Direkt produkt

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 4 augusti 2022; verifiering kräver 1 redigering .

En direkt eller kartesisk produkt av två uppsättningar är en uppsättning vars element är alla möjliga ordnade par av element i originaluppsättningarna.

Konceptet med en direkt produkt generaliserar naturligtvis till en produkt av mängder med en extra struktur ( algebraisk , topologisk , och så vidare), eftersom produkten av mängder ofta ärver de strukturer som fanns på de ursprungliga uppsättningarna.

Direkt produkt i mängdteori

Produkten av två uppsättningar

Produkten av uppsättningen {at, u, k} av uppsättningen av regnbågens färger

i	i	i	i	i	i	i	i
och	och	och	och	och	och	och	och
till	till	till	till	till	till	till	till

Låt två set och ges . Den direkta produkten av en uppsättning och en uppsättning är en uppsättning vars element är ordnade par för alla möjliga och . Ett ordnat par bildas av elementen och skrivs vanligtvis med parenteser: . Elementet kallas den första koordinaten (komponenten) i paret , och elementet kallas den andra koordinaten (komponenten) i paret. $X$ $Y$ $X$ $Y$ $X \ gånger Y$ $(x,y)$ $x\i X$ $y\i Y$ $a$ $b$ $(a,b)$ $a$ $b$

Den direkta produkten av två uppsättningar kan visualiseras som en tabell, vars rader definierar elementen i den första uppsättningen respektive kolumnerna i den andra. Alla celler i denna tabell i detta fall kommer att vara delar av den kartesiska produkten.

Ordet "beställd" betyder att för , . Således parar och är lika om och endast om och . $x\ney$ $(x,y)\neq (y,x)$ $(a,b)$ $(c,d)$ $a=c$ $b=d$

Vikten av "ordning" kan illustreras av exemplet med den vanliga noteringen av siffror: med två siffror 3 och 5 kan du skriva fyra tvåsiffriga siffror: 35, 53, 33 och 55. Trots att siffrorna 35 och 53 skrivs med samma siffror, dessa siffror är olika. I det fall då ordningen på elementen är viktig talar man i matematik om ordnade uppsättningar av element.

I ett beställt par kan det vara så . Så att skriva siffrorna 33 och 55 kan betraktas som ordnade par (3; 3) och (5; 5). $(a,b)$ $a=b$

Mappningar av produkten av mängder till dess faktorer - och - kallas koordinatfunktioner . $\varphi\colon X\ gånger Y\ till X,\; \varphi(x,y)=x$ $\psi\kolon X\ gånger Y\till Y,\; \psi(x,y)=y$

Produkten av en ändlig familj av mängder definieras på liknande sätt.

Kommentarer

Strängt taget håller inte associativitetsidentiteten, men på grund av att det finns en naturlig en-till-en-överensstämmelse (bijection) mellan uppsättningar kan denna skillnad ofta försummas. $A \ gånger (B \ gånger C) = (A \ gånger B) \ gånger C$ $A \ gånger (B\ gånger C)$ $(A \ gånger B) \ gånger C$

Kartesisk examen

{0, 1, 2} 3 , 3 3 = 27 element
000	001	002	010	011	012	020	021	022
100	101	102	110	111	112	120	121	122
200	201	202	210	211	212	220	221	222

$n$ Den -e kartesiska potensen av en mängd definieras för icke-negativa heltal som den -faldiga kartesiska produkten med sig själv [1] : $X$ $n$ $n$ $X$

\begin{matris} \underbrace{X\ gånger X\ gånger \ldots \ gånger X}. \\ n \end{matris}

Betecknas vanligtvis som eller . $X^n$ $X^{\ gånger n}$

När den är positiv består den kartesiska graden av alla ordnade uppsättningar av element av längd . Så, det verkliga rymden - uppsättningen av tuplar av tre reella tal - är den tredje potensen av uppsättningen av reella tal $n$ $X^n$ $X$ $n$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb{R}.$

When , en kartesisk grad per definition, innehåller ett enda element - en tom tupel. $n=0$ $X^0,$

Direkt produkt av en familj av uppsättningar

I allmänhet, för en godtycklig familj av uppsättningar (inte nödvändigtvis olika) ( uppsättningen av index kan vara oändlig ), definieras den direkta produkten som uppsättningen funktioner som tilldelar varje element till ett element i uppsättningen : $\{X_i\}_{i\in I}$ $X = \prod_{i\in I} X_i$ $i\i jag$ $X_{i}$

X=\prod _{i\in I}X_{i}=\{f\colon I\to \bigcup \limits _{i\in I}X_{i}\mid f(i)\in X_{i},i\in I\}.

