Dynamiskt system

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 14 juni 2020; kontroller kräver 5 redigeringar .

Ett dynamiskt system är en uppsättning element för vilka ett funktionellt förhållande mellan tid och position i fasrummet för varje element i systemet är specificerat. Denna matematiska abstraktion låter dig studera och beskriva utvecklingen av system i tiden.

Tillståndet för ett dynamiskt system vid varje tidpunkt beskrivs av en uppsättning reella tal (eller vektorer) som motsvarar en viss punkt i tillståndsrummet . Utvecklingen av ett dynamiskt system bestäms av en deterministisk funktion, det vill säga efter ett givet tidsintervall kommer systemet att inta ett specifikt tillstånd, beroende på det aktuella.

Introduktion

Ett dynamiskt system är en matematisk modell av något objekt, process eller fenomen där "fluktuationer och alla andra statistiska fenomen" försummas. [ett]

Ett dynamiskt system kan också representeras som ett tillståndssystem . Med detta tillvägagångssätt beskriver det dynamiska systemet (som helhet) dynamiken i någon process, nämligen: processen för systemövergången från ett tillstånd till ett annat. Fasrummet för ett system är helheten av alla tillåtna tillstånd i ett dynamiskt system. Således kännetecknas ett dynamiskt system av dess initiala tillstånd och den lag enligt vilken systemet övergår från initialtillståndet till ett annat.

Skilj mellan system med diskret tid och system med kontinuerlig tid.

I diskreta tidssystem, traditionellt kallade kaskader , beskrivs systemets beteende (eller, ekvivalent, systemets bana i fasrymden) av en sekvens av tillstånd. I system med kontinuerliga tider, traditionellt kallade flöden , definieras systemets tillstånd för varje tidpunkt på den verkliga eller komplexa axeln. Kaskader och flöden är huvudämnet för övervägande i symbolisk och topologisk dynamik.

Ett dynamiskt system (med både diskret och kontinuerlig tid) beskrivs ofta av ett autonomt system av differentialekvationer , som ges i någon domän och som där uppfyller villkoren för existenssatsen och det unika i lösningen av differentialekvationen. Det dynamiska systemets jämviktspositioner motsvarar differentialekvationens singulära punkter, och de slutna faskurvorna motsvarar dess periodiska lösningar.

Huvudinnehållet i teorin om dynamiska system är studiet av kurvor definierade av differentialekvationer . Detta inkluderar uppdelningen av fasutrymmet i banor och studiet av det begränsande beteendet hos dessa banor: sökning och klassificering av jämviktspositioner, valet av attraherande ( attraherande ) och repellerande ( avstötande ) uppsättningar (grenrör). De viktigaste begreppen i teorin om dynamiska system är stabiliteten i jämviktstillstånd (dvs. förmågan hos ett system, med små förändringar i de initiala förhållandena, att stanna under en godtyckligt lång tid nära jämviktspositionen eller på ett givet grenrör) och grovhet (dvs. bevarandet av egenskaper med små förändringar i själva den matematiska modellen; " Ett grovt system är ett vars kvalitativa karaktär av rörelse inte förändras med en tillräckligt liten förändring i parametrarna. [2] [1]

Inblandning av probabilistisk-statistiska representationer i den ergodiska teorin om dynamiska system leder till begreppet ett dynamiskt system med ett invariant mått .

Den moderna teorin om dynamiska system är ett samlingsnamn för studier där metoder från olika grenar av matematiken används flitigt och effektivt kombineras: topologi och algebra, algebraisk geometri och måttteori, teorin om differentialformer, teorin om singulariteter och katastrofer.

Metoder för teorin om dynamiska system är efterfrågade inom andra grenar av naturvetenskap, såsom termodynamik som inte är jämvikt , dynamisk kaosteori , synergetik .

