Kontinuum (mängdlära)

Kontinuum i mängdteorin är styrkan (eller kardinaltalet ) för mängden av alla reella tal . [1] Betecknas med en liten latinsk bokstav c i frakturstilen : . En mängd som har ett kontinuums kardinalitet kallas kontinuum [2] set. $\mathfrak{c}$

Dessutom kan termen "kontinuum" betyda själva uppsättningen av reella tal, eller till och med vilken kontinuummängd som helst.

Egenskaper

Kontinuumet är kraften i booleska värdet för en räknebar mängd .
Som kardinalitet av Boolean av en räkningsbar mängd, är kontinuumet en oändlig kardinalitet [3] som överstiger den räknebara kardinaliteten . I mängdlära med valets axiom är kontinuumet, som alla oändliga kardinaliteter, en alef , och när ordningsnumret på kontinuumet i serien av alfer betecknas med bokstaven ( ), , d.v.s. $\zeta$ ${\mathfrak {c}}=\aleph _{\zeta }$ $\zeta >0$ $\aleph _{0}<\aleph _{1}\leq \aleph _{\zeta }={\mathfrak {c}}$
I serien av oändliga Booleaner [4] är kontinuumet . ${\displaystyle \gimel _{\xi ))$ ${\mathfrak {c}}=\gimel _{1}$
Antagandet att det inte finns några befogenheter mellan det räknebara och kontinuumet kallas kontinuumhypotesen . I mängdlära med valets axiom formuleras det som eller eller , där är det tidigare införda numret på kontinuumet i serien alfer. Den generaliserade kontinuumhypotesen är formulerad som för vilken ordinal som helst . $\mathfrak{c} = \aleph_1$ ${\displaystyle \gimel _{1}=\aleph _{1))$ $\zeta=1$ $\zeta$ ${\displaystyle \gimel _{\xi }=\aleph _{\xi ))$ $\xi$
En räknebar kartesisk grad av ett kontinuum är ett kontinuum: , och därför är varje icke-noll finit [5] Kartesisk grad av ett kontinuum är också ett kontinuum: . ${\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}$ $(\forall n\in \mathbb {N} \setminus \left\{0\right\}){\mathfrak {c}}^{n}={\mathfrak {c}}$
I mängdteorin med valets axiom överskrider inte kardinaliteten i föreningen av högst en kontinuumfamilj av mängder, som var och en är själv högst kontinuum, det vill säga är regelbunden. $\aleph _{\zeta +1}={\mathfrak {c}}^{+}$
Kardinaliteten i en union av högst uppräkningsbara familjer av högst uppräkningsbara mängder är högst uppräknbar, det vill säga sektionen [6] av en maktklass (som en stor [7] partiell ordning ), vars lägre klass är på sin höjd räknebara krafter, är oöverstiglig "enligt Pythagoras " [8] , det vill säga i mängdlära med axiom val är regelbundet. Som en konsekvens är kontinuumet (liksom ) ouppnåeligt "enligt Pythagoras" från inte mer än räknebara krafter - det kan inte erhållas genom att kombinera inte mer än ett räknebart antal av högst räknebara. $\aleph_1$ $\aleph_1$
När man delar upp en kontinuummängd i ett ändligt eller räknebart antal delar, kommer åtminstone en av delarna att ha kardinalitet av ett kontinuum. Som en konsekvens, i mängdteorin med valets axiom, är kontinuumets slutgiltighet oräknelig.

Ursprunget till termen

Mer än enpunkts kontinuerliga ("kontinuum") beställningar , det vill säga beställningar med en sammankopplad naturlig topologi , kallades ursprungligen kontinuum . När det gäller korrekt ordning betyder detta att vilken del av den är Dedekind .

Kontinuumet som helhet kan ha eller inte ha minimum- och maximumelement, det vill säga dess ändar kan vara både "öppna" och "stängda".

Det minimala (d.v.s. som finns i varje kontinuum) kontinuum är den verkliga linjen (med både öppna och slutna ändar).

Vilken ordning som helst kan kompletteras till ett kontinuum, vilket innebär att kontinuum kan ha oändligt stora kardinaliteter . I kardinalserien betecknas de med , där är kontinuumets ordningsnummer. ${\mathfrak {c}}_{\xi }$ $\xi$

Minsta slutförande av beställningen upp till kontinuumet konstrueras genom att fylla luckorna med ytterligare punkter och hoppen med segment (0, 1) utan ändar.

Därefter minskade termen "kontinuum", efter att ha gått utöver gränserna för specifika ordinala överväganden, i mängdteorin (och efter den - i resten av matematiken) till den riktiga reella linjen, och "kontinuumets kraft" blev, följaktligen dess makt. I framtiden började själva kraften i kontinuumet kallas "kontinuum" . Inom topologi, å andra sidan, har denna term utvidgats till vilken som helst sammankopplad kompakt Hausdorff- topologi (ansluten kompakt mängd), oavsett om den givna topologin är av ordningsursprung, medan vissa kontinuum i gammal mening (till exempel en reell linje) med öppna ändar) betraktas inte längre som sådana på grund av förlust av kompakthet. För närvarande återfinns användningen av termen "kontinuum" i dess ursprungliga betydelse huvudsakligen endast i relativt gammal litteratur. ${\mathfrak {c}}={\mathfrak {c}}_{0}$ $\mathfrak c$

Exempel

Exempel på uppsättningar med kontinuumkardinalitet:

Alla punkter på den reella linjen (uppsättningen av reella tal ). $(-\infty,+\infty)$ $\mathbb {R}$
Alla segmentpunkter . $[0, 1]$
Alla punkter i planet (eller det dimensionella rummet , ). $\mathbb {R} ^{2}$ $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $n\neq 0$
Mängden av alla irrationella tal.
Uppsättningen av alla transcendentala tal.
Uppsättningen av alla delmängder av en räknebar uppsättning.
Uppsättningen av alla delordrar på en räkningsbar uppsättning.
Uppsättningen av alla räknebara uppsättningar av naturliga tal.
Uppsättningen av alla räknebara uppsättningar av reella tal.
Uppsättningen av alla kontinuerliga funktioner . $\R \till \R$
Uppsättningen av alla öppna delmängder av planet (eller ). $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{n}$
Uppsättningen av alla slutna delmängder av planet (eller ). $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{n}$
Uppsättningen av alla Borel -delmängder av planet (eller ). $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{n}$
Kantor set

Anteckningar

↑ Khinchin A. Ya. Åtta föreläsningar om matematisk analys. - M.-L., Gostekhizdat, 1948. - sid. elva
↑ Matematikguide Kurinnaya G. Ch.
↑ Se oändlig uppsättning .
↑ En serie av oändliga booleaner definieras som ; ; . ${\displaystyle \gimel _{0}=\aleph _{0))$ $\gimel _{\xi +1}=|{\mathcal {P))(\gimel _{\xi })|$ ${\displaystyle \gimel _{\sup u}=\sup _{\xi \in u}\gimel _{\xi ))$
↑ Se ändlig mängd .
↑ Uppdelning av insektsförordningen i två disjunkta klasser: övre och nedre. Varje element som är mindre än eller lika med någon av de nedre är själv i den nedre, större än eller lika med någon av de övre, är själv i den övre. Om någon av klasserna är tom är avsnittet felaktigt.
↑ något sätt att lösa de formella komplexiteten som är förknippade med stora objekt är tänkt att användas: teorier med klasser, fördjupning i en universell uppsättning, etc.
↑ Han sa själv: enheten genererar existens, de två - en obestämd mängd.