Funktion (matematik)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 4 juni 2022; kontroller kräver 4 redigeringar .

En funktion i matematik är en överensstämmelse mellan element i två mängder - en regel enligt vilken varje element i den första mängden, kallad definitionsdomän , motsvarar ett och endast ett element i den andra mängden, som kallas värdeintervallet .

Det matematiska konceptet för en funktion uttrycker en intuitiv uppfattning om hur en kvantitet helt bestämmer värdet av en annan kvantitet. Så värdet på variabeln bestämmer unikt värdet på uttrycket och månadens värde bestämmer unikt värdet på månaden efter det. Ett "vardagligt" exempel på en funktion: varje person kan otvetydigt tilldelas sin biologiska far. $x$ $x^{2}$

På liknande sätt producerar en förutbestämd algoritm , givet värdet på indata, värdet på utdata.

Ofta syftar termen "funktion" på en numerisk funktion , det vill säga en funktion som sätter vissa tal i linje med andra. Dessa funktioner är bekvämt representerade i form av grafer .

Historik

Termen "funktion" (i en något snävare mening) användes först av Leibniz (1692). I sin tur gav Johann Bernoulli, i ett brev till Leibniz, denna term en betydelse närmare den moderna [1] [2] .

Till en början var begreppet en funktion omöjligt att skilja från begreppet en analytisk representation. Därefter dök definitionen av en funktion upp, given av Euler (1751), sedan av Lacroix (1806), nästan i sin moderna form. Slutligen gavs en allmän definition av en funktion (i dess moderna form, men endast för numeriska funktioner) av Lobachevsky (1834) och Dirichlet (1837) [3] .

I slutet av 1800-talet hade begreppet en funktion vuxit ur omfattningen av numeriska system. Först utvidgades begreppet funktion till vektorfunktioner , Frege introducerade snart logiska funktioner ( 1879 ), och efter tillkomsten av mängdlära formulerade Dedekind ( 1887 ) och Peano ( 1911 ) en modern universell definition [2] .

Informell definition

En funktion definierad på en mängd med värden i mängden kallas en "regel" så att varje element från motsvarar ett element som ligger i och dessutom bara ett [4] . $f$ $X$ $Y$ $x$ $X$ $f(x)$ $Y$

Godkänd notation: , , förkortad eller helt enkelt . $f:X\till Y$ $X{\stackrel {f}{\longrightarrow }}Y$ $f\kolon x\mapsto y$ $y=f(x)$

En graf kallas , där är en direkt produkt av . $f:X\till Y$ ${\displaystyle \Gamma _{f}=\{\,(x,f(x))\i X\ gånger Y\mid x\i X\,\))$ $X\ gånger Y$

Generellt sett är begreppen för en funktion och dess graf ekvivalenta, och eftersom den senare definieras matematiskt mer strikt, är den formella (ur mängdteorinsynpunkt) definitionen av en funktion dess graf [4] .

För funktion : $f:X\till Y$

uppsättningen kallas uppgiftsområdet eller funktionsdefinitionsområdet , betecknat med eller ; $X$ $D(f)$ $\mathrm {dom} \,f$
uppsättningen kallas funktionens omfång , betecknad med eller ( ); $Y$ $E(f)$ $\mathrm {kod} \,f$ $\mathrm {ran} \,f$
varje element i mängden kallas en oberoende variabel eller funktionsargument ; $x$ $X$

elementet som motsvarar det fasta elementet kallas funktionens partiella värde vid punkten . $y=f(x)$ $x$ $x$

Anmärkningar:

En funktion för vilken kallas en avbildning av en given mängd i sig själv eller en transformation , i synnerhet om , Då talar man om en identisk transformation , ofta betecknad med . $f$ $D(f)\equiv E(f)$ $\forall x\in D(f):f(x)=x$ $\operatörsnamn{id}_X$

Om termen operatör används , sägs operatören agera från uppsättning till uppsättning och en post läggs till . $f$ $X$ $Y$ $y=fx$
Om de vill betona att korrespondensregeln anses vara känd, så säger de att det ges en funktion på mängden som tar värden från . Om funktionen måste hittas som ett resultat av att lösa någon ekvation, så säger de att det är en okänd eller implicit given funktion. I detta fall anses funktionen fortfarande vara given, om än indirekt. $X$ $f$ $Y$ $f$ $f$
Eftersom likheten mellan funktioner (i någon av dess definitioner) inte bara inkluderar sammanträffandet av överensstämmelsereglerna mellan elementen i mängderna, utan också sammanträffandet av uppgiftsområdena, då är funktionerna och , var är uppsättningen av reella tal och är mängden positiva reella tal, är olika funktioner. $f_{1}(x)=x\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $f_{2}(x)=x\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{+}$
Det finns också en operatornotation för en funktion , som kan hittas i allmän algebra . $y=x^{f}$
Kyrkans lambdakalkyl använder notationen för en funktion . $\lambda xy$

Flera argumentfunktioner:

Generellt sett kan en funktion definieras på ett linjärt utrymme , i vilket fall man har att göra med en funktion av flera argument.

Om mängden är en kartesisk produkt av mängder, så visar sig mappningen (där är mängden av reella tal) vara en -place mappning; i det här fallet kallas elementen i den ordnade uppsättningen argument (av en given -lokal funktion), som var och en löper genom sin egen uppsättning: $X$ $X_{1},\;X_{2},\;\ldots ,\;X_{n}$ $f\kolon X\till Y$ $Y$ $n$ $x=(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})$ $n$

x_{i}\in X_{i}

var .

\forall i:1\leqslant i\leqslant n

I det här fallet betyder notationen att . $y=f(x)$ $y=f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})$

Sätt att definiera en funktion

Analytisk metod

En funktion kan definieras med hjälp av ett analytiskt uttryck (till exempel en formel). I detta fall betecknas det som en korrespondens i form av jämlikhet.

Exempel:

En funktion som ges av en enda formel:

$f(x)=x^{2}+a\sin(x)-{\frac {\pi }{\ln(x)}}\;\;(a\in \mathbb {R}) ;$

Styckvis definierad funktion:

$f(x)=|x|={\begin{cases}x,\;\forall x\geqslant 0,\\-x,\;\forall x<0;\end{cases))$

Implicit definierad funktion:

$f(x)=y:x^{2}+y^{2}=R^{2}\;(R\in \mathbb {R} ,\;R\geqslant 0);$

Grafiskt sätt

Funktionen kan också specificeras med hjälp av en graf. Låta vara en verklig funktion av variabler. Då är dess graf en uppsättning punkter i det dimensionella rummet: . Denna uppsättning punkter är ofta en hyperyta . I synnerhet när grafen för en funktion i vissa fall kan representeras av en kurva i tvådimensionellt utrymme. $y=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\;$ $n$ $(n+1)$ ${\displaystyle \{(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},f(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})\))$ $n=1$

För funktioner med tre eller fler argument är en sådan grafisk representation inte tillämplig. Men även för sådana funktioner kan man komma med en visuell semi-geometrisk representation (till exempel kan varje värde på den fjärde koordinaten för en punkt associeras med en viss färg på grafen, som händer på graferna för komplexa funktioner ).

Uppräkning av värden

En funktion på en ändlig mängd kan definieras av en värdetabell - genom att direkt ange dess värden för vart och ett av elementen i definitionsdomänen. Denna metod används till exempel för att definiera booleska funktioner . Faktum är att denna metod också är en uppgift för grafen för funktionen , om grafen för funktionen betraktas som en uppsättning ordnade par av formen . $f\kolon A\till B$ $(x,f(x))$

Allmänna egenskaper

Sammansättning av mappningar

Låt två mappningar ges så att uppsättningen värden för den första är en delmängd av domänen för den andra. Sedan matchar den successiva åtgärden av den första och andra mappningen på alla argument i den första mappningen unikt ett element från intervallet för den andra mappningen:

$f:X\to Y,\;\;g:K\to Z\;\;(Y\subset K)\;\Högerpil \finns \;h:X\till Z,\;\;h (x)=g(f(x))\;\;(\förallt x\i X)$

I ett sådant fall kallas det en sammansättning av mappningar och , det betecknas med ett uttryck som lyder " efter ". I allmänhet är sammansättningen icke- kommutativ : eller $h$ $f$ $g$ $g\cirkel f$ $g$ $f$ $g(f(x))\neq f(g(x)),$ $g\circ f\neq f\circ g.$

Injektion

En funktion kallas injektiv (eller helt enkelt injektion ) om två olika element från mängden också är associerade med olika (ojämlika) element från mängden . Mer formellt är en funktion injektiv om från . Med andra ord är det injektivt om . $f:X\till Y$ ${\displaystyle x_{1},\,x_{2))$ $X$ $Y$ $f$ ${\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})\;\Rightarrow x_{1}=x_{2))$ $f$ $\forall x_{1},x_{2}\in X:x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})$

Surjection

En funktion kallas surjektiv (eller helt enkelt surjection ) om varje element i mängden kan associeras med minst ett element i mängden . Det vill säga en funktion är surjektiv om . $f:X\till Y$ $Y$ $X$ $f$ $\forall y\in Y\;\exists x\in X:f(x)=y$

En sådan mappning kallas också en set -to- set mappning . Om surjektivitetsvillkoret kränks, kallas en sådan mappning en set- to - set mappning . $X$ $Y$ $X$ $Y$

Bijection

En funktion som är både surjektiv och injektiv kallas bijektiv eller en-till-en ( kortas bijektion ).

Invers funktion

Om funktionen är en bijektion , så finns det för vilken . $f\kolon X\till Y$ $f^{{-1}}\kolon Y\till X$ $x=f^{-1}(y)\;\Leftrightarrow y=f(x)$

Funktionen i detta fall kallas inversen av ; dessutom är den också bijektiv. $f^{-1}$ $f$ $f^{-1}$

Förklaring:

Eftersom det är en injektion, generellt sett en funktion, följer det av injektionen att den ges den . En funktion är injektiv eftersom den är en funktion, och dess surjektivitet följer av dess definition. $f$ $f^{-1}$ $f$ $f^{-1}$ $Y$ $f^{-1}$ $f$

I allmänhet sägs en mappning som har en invers vara inverterbar . Reversibilitetsegenskapen består i att två villkor uppfylls samtidigt: och . $f^{-1}\circ f=\operatörsnamn {id} _{X}$ $f\circ f^{-1}=\operatörsnamn {id} _{Y}$

Sammandragning och fortsättning av funktion

Låt en mappning ges och en mängd som är en strikt delmängd av mängden $f\kolon X\till Y$ $M\subsetneq X,$ $x.$

En mappning som antar samma värden som funktionen kallas begränsningen (eller på annat sätt begränsning ) av funktionen till uppsättningen . $g\kolon M\till Y$ $M$ $f$ $f$ $M$

Begränsningen av en funktion till en uppsättning betecknas som . $f$ $M$ $f{\big |}_{M}$

I det här fallet kallas den ursprungliga funktionen , tvärtom, förlängningen av funktionen till uppsättningen . $f,$ $g$ $X$

Bild och prototyp

Bild och förbild (när de visas), värde vid punkt

Elementet som mappas till elementet kallas bilden av elementet (punkt) (när det visas ) eller visningsvärdet vid punkten . $y=f(x)$ $x$ $x$ $f$ $f$ $x$

Om vi tar hela delmängden av funktionsdefinitionsområdet , då uppsättningen bilder av alla element i denna uppsättning, det vill säga delmängden av värdeområdet (funktion ) i formuläret $A$ $f$ $f$

f(A):=\{f(x)\kolon x\i A\}

kallas bilden av mängden under mappning . Denna uppsättning betecknas ibland som eller . $A$ $f$ $fa]$ $A^{f}$

Bilden av hela domänen av en funktion kallas bilden av funktionen eller, om funktionen är en surjection , kallas i allmänhet funktionens omfång .

Och vice versa, med en delmängd i intervallet av värden för funktionen , kan vi överväga uppsättningen av alla element i området för att ställa in funktionen , vars bilder faller in i uppsättningen , det vill säga uppsättningen av formen $B$ $f$ $f$ $B$

f^{{-1}}(B):=\{x\kolon f(x)\i B\}

som kallas den ( fullständiga ) inversa bilden av uppsättningen (när den är mappad ). $B$ $f$

I synnerhet när mängden består av ett enda element - säg - så har mängden en enklare notation $B$ $B=\{y\}$ $f^{{-1}}(\{y\})=\{x\kolon f(x)=y\}$ $f^{{-1}}(y)$ .

Egenskaper för bilder och prototyper

Bildegenskaper

Låt och vara delmängder av domänen för att ställa in funktionen . Då har bilderna av uppsättningarna och under mappning följande egenskaper: $A$ $B$ $f\kolon X\till Y$ $A$ $B$ $f$

$f[\varnothing ]=\varnothing$ ;
$A\neq \varnothing \Rightarrow f[A]\neq \varnothing$ ;
$A\subseteq B\Rightarrow f[A]\subseteq f[B]$ .

bilden av föreningen av uppsättningar är lika med föreningen av bilder: $f[A\kopp B]=f[A]\kopp f[B];$
bilden av skärningspunkten av uppsättningar är en delmängd av skärningspunkten av bilder: . $f[A\cap B]\subseteq f[A]\cap f[B]$

De två sista egenskaperna kan generaliseras till valfritt antal uppsättningar.

Om mappningen är inverterbar (se ovan ) är den omvända bilden av varje punkt i intervallet enpunkts, så för inverterbara mappningar gäller följande starka egenskap för skärningspunkter:

bilden av skärningspunkten är lika med skärningspunkten mellan bilderna: . $f[A\cap B]=f[A]\cap f[B]$

Egenskaper för prototyper

Låt och vara delmängder av uppsättningen . Sedan har de omvända bilderna av uppsättningarna och under mappningen följande två uppenbara egenskaper: $A$ $B$ $Y$ $A$ $B$ $f\kolon X\till Y$

Förbilden av förening är lika med föreningen av förbilder: ; $f^{-1}[A\cup B]=f^{-1}[A]\cup f^{-1}[B]$
Den omvända bilden av skärningspunkten är lika med skärningspunkten för förbilderna: . $f^{-1}[A\cap B]=f^{-1}[A]\cap f^{-1}[B]$

Dessa egenskaper kan generaliseras till valfritt antal uppsättningar.

Beteende

Stigande och fallande

Låt då en funktion ges $f\colon M\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} .$

en funktion kallas icke- minskande på if $f$ $M$

(\forall x,y\in M)\ x>y\Högerpil f(x)\geq f(y);

en funktion kallas icke- ökande på if $f$ $M$

(\forall x,y\in M)\ x>y\Högerpil f(x)\leq f(y);

en funktion kallas att öka med if $f$ $M$

(\forall x,y\in M)\ x>y\Högerpil f(x)>f(y);

en funktion kallas att minska med if $f$ $M$

(\forall x,y\in M)\ x>y\Högerpil f(x)<f(y);

Icke-ökande och icke-minskande funktioner kallas ( icke strikt ) monotona , medan ökande och minskande funktioner kallas strikt monotona . För en godtycklig funktion kan man hitta intervall av monotoni - delmängder av domänen där funktionen är på ett eller annat sätt (striktighet väljs i de flesta fall efter överenskommelse) är monoton.

Periodicitet

En funktion kallas periodisk med en period om likheten $f\kolon M\till N$ $T\inte=0$

f(x+T)=f(x),\quad \forall x,x+T\in M

Eftersom en funktion som är periodisk med en period också är periodisk med perioder av formen , då generellt sett den minsta perioden av funktionen. $T$ $nT\;(n\in \mathbb {N} )$ $T$

Om denna likhet inte är uppfylld för någon , kallas funktionen aperiodisk . $T\i M,\,T\inte =0$ $f$

Paritet

En funktion kallas udda om likheten $f\colon X\to \mathbb {R}$

f(-x)=-f(x),\quad \forall x\i X.

Grafen för en udda funktion är symmetrisk med avseende på origo.

En funktion kallas även om likheten $f$

f(-x)=f(x),\quad \forall x\i X.

Grafen för en jämn funktion är symmetrisk kring y-axeln.

Funktion extrema

Låt en funktion ges och en punkt vara en inre punkt i uppgiftsområdet $f\colon X\to \mathbb {R}$ $x_{0}\i X$ $f.$

$x_{0}$ kallas en lokal maximipunkt om det finns ett område till punkten så att $M$ $x_{0}$ $\forall x\in M,x\neq x_{0}\colon \quad f(x)<f(x_{0});$
$x_{0}$ kallas en lokal minimipunkt om det finns ett område till punkten så att $M$ $x_{0}$ $\forall x\in M,x\neq x_{0}\colon \quad f(x)>f(x_{0}).$

Funktioner i mängdteori

Beroende på referensområdets och värdeområdets karaktär särskiljs följande fall av områden:

abstrakta uppsättningar - uppsättningar utan någon ytterligare struktur;
uppsättningar som är utrustade med någon struktur.

I fall 1 betraktas mappningar i den mest allmänna formen och de mest allmänna frågorna löses - till exempel om att jämföra mängder i termer av kardinalitet : om det finns en en-till-en-mappning (bijection) mellan två uppsättningar, då uppsättningar kallas likvärdiga eller likvärdiga . Detta gör att vi kan klassificera uppsättningarna efter deras kardinaliteter, och de minsta av dem, i ordningsföljd av ökande, är följande:

finita mängder - här sammanfaller mängdens kardinalitet med antalet element;
countable sets - set som motsvarar mängden naturliga tal ;
potensmängder av ett kontinuum (till exempel ett segment av den reella linjen eller själva linjen ).

Således erhålls följande typer av mappningar - enligt definitionsdomänens makt:

finita funktioner är avbildningar av finita mängder;
sekvenser — en avbildning av en räknebar mängd till en godtycklig mängd;
kontinuumfunktioner är avbildningar av oräkneliga mängder till finita, räknebara eller oräkneliga mängder.

I fall 2 är huvudobjektet för övervägande strukturen som ges på uppsättningen (där elementen i uppsättningen är utrustade med några ytterligare egenskaper som förbinder dessa element, till exempel i grupper , ringar , linjära utrymmen ) och vad som händer med detta struktur under kartläggning: om med en en-till-en-mappning, egenskaperna för en given struktur bevaras, så säger vi att en isomorfism etableras mellan de två strukturerna . Således kan isomorfa strukturer givna i olika uppsättningar generellt sett inte särskiljas, därför är det i matematik vanligt att säga att en given struktur anses "upp till isomorfism ".

Det finns en mängd olika strukturer som kan definieras på set. Detta inkluderar:

ordningsstruktur - partiell eller linjär ordning av element i en uppsättning;
algebraisk struktur - groupoid , semigroup , group , ring , body , domän av integritet eller fält , definierad på elementen i mängden;
strukturen för det metriska utrymmet - på elementen i uppsättningen är avståndsfunktionen inställd ;
strukturen av det euklidiska rummet - den skalära produkten är inställd på elementen i uppsättningen ;
strukturen av det topologiska rummet - en uppsättning " öppna uppsättningar " (som inte innehåller sin egen gräns ) specificeras på uppsättningen;
strukturen för det mätbara utrymmet — sigma-algebra av delmängder av den ursprungliga mängden specificeras på mängden (till exempel genom att ange ett mått med den givna sigma-algebra som domän för funktionsdefinitionen)

Funktioner med en viss egenskap kanske inte finns på de uppsättningar som inte har motsvarande struktur. Till exempel, för att formulera en sådan egenskap som kontinuiteten för en funktion definierad på en uppsättning, måste man definiera en topologisk struktur på denna uppsättning .

Variationer och generaliseringar

Delvis definierade funktioner

En delvis definierad funktion från en uppsättning till en uppsättning är en funktion med ett uppgiftsområde . $f$ $X$ $Y$ $f\kolon X'\till Y$ $X'={\rm {Dom}}f\subsetneq X$

Vissa författare kan med själva funktionen mena endast dess avsmalning, så att funktionen helt och hållet definieras på den "inskränkta" definitionsdomänen. Detta har sina fördelar: till exempel är det möjligt att skriva , där - i det här fallet betyder det . $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $f(x)=1/x,$ ${\mathop {\rm {Dom}}}f=\mathbb {R} \backslash \{0\}$

Flervärdiga funktioner

Ett givet argumentvärde måste matcha exakt ett funktionsvärde, på grund av själva funktionsdefinitionen. Men trots detta kan man ofta möta de så kallade flervärdiga funktionerna . I själva verket är detta inget annat än en bekväm notation för en funktion vars räckvidd i sig är en familj av uppsättningar.

Låt , där vara en familj av delmängder av uppsättningen . Sedan kommer det att finnas ett set för varje . $f\colon X\to \mathbb {B}$ $\mathbb {B}$ $Y$ $f(x)$ $x\i X$

En funktion är enkelvärdig om varje värde i argumentet motsvarar ett enda värde på funktionen. En funktion är flervärdig om minst ett argumentvärde motsvarar två eller flera funktionsvärden [5] .

Se även

Anteckningar

↑ V. A. Zorich . Kapitel I. Några generella matematiska begrepp och notation. § 3. Funktion // Matematisk analys. Del I. - fjärde, korrigerad. - M. : MTsNMO, 2002. - S. 13, 22, 25, 31. - 664 sid. — ISBN 5-94057-056-9 .
↑ 1 2 Kolmogorov A. N. , Abramov A. M. , Dudnitsyn Yu. P. Algebra och analysens början. Lärobok för 10-11 årskurser på gymnasiet. - M., Education, 1994. - ISBN 5-09-006088-6 . — C. 86-87
↑ G. E. Shilov . Kapitel 2. Element i mängdlära. § 2.8. Det allmänna konceptet för en funktion. Graf // Matematisk analys (funktioner av en variabel). - M. : Nauka, 1969. - S. 69. - 528 sid.
↑ 1 2 V. A. Zorich . Kapitel I. Några generella matematiska begrepp och notation. § 3. Funktion // Matematisk analys. Del I. - fjärde, korrigerad. - M. : MTsNMO, 2002. - S. 13, 22, 25, 31. - 664 sid. — ISBN 5-94057-056-9 .
↑ G. Korn, T. Korn. Handbok i matematik. För vetenskapsmän och ingenjörer. M., 1973 Kapitel 4. Funktioner och gränser, differential- och integralkalkyl. 4.2. Funktioner. 4,2-2. Funktioner med speciella egenskaper . ( a ), s.99. . Datum för åtkomst: 26 januari 2012. Arkiverad från originalet 19 januari 2015. (obestämd)

Litteratur

Fungera. Mathematical Encyclopedic Dictionary / Kap. ed. Yu. V. Prokhorov. - M .: "Stora ryska uppslagsverket", 1995.
Klein F. Det allmänna konceptet för en funktion . I: Elementär matematik från en högre synvinkel. T. 1. M.-L., 1933.
I.A. Lavrov ochL.L. Maksimova Del I. Mängdlära//Problem i mängdlära, matematisk logik och algoritmteori. -3:e upplagan. -M.: Fizmatlit, 1995. - S. 13-21. — 256 sid. —ISBN 5-02-014844-X.
J.L. Kelly . Kapitel 0. Preliminärer// Allmän topologi. -2:a uppl. -M .: Nauka, 1981. - S. 19-27. — 423 sid.
A. N. Kolmogorov . Vad är en funktion // "Quantum" : scientific-pop. Phys.-Matte. tidskrift - M . : "Nauka" , 1970. - Nr 1 . - S. 27-36 . — ISSN 0130-2221 .
Vilenkin N. Hur begreppet en funktion uppstod och utvecklades // "Kvant" : nauch.-pop. Phys.-Matte. tidskrift - M . : "Nauka" , 1977. - Nr 7 . - S. 41-45 . — ISSN 0130-2221 .
JJ O'Connor, E.F. Robertson. Funktionskonceptet . MacTutor History of Mathematics arkiv . School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Skottland (oktober 2005). (obestämd)

Ordböcker och uppslagsverk

Stor dansk
Stor dansk
stor kines
Stor norsk
Stor ryss
Brockhaus och Efron
runt världen
Litet Brockhaus och Efron
Britannica (online)
Treccani

I bibliografiska kataloger
BNF : 11946892t GND : 4071510-3 J9U : 987007553160705171 LCCN : sh85052327 NDL : 00564960 NKC : ph114594