Mappningar kallas projektioner och definieras enligt följande: . $\pi_i \colon X \till X_i \colon f \mapsto f(i)$ $\pi_i\kolon (a_1,\prickar a_n) \mapsto a_i$

I synnerhet, för en ändlig familj av mängder, är varje funktion med ett villkor ekvivalent med någon längdtuppel , sammansatt av element i mängderna , så att den i- :te platsen för tupeln är elementet i mängden . Därför kan den kartesiska (direkta) produkten av ett ändligt antal mängder skrivas på följande sätt: $\{A_1, \dots ,A_n\}$ $f:\{1,\dots ,n\} \to \bigcup\limits_{i = 1}^n A_i$ $f(i) \i A_i$ $n$ $\{A_i\}_{i = 1}^n$ $i$ $A_{i}$ $\{A_i\}_{i = 1}^n$

A_1 \times \dots \times A_n = \{(a_1, \dots ,a_n) \mid a_i \i A_i, i \i \{1, \dots ,n\}\}.

Direkt produkt av mappningar

Låta vara en kartläggning från till , och vara en kartläggning från till . Deras direkta produkt är en kartläggning från till : . $f$ $A$ $B$ $g$ $X$ $Y$ $f\ gånger g$ $A\ gånger X$ $B\ gånger Y$ $(f\ gånger g)(a,\;x) = (f(a),\;g(x))$

I likhet med ovanstående kan denna definition generaliseras till flera och oändliga produkter.

Effekter på matematiska strukturer

Direkt produkt av grupper

Den direkta (kartesiska) produkten av två grupper och är gruppen av alla par av element med operationen av komponentvis multiplikation: . Denna grupp kallas . Associativiteten för operationen av multiplikation i en grupp följer av associativiteten för operationer av multiplicerade grupper. Faktorer och är isomorfa till två normala undergrupper av sin produkt, resp . Skärningspunkten mellan dessa undergrupper består av ett element , som är enheten i produktgruppen. Koordinatfunktionerna för produkten av grupper är homomorfismer . $(G*)$ $(H,\cirkel)$ $(g,h)$ $(g_1,h_1)\times(g_2,h_2)=(g_1*g_2,h_1\circ h_2)$ $G\ gånger H$ $G\ gånger H$ $G$ $H$ $\{(g,1_H)\mid g\in G\}$ $\{(1_G,h)\midt h\in H\}$ $(1_G,1_H)$

Denna definition sträcker sig till ett godtyckligt antal multiplicerade grupper. I fallet med ett ändligt tal är den direkta produkten isomorf till den direkta summan. Skillnaden uppstår av ett oändligt antal faktorer.

I allmänhet, , var och . (Operationen på höger sida är gruppoperationen ). Enheten för produktgruppen kommer att vara en sekvens som består av enheter av alla multiplicerade grupper: . Till exempel, för ett räknebart antal grupper: , där på höger sida är mängden av alla oändliga binära sekvenser. $\overline{\prod_{i\in I}} G_i=\{f\colon I\to\bigcup_{i\in I} G_i\}$ $f(i)\isin G_i$ $(f_1\ gånger f_2)(i)=f_1(i)*f_2(i)$ $G_{i}$ $(1_i),\; i\i jag$ $\overline{\prod_{i\in\mathbb{N}}} \mathbb{Z}_2=(2^\mathbb{N},\; \operatörsnamn{xor})$

En undergrupp på mängden av alla vars stöd (det vill säga mängden ) är ändlig kallas en direkt summa . Till exempel innehåller den direkta summan av samma uppsättning uppsättningar alla binära sekvenser med ett ändligt antal ettor, och de kan behandlas som binära representationer av naturliga tal. $f$ $\mathrm{supp}\,(f) = \{i\in I\mid f(i)\ne 1_i\}$ $\prod_{i\in\mathbb{N}} \mathbb{Z}_2\ =\ (\mathbb{N},\; \operatörsnamn{xor})$

Den kartesiska produkten av ett indexerat gruppsystem är dess direkta produkt i kategorin Grp.

Den direkta summan av ett indexerat koncernsystem är dess biprodukt i kategorin Grp.

Direkt produkt av andra algebraiska strukturer

På samma sätt som produkten av grupper kan man definiera produkterna av ringar , algebror , moduler och linjära utrymmen , och i definitionen av den direkta produkten (se ovan) bör ersättas med noll . Definitionen av en produkt av två (eller ett ändligt antal) objekt är densamma som för en direkt summa . Men i allmänhet skiljer sig den direkta summan från den direkta produkten: till exempel är den direkta produkten av en uppräkningsbar uppsättning kopior utrymmet av alla sekvenser av reella tal , medan den direkta summan är utrymmet av de sekvenser som endast har en ändligt antal medlemmar som inte är noll (de så kallade finita sekvenserna ). $1_i$ $\mathbb {R}$

Direkt produkt av vektorrum

Den kartesiska produkten av två vektorrum och över ett gemensamt fält är en uppsättning ordnade par av vektorer , det vill säga en mängdteoretisk kartesisk produkt av uppsättningar av vektorer från och , med linjäritet given koordinatvis: , . $U\times V$ $U$ $V$ $F$ ${\displaystyle \left\{(u,v)\mid u\in U\wedge v\in V\right\))$ $U$ $V$ $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ $\mathrm {\alpha } \left(a,b\right)=\left(\mathrm {\alpha } a,\mathrm {\alpha } b\right)$

Denna definition gäller alla indexerade system av linjära (vektor)rum: den kartesiska produkten av ett indexerat system av vektorrum över ett gemensamt fält är den mängdteoretiska kartesiska produkten av uppsättningar av faktorvektorer, på vilka koordinatvis linjäritet specificeras, det vill säga vid summering summeras alla projektioner, när de multipliceras med ett tal multipliceras alla projektioner med detta tal: , . ${\displaystyle c=a+b\leftrightarrow \forall i:c_{i}=a_{i}+b_{i))$ ${\displaystyle b=\mathrm {\alpha } a\leftrightarrow \forall i:b_{i}=\mathrm {\alpha } a_{i))$

Den kartesiska produkten av ett indexerat system av linjära utrymmen är dess direkta produkt i kategorin , där det finns ett ämnesfält för systemet. $\operatörsnamn {Vec} _{F}$ $F$

Den direkta summan av vektorrum är en sådan delmängd av deras direkta produkt, vars element har endast ett ändligt antal projektioner som inte är noll , där är indexuppsättningen för det indexerade systemet . För ett ändligt antal termer skiljer sig inte den direkta summan från den direkta produkten. $\coprod {A}=\left\{a\in \prod {A}\mid \left\vert \left\{i\in \operatörsnamn {dom} A\mid a_{i}\neq 0\ höger\}\right\vert <\aleph _{0}\right\}$ $\operatörsnamn {dom} A$ $A$

Den direkta summan av ett indexerat system av linjära utrymmen är dess biprodukt i kategorin , där det finns ett ämnesfält för systemet. $\operatörsnamn {Vec} _{F}$ $F$

Direkt produkt av topologiska utrymmen

Låt och vara två topologiska rum . Topologin för den kartesiska produkten ges på deras mängdteoretiska produkt, som strukturlösa mängder, av basen som består av alla möjliga produkter , där är en öppen delmängd och är en öppen delmängd av . $X$ $Y$ $X\ gånger Y$ $U\ gånger V$ $U$ $X$ $V$ $Y$

Definitionen är lätt att generalisera till fallet med en produkt av flera utrymmen.

För produkten av en oändlig uppsättning faktorer blir definitionen mer komplicerad: låt det finnas ett indexerat system av topologiska rum, - en strukturlös produkt av element som mängder. Låt oss definiera en cylinder som är rest över som mängden av alla punkter från vars ‑te projektioner ligger i , d.v.s. där och är indexuppsättningen för det indexerade systemet . Topologin för produkten kommer att ges på en förbas av cylindrar som är konstruerade över alla öppna uppsättningar av alla topologier från uppsättningen : , där är samlingen av alla öppna uppsättningar (topologi) av utrymmet , d.v.s. ges av en bas som består av alla möjliga skärningspunkter för ett ändligt antal öppna cylindrar. Denna topologi är "kontravariant" inducerad av projektorer - det är den minimala topologin på den mängdteoretiska kartesiska produkten för vilken alla projektorer är kontinuerliga (en sådan topologi liknar den kompakta öppna topologin för kartläggningsutrymmen om vi betraktar indexet som är satt till har en diskret topologi). $X$ $B=\prod {\overline {X}}$ $X$ ${\displaystyle U\subseteq X_{i))$ $B$ $i$ $U$ $\operatörsnamn {Cyl} \left(i,\;U\right)=\left\{x\in B\mid x_{i}\in U\right\}$ $i\in \operatörsnamn {dom} X$ $\operatörsnamn {dom} X$ $X$ $X$ $\left\{\operatörsnamn {Cyl} \left(i,\;U\right)\mid i\in \operatörsnamn {dom} X\land U\in \operatörsnamn {T} \left(X_{i }\visst visst\}$ $\operatörsnamn {T} \left(X_{i}\right)$ $X_{i}$ $jag$

Den kartesiska produkten av ett indexerat system av topologiska rum är dess direkta produkt i kategorin . $\operatörsnamn {Topp}$

Den direkta summan av topologier bygger på den strukturlösa direkta summan av utrymmen som uppsättningar av punkter. Öppna i den är alla uppsättningar vars skärningspunkter med alla termer är öppna. Denna topologi induceras "samvariant" av samprojektorer - det är den maximala topologin på den mängdteoretiska direkta summan under vilken alla samprojektorer (d.v.s. inbäddningar av termer i summan) är kontinuerliga.

Den direkta summan av ett indexerat system av topologiska utrymmen är dess biprodukt i kategorin . $\operatörsnamn {Topp}$

Tikhonovs teorem hävdar kompaktheten hos produkter av ett valfritt antal kompakta utrymmen; men för oändliga produkter kan det inte bevisas utan att använda valets axiom (eller påståenden om mängdteori som motsvarar det).

Också Aleksandrovs teorem visar att vilket topologiskt utrymme som helst kan bäddas in i en (oändlig) produkt av anslutna kolon , så länge som Kolmogorovs axiom gäller .

Direkt produkt av grafer

	—	
	—	
		
	—	

Uppsättningen av hörn av den direkta produkten av två grafer och definieras som produkten av hörn av faktorgraferna. Kanter kommer att ansluta följande par av hörn: $G$ $H$

$(g,\;h)(g',\;h)$ , där och är grafens hörn sammankopplade med en kant , och är en godtycklig vertex av grafen ; $g$ $g'$ $G$ $h$ $H$
$(g,\;h)(g,\;h')$ , där är ett godtyckligt hörn på grafen , och och är grafens hörn förbundna med en kant . $g$ $G$ $h$ $h'$ $H$

Med andra ord är uppsättningen av kanter på en produkt av grafer föreningen av två produkter: kanterna på den första till den andras hörn och den förstas hörn till den andras kanter.

Variationer och generaliseringar

Idén om en direkt produkt utvecklades vidare inom kategoriteorin , där den fungerade som grund för konceptet med en produkt av objekt . Informellt är produkten av två objekt och är det mest allmänna objektet i denna kategori för vilket det finns projektioner på och . I många kategorier (mängder, grupper, grafer, ...) är produkten av objekt deras direkta produkt. Det är viktigt att det i de flesta fall inte så mycket är den konkreta definitionen av den direkta produkten som är viktig, utan den ovan nämnda universalitetsegenskapen. Olika definitioner kommer då att ge isomorfa objekt. $A$ $B$ $A$ $B$