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}{\mathrm {d}}q_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot q}_{i)))){\mathrm {d}}({\dot q}_{i}}\right)+{\frac {\partial L }{\partial t}}{\mathrm {d}}t

de generaliserade momenten definieras som , och Lagrangekvationerna lyder: $p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot q}_{i))))$

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}-{ \frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=F_{i},

var är en icke-potentiell generaliserad kraft. Det sista uttrycket konverteras till formen $F_{i}$

{\frac {\partial L}{\partial q_{i))}={\dot {p))_{i}-F_{i},

och resultatet ersätts med variationen av Lagrangian

\mathrm {d} L=\sum _{i}\left[\left({\dot {p}}_{i}-F_{i}\right)\mathrm {d} q_{i} +p_{i}\mathrm {d} {{\dot {q}}_{i}}\right]+{\frac {\partial L}{\partial t}}\mathrm {d} t.

Du kan skriva:

{\mathrm {d}}L=\summa _{i}\left[\left({{\dot p}}_{i}-F_{i}\right){\mathrm {d}}q_{i }+{\mathrm {d}}\left(p_{i}{{\dot q}_{i}}\right)-{{\dot q}_{i}}{\mathrm {d}}p_ {i}\right]+{\frac {\partial L}{\partial t}}{\mathrm {d}}t

och konverterat till formuläret:

\mathrm {d} \left(\sum _{i}p_{i}({\dot {q))_{i}}-L\right)=\summa _{i}\left[\ vänster(F_{i}-{\dot {p}}_{i}\right)\mathrm {d} q_{i}+({\dot {q}}_{i}}\mathrm {d} p_ {i}\right]-{\frac {\partial L}{\partial t))\mathrm {d} t.

Faktorn på vänster sida är bara Hamiltonian, som definierades tidigare. På det här sättet:

\mathrm {d} H=\sum _{i}\left[\left(F_{i}-{\dot {p}}_{i}\right)\mathrm {d} q_{i} +{{\dot {q}}_{i}}\mathrm {d} p_{i}\right]-{\frac {\partial L}{\partial t}}\mathrm {d} t=\summa _{i}\left[{\frac {\partial H}{\partial q_{i))}\mathrm {d} q_{i}+{\frac {\partial H}{\partial p_{i)) }\mathrm {d} p_{i}\right]+{\frac {\partial H}{\partial t))\mathrm {d} t,

där den andra likheten gäller på grund av definitionen av den partiella derivatan.

Generalisering via Poisson-parenteser

Ekvationerna kan skrivas i en mer allmän form genom att använda Poisson-algebra över generatorerna och . I det här fallet lyder den mer allmänna formen av Hamiltons ekvationer: $sid$ $q$

{\frac {dA}{dt}}=\{A,H\}+{\frac {\partial A}{\partial t)),

där , Kallas den klassiska observerbara, är någon funktion av variablerna , och , och är Hamiltonian av systemet. Du kan arbeta med Poisson-parenteser utan att tillgripa differentialekvationer, eftersom Poisson-parenteser är helt analoga med Lie-parenteser i Poisson-algebra. $A$ $sid$ $q$ $t$ $H$

Detta algebraiska tillvägagångssätt tillåter oss att använda sannolikhetsfördelningen för och , det tillåter oss också att hitta bevarade kvantiteter (integraler av rörelse). $q$ $sid$

Hamiltons ekvationer är bland de grundläggande ekvationerna inom klassisk mekanik. Inom kvantmekaniken är analogen till den reducerade Hamilton -ekvationen Heisenberg-ekvationen .

Se även

Anteckningar

↑ Hamilton-funktionen kan generellt sett bero explicit på tid, även om det i många grundläggande fall inte finns något sådant beroende.
↑ Eftersom energi och rörelsemängd är frekvensen och vågvektorn, skiljer sig från dem endast genom en universell konstant faktor, som kan väljas att vara enhet i ett lämpligt system av enheter.
↑ Eftersom sambandet mellan energi och frekvens, rörelsemängd och vågvektor i vanliga enhetssystem inkluderar Plancks konstant , som är mycket liten i dessa ordinarie enhetssystem, motsvarar mycket stora energier och momenta det vanliga för klassisk mekanik (i jämförelse med rumsliga och tidsskalor) frekvenser och vågvektorer.

Litteratur

Vilazi G. Hamiltonsk dynamik. översättning från engelska M.: IKI i RHD, 2006. 432s. ISBN 5-93972-444-2
Landau L. D. , Lifshits E. M. Mechanics. - 5:e upplagan, stereotypt. — M .: Fizmatlit , 2001. — 222 sid. - (" Teoretisk fysik ", volym I). - ISBN 5-9221-0055-6 .
Leach JW Klassisk mekanik. M.: Utländsk. litteratur, 1961.
D. ter Haar. Grunderna i Hamiltons mekanik. Moskva: Nauka, 1974.
Polak L. S. (red.) Mekanikens variationsprinciper. Samling av artiklar av vetenskapens klassiker. Moskva: Fizmatgiz, 1959