Definition

Låt vara en godtycklig jämn grenrör . $X$

Ett dynamiskt system definierat på ett jämnt grenrör är en mappning skriven i den parametriska formen , där , som är en differentierbar mappning, och är den identiska mappningen av utrymmet . När det gäller stationära reversibla system bildar enparameterfamiljen en grupp av transformationer av det topologiska rummet , vilket innebär att i synnerhet identiteten gäller för alla . $X$ $g\colon \mathbb {R} \times X\to X$ $g^{{t}}(x)$ $t\in \mathbb {R} ,x\in X$ $g^{0}$ $X$ $\{g^{t}:t\in \mathbb {R} \}$ $X$ $t_{1},t_{2}\in \mathbb {R}$ $g^{{t_{1}}}\circ g^{{t_{2}}}=g^{{t_{1}+t_{2}}}$

Av kartläggningens differentierbarhet följer att funktionen är en differentierbar funktion av tiden, dess graf är placerad i det utökade fasutrymmet och kallas det dynamiska systemets integralbana (kurva). Dess projektion på rymden , som kallas fasrummet , kallas fasbanan (kurvan) för ett dynamiskt system. $g$ $g^{{t}}(x_{0})$ $\mathbb {R} \times X$ $X$

Att specificera ett stationärt dynamiskt system är ekvivalent med att dela upp fasutrymmet i fasbanor. Att specificera ett dynamiskt system är i allmänhet ekvivalent med att dela upp det utökade fasutrymmet i integrerade banor.

En förändring av koordinater är en diffeomorfism (om strukturen är jämn) eller en homeomorfism (ur en topologisk synvinkel) av fasutrymmen. Det är möjligt att definiera en ekvivalensuppsättning mellan dynamiska system som är associerade med olika klasser av koordinater. Problemet med strukturen av banor i detta fall kan förstås som ett problem med att klassificera dynamiska system upp till ekvivalensrelationer.

Metoder för att definiera dynamiska system

För att definiera ett dynamiskt system är det nödvändigt att beskriva dess fasrum , en uppsättning tidpunkter och någon regel som beskriver rörelsen av punkter i fasrummet med tiden. Uppsättningen av tidsmoment kan antingen vara ett intervall av en reell linje (då säger man att tiden är kontinuerlig ), eller en uppsättning heltal eller naturliga tal ( diskret tid). I det andra fallet är "rörelsen" av en fasrumspunkt mer som momentana "hopp" från en punkt till en annan: banan för ett sådant system är inte en jämn kurva, utan helt enkelt en uppsättning punkter, och kallas vanligtvis en bana . Trots den yttre skillnaden finns det ändå ett nära samband mellan system med kontinuerlig och diskret tid: många egenskaper är gemensamma för dessa klasser av system eller överförs lätt från ett till ett annat. $X$ $T$ $T$

Fasflöden

Låt fasrummet vara ett flerdimensionellt rum eller ett område i det, och tiden vara kontinuerlig. Låt oss anta att vi vet med vilken hastighet varje punkt i fasrummet rör sig. Med andra ord är hastighetsvektorfunktionen känd . Då blir punktens bana lösningen av den autonoma differentialekvationen med initialvillkoret . Det dynamiska systemet som definieras på detta sätt kallas fasflödet för en autonom differentialekvation. $X$ $x$ $v(x)$ $x_{0}\i X$ ${\frac {dx}{dt}}=v(x)$ $x(0)=x_{0}$

Cascades

Låt vara en godtycklig uppsättning och vara lite kartläggning av uppsättningen på sig själv. Betrakta iterationer av denna mappning, det vill säga resultatet av dess upprepade applicering på punkter i fasrummet. De definierar ett dynamiskt system med ett fasrum och många ögonblick . I själva verket kommer vi att anta att en godtycklig punkt övergår till en tidpunkt . Sedan, med tiden, kommer denna punkt att flyttas till en punkt , och så vidare. $X$ $f\kolon X\till X$ $X$ $X$ $T={\mathbb N}$ $x_{0}\i X$ $ett$ $x_{1}=f(x_{0})\i X$ $2$ $x_{2}=f(x_{1})=f(f(x_{0}))$

Om mappningen är reversibel är det möjligt att definiera omvända iterationer : , etc. Således får vi ett system med en uppsättning tidpunkter . $f$ $x_{{-1}}=f^{{-1}}(x_{0})$ $x_{{-2}}=f^{{-1}}(f^{{-1}}(x_{0}))$ $T={\mathbb Z}$

Exempel

System av differentialekvationer

{\begin{cases}{\frac {dx}{dt}}=v\\{\frac {dv}{dt}}=-kx\end{cases}}

definierar ett dynamiskt system med kontinuerlig tid, kallad "harmonisk oscillator". Dess fasutrymme är planet , där är punkthastigheten . Den harmoniska oscillatorn modellerar olika oscillerande processer, till exempel beteendet hos en belastning på en fjäder. Dess faskurvor är ellipser centrerade vid noll. $(x,v)$ $v$ $x$

Låta vara en vinkel som anger positionen för en punkt på enhetscirkeln. Dubblingsmappningen definierar ett tidsdiskret dynamiskt system vars fasutrymme är en cirkel. $\varphi$ $f(\varphi )=2\varphi {\pmod {2\pi }}$
Snabb-långsamma system beskriver processer som utvecklas samtidigt på flera tidsskalor.
Dynamiska system vars ekvationer kan erhållas via principen om minsta verkan för en bekvämt vald Lagrangian är kända som "Lagrangian dynamiska system".

Frågor om teorin om dynamiska system

Med en uppgift för ett dynamiskt system är det långt ifrån alltid möjligt att hitta och beskriva dess banor i en explicit form. Därför övervägs vanligtvis enklare (men inte mindre meningsfulla) frågor om systemets allmänna beteende. Till exempel:

Har systemet slutna faskurvor, det vill säga kan det återgå till sitt initiala tillstånd under evolutionens gång?
Hur är systemets oföränderliga grenrör (ett specialfall av vilka är slutna banor) arrangerade?
Hur fungerar systemets attraktionskraft , det vill säga uppsättningen i fasrummet, till vilken "majoriteten" av banor tenderar att fungera?
Hur beter sig banor som avfyras från nära håll - förblir de nära eller flyttas de bort över tiden till ett avsevärt avstånd?
Vad kan man säga om beteendet hos ett "typiskt" dynamiskt system från en viss klass?
Vad kan sägas om beteendet hos dynamiska system "nära" det givna?

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 Andronov, 1981 , sid. 18-19.
↑ Andronov, 1955 , sid. 3-19.

Litteratur

Andronov A. A. , Witt A. A. , Khaikin S. E. Theory of Oscillations. - 2:a uppl., reviderad. och korrigerad - M . : Nauka, 1981. - 918 sid.
Till minne av Alexander Alexandrovich Andronov . - M . : Publishing House of the Academy of Sciences of the USSR, 1955.
Malinetsky G. G. , Potapov A. B. , Podlazov A. V. Icke-linjär dynamik: tillvägagångssätt, resultat, förhoppningar . — M .: URSS, 2006.
ed. Anosov DV Smidiga dynamiska system. — M .: Mir, 1977. — 256 sid.
Evlanov LG Styrning av dynamiska system. - M. : Nauka, 1972. - 423 sid. - 4800 exemplar.
Birkhoff J. Dynamiska system. - M. : OGIZ, 1999. - 480 sid. - 3500 exemplar. — ISBN 5-7029-0356-0 .

Gukenheimer J., Holmes F. Icke-linjära oscillationer, dynamiska system och bifurkationer av vektorfält - 2002. - 560 sid. — ISBN 5-93972-200-8 .

Palis J., di Melu V. Geometrisk teori om dynamiska system: Introduktion. - Mir, 1986. - 301 sid.
Sex föreläsningar om teorin om olinjära dynamiska system / N.V. Karlov , N.A. Kirichenko . MIPT, [1998?]. - 178 sid. : sjuk.; 30 cm; ISBN 5-7417-0096-9

Länkar

Weisstein, Eric W. Dynamical Systems (